Расчетно-графическая работа №7 Расчет переходных процессов в линейных электрических цепях численными методами

7.1. Цель работы

Расчет переходных процессов в линейной электрической цепи численным методом с использованием представления матричной экспоненты в виде ряда.

7.2. Подготовка к работе

7.2.1. Изучите методы численного решения уравнений переменных состояния с помощью разложения матричной экспоненты в ряд.

7.2.2. Ответьте на все вопросы для самопроверки письменно.

7.3. Порядок выполнения работы

7.3.1. Решите систему дифференциальных уравнений для переменных состояния = [A] [X]+[B] [V]

численным методом, используя представление матричной экспоненты в виде ряда, т.е.

e^{[A] t}=[1]+([A] t)/1!+([A]² t²)/2!+([A]³ t³)/3!+ … .

Общее решение (6.1) с учетом использования метода численного интегрирования на основе правила прямоугольников может быть приведено к следующей рекуррентной формуле

[X_k+1]=[Q_m] {[X_k]+h [B] [V(kh)]} (k=0, 1, 2, …), (7.1)

где [Q_m]=[1]+[A]/(R 1!)+[A]²/(R² 2!)+[A]³/(R³ 3!)+ … +[A]^m/(R^m m!),

h=1/R - шаг интегрирования, причем t_k=k h=k/R; x_k=x(t_k) (k=0, 1, 2, …).

Значение R определяется соотношением

R=>C||A|| (7.2)

где ||A|| - норма матрицы [A], определяемая соотношениями

или ,

практически выбирается наибольшая из сумм модулей элементов каждого из столбцов или каждой из строк. Величина R представляет собой округленное значение ||A|| с учетом (7.2). Значение С можно принимать равным единице.

Правильность выбора R можно проверить, вычислив норму ||Q_m||. Если ||Q_m||<I, то все _i лежат внутри круга радиусом R, что в конечном итоге обеспечивает хорошую сходимость вычислительного процесса. Процедура вычислений предполагает последовательное выполнение предлагаемых ниже этапов.

7.3.1.1. На основе определения норм ||A||_I и ||A||_II задайте значение R и определите шаг h.

7.3.1.2. Задав значение m=1, определите по известной матрице [A] матрицу [Q₁].

7.3.1.3. Учитывая, что [V] в данной задаче не зависит от времени, следует определить [F]=[B] [V]

7.3.1.4. Используя найденные значения [X₀] (п. 6.3.2.6.), [F], [Q_m], найдите вектор [X₁] по формуле (7.1).

Используя полученное значение [X₁], определите по этой же формуле вектор [X₂] и т. д.

7.3.1.5. Для выбранного в п. 7.3.1.1 шага h, определите значение [X₁], [X₂] и т.д. по точной формуле (6.1).

7.3.1.6. Если различие между точным и приближенными значениями достаточно велико, то задайте m=2 и повторите п.п. 7.3.1.2 – 4. Если этого значения m окажется недостаточно, то повторите указанный цикл для m=3 и более.

7.3.1.7. Учитывая, что в данной задаче число переменных состояния равно двум, вычисления по формуле (7.1) удобно осуществить, предварительно составив небольшую программу на основе известных программ умножения и сложения матриц. Это ускорит процедуру вычислений.

7.3.1.8. Постройте на одном графике кривые для переменных состояния по точным и приближенным формулам.

7.3.1.9. Сделайте вывод о возможностях использования предложенного численного метода при расчете переходных процессов в линейных электрических цепях.