Пример выполнения ргр №2

1. Для электрической цепи, схема которой приведена на рис. 2.2, составить на основе законов Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях схемы и записать ее в двух формах: дифференциальной и символической.

Так как схема содержит несколько источников электрической энергии, положительные направления токов в ветвях выбираем произвольно. Также произвольно выбираем направления обхода контуров.

Число уравнений, составляемых по законам Кирхгофа, должно соответствовать количеству неизвестных токов. Рассматриваемая электрическая цепь имеет три ветви с неизвестными токами, поэтому система уравнений, составляемая по законам Кирхгофа должна состоять из трех уравнений.

П о первому закону Кирхгофа составляется на одно уравнение меньше, чем количество узлов в схеме. Цепь имеет два узла, поэтому по первому закону Кирхгофа составляем одно уравнение. Недостающие два уравнения составляем по второму закону Кирхгофа для двух независимых контуров, направление обхода которых показано на рис. 2.2.

Запишем систему уравнений в дифференциальной форме для мгновенных значений ЭДС, токов и напряжений:

Запишем систему уравнений в символической форме. Для этого от синусоидальных функций времени перейдем к их изображению комплексными числами. Соответственно дифференциальные и интегральные зависимости между напряжениями и токами в цепях синусоидального тока, заменяем линейными зависимостями между комплексными действующими токами и напряжениями, которые приведены в виде табл. 2.2.

Таблица 2.2

→

→

→

→

→

Система уравнений, записанная по законам Кирхгофа

2. Рассчитать действующие комплексные значения токов в ветвях схемы (рис. 2.3).

Параметры элементов цепи:

R₁ =80 Ом, R₃ =60 Ом, L₂ =40 мГн, L₃ =30 мГн, C₁ =10 мкФ.

Расчет цепи будем выполнять в комплексной форме, для чего перейдем от мгновенных ЭДС к их комплексным действующим значениям:

Рассчитаем комплексные сопротивления ветвей:

Ом,

Ом,

Ом.

П

6

3

4

5

роизвольно выбранное положительное направление токов в ветвях схемы показано на рис. 2.3.

Так как схема имеет всего два узла, то для расчета токов применим частный случай метода узловых потенциалов – метод двух узлов. Примем потенциал второго узла φ₂=0.

Тогда

где комплексные проводимости параллельных ветвей:

Подставим значения комплексных ЭДС и проводимостей в формулу для определения напряжения:

Рассчитаем токи в ветвях цепи, пользуясь законом Ома:

3. Построить топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов.

Для построения топографической диаграммы рассчитаем потенциалы всех точек схемы, приняв потенциал второго узла за нулевой φ₂=0:

На комплексной плоскости построим топографическую диаграмму, совмещенную с векторной диаграммой токов (рис. 2.4). Вектора напряжений на диаграмме покажем как разность соответствующих векторов комплексных потенциалов. Напряжения элементов на диаграмме будем откладывать в порядке следования этих элементов на схеме.

Покажем на диаграмме выполнение законов Кирхгофа:

3. Записать мгновенные значения тока первой ветви и напряжения на ее зажимах. Построить временные зависимости этих функций в одних осях координат.

В результате расчетов в комплексной форме были получены значения тока и напряжения:

Мгновенные значения тока и напряжения

Ψ_i1 =90,2°, I_m1=

Ψ_u12 =39,9°, U_m12=

П остроим временные диаграммы этих синусоидальных функций на рис. 2.5.

Рис. 2.5

При построении временных диаграмм необходимо помнить, что если синусоида имеет ненулевую начальную фазу, то она смешается относительно начала координат:

в случае начальной фазы больше нуля ψ>0 – влево;

в случае начальной фазы меньше нуля ψ<0 – вправо.

4. Рассчитать активную, реактивную и полную мощности приемников и источника цепи. Проверить баланс мощностей.

Определим активную, реактивную и полную мощности приемников.

Суммарная активная мощность:

Суммарная реактивная мощность:

Полная мощность приемников:

Рассчитаем активную, реактивную и полную мощности источников.

Суммарная активная мощность источников:

Суммарная реактивная мощность источников:

где

Полная мощность источников:

Уравнения баланса мощностей:

Р_пр=Р_ист 196,24 Вт ≈196,19 Вт;

Q_пр= Q_ист 221,4 ВАр ≈ 220,85 Вар;

S_пр=S_ист 295,85 ВА ≈ 295,4 ВА.

Баланс мощностей выполняется.