1. Вычисление площадей плоских фигур с помощью интеграла

1. Справочный материал.

1.1. Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная сверху графиком непрерывной и неотрицательная функции y=f(x), снизу отрезком [a;b] оси Ох, а с боков отрезками прямых х=а, х=b (Рис.1)

Рис. 1

Площадь криволинейной трапеции можно вычислить с помощью определённого интеграла:

(1)

1.2. Пусть функция y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и принимает на этом отрезке положительные значения (рис. 2). Тогда нужно разбить отрезок [a;b] на части, затем вычислить по формуле (1) соответствующие этим частям площади, полученные площади сложить.

S = S₁+ S₂

(2)

Рис. 2

1.3. В том случае, когда непрерывная функция f(x) < 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу:

(3)

Рис. 3

1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на [a;b] и f(x)>g(x) на всем интервале (а; b). В этом случае площадь фигуры вычисляется по формуле

S= (4)

Рис. 4

1.5. Задачи на вычисление площадей плоских фигур можно решать по следующему плану:

по условию задачи делают схематический чертёж;
представляют искомую фигуру как сумму или разность площадей криволинейных трапеций. Из условия задачи и чертежа определяют пределы интегрирования для каждой составляющей криволинейной трапеции;
записывают каждую функцию в виде ;
вычисляют площадь каждой криволинейной трапеции и искомой фигуры.