Вопросы программы к контрольной №1

Раздел I. Элементы линейной алгебры

1. Система линейных уравнений с неизвестными. Понятие решения системы, совместные и несовместные системы.

2. Решение системы линейных уравнений методом Гаусса, условие их несовместности.

3. Матрица, ее строки, столбцы и размеры. Основная матрица и расширенная матрицы системы линейных уравнений.

4. Определители 2-го и 3-го порядка. Свойства определителей. Минор и алгебраическое дополнение элемента определителя. Вычисление определителя любого порядка разложением по строке или столбцу.

5. Формула Крамера. Условие несовместности системы.

Литература: [I, гл.V, §3]; [3, задачи 391-393; 445-447, 449]; [I, гл. I §3, п. 5-9]; [3, задачи 208-211, 217, 219, 222, 225, 227, 228]; [I, гл. V, §2)] [3, задача 387]; [4, §§ 1, 2, 3, 4], [6, гл 1, стр. 9-23].

Раздел II. Векторная алгебра

1. Векторы. Равные векторы. Коллинеарные и компланарные векторы.

2. Сложение и вычитание векторов, правила параллелограмма, треугольника и многоугольника. Умножение вектора на число. Свойства.

3. Пропорциональность коллинеарных векторов. Разложение вектора на плоскости по двум неколлинеарным векторам.

4. Разложение вектора в пространстве по трем некомпланарным векторам. Координаты разложения.

5. Понятие базиса, координаты разложения вектора по базису. Действия над векторами в координатой форме.

6. Числовая ось. Декартова система координат на плоскости. Нахождение координат точки, построение точки по ее координатам.

7. Радиус - вектор точки. Координаты радиуса - вектора в базисе из единичных векторов, направленных по осям координат. Вычисление координат вектора через координаты его начала и конца. Вычисление длины вектора.

8. Формулы для координат точки, делящей отрезок в данном отношении.

9. Скалярное произведение векторов и его свойства, физический смысл.

10. Вычисление скалярного произведения через координаты сомножителей в базисе .

11. Вычисление длины вектора, угла между векторами и расстояния между точками в декартовой системе координат.

12. Векторное произведение и его свойства, механический смысл.

13. Вычисление векторного произведения через координаты сомножителей в базисе .

14. Вычисление площади параллелограмма и треугольника через координаты его вершин.

15. Смешанное произведение трех векторов. Его свойства и геометрический смысл.

16. Вычисление смешанного произведения через координаты сомножителей. Вычисление объема пирамиды.

Литература: [ I, гл. I, §1, §2]; [3, гл. I, §1 гл. II, §1, §2]; [4, §§5,7,14,16], [6, гл 2, стр. 37-74].

Раздел III. Аналитическая геометрия

1. Понятие об уравнении линии на координатной плоскости. Геометрическое изображение множества решений уравнений на координатной плоскости.

2. Уравнение прямой в общем виде. Построение прямой и нахождение вектора, перпендикулярного к прямой, по ее уравнению.

3. Уравнение прямой с угловым коэффициентом, геометрический смысл его коэффициентов.

4. Вычисление угла между прямыми через их угловые коэффициенты. Условия параллельности и перпендикулярности прямых через их угловые коэффициенты.

5. Уравнение прямой с данным угловым коэффициентом , проходящей через точку

6. Уравнение прямой, проходящей через две точки: и .

7. Вычисление расстояния от точки до прямой .

8. Полярная система координат на плоскости. Связь между полярными и декартовыми координатами точки. Примеры задания кривых уравнением в полярной системе координат.

9. Уравнение окружности радиуса с центром в точке .

10. Эллипс, его фокусы, каноническое уравнение эллипса. Эксцентриситет эллипса и окружности.

11. Гипербола, фокусы, каноническое уравнение. Асимптоты и эксцентриситет.

12. Парабола. Фокус и директриса. Каноническое уравнение параболы. Ось симметрии.

13. Преобразование координат точки при параллельном переносе системы координат.

14. Преобразование координат точки при параллельном переносе системы координат.

15.Приведение уравнений кривых второго порядка к каноническому виду.

16. Параметрическое задание кривой.

17. Уравнение поверхности. Цилиндрические поверхности.

18. Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору . Уравнение плоскости в общем виде.

19. Уравнение плоскости, проходящей через три точки: , , .

20.Задание прямой в пространстве в общем виде. Нахождение координат пересечения прямой и плоскости через их уравнения.

21. Расстояние от точки до плоскости .

22. Уравнение прямой, параллельной вектору и проходящей через точку (параметрическое задание прямой и канонические уравнения прямой).

23. Уравнения прямой, проходящей через две точки: , .

24. Уравнение сферы радиуса с центром в точке .

25. Эллипсоид. Каноническое уравнение и форма.

26. Однополостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.

27. Двуполостный гиперболоид. Каноническое уравнение и форма.

28. Эллиптический параболоид. Каноническое уравнение и форма.

29. Гиперболический параболоид. Каноническое уравнение и форма.

Литература: [1, , гл. II, §1, п. 1, 3, 5; §§ 2,3, гл. III, §1,2, п. 1,2,3 гл. III, §4 ], [2, гл. I, §10, упр. 41-45], [ 3, гл. I, §1, задачи 37-39, 41, 42, 49, 51-56, 42, 44-51; §2 задачи 63-69, 78-90; §3, задачи 141,144, 146, 149, 151, 154, 155, 156, 167, 168, 169; §4, задачи 176-181, 199-201, гл. III, §1, задачи 287-290, 297, 316, 328, 333, 334, §2, 369, 371, 372], [4, §§8, 9,10, 19, 24, 25], [6, гл 3, стр.74-115 , гл 4, стр. 115-140].