Учебное пособие 2207

где - допускаемое напряжение.

Из условия прочности (2.5) вытекают три вида расчетов: проверочный расчет, проектный расчет и расчет грузоподъемности.

Проверочный расчет сводится к непосредственной проверке соблюдения условия (1.5).

Проектный расчет заключается в определении требуемой площади поперечного сечения стержня и производится по формуле

Расчет грузоподъемности проводится для определения допустимых величин нагрузок. При этом из условия (2.5) определяют допустимое значение нормальной

По найденному значению N с использованием эпюры N или уравнений статики определяются допустимые значения приложенных к стержню нагрузок.

Системы, состоящие из элементов, имеющих форму стержня, называют стержневыми. Стержневые системы подразделяют на статически определимые и статически неопределимые.

Стержневые системы, в которых нормальные силы и реакции связей определяются при помощи метода сечений и уравнений статики или динамики, называются статически определимыми. В статически неопределимых системах использование метода сечений и уравнений равновесия для определения нормальных сил и реакций связей оказывается недостаточным. Разность между числом неизвестных усилий, подлежащих определению, и количеством независимых уравнений равновесия, которые могут быть составлены для их определения, называется степенью статической неопределенности системы.

Для определения усилий в статически неопределимых системах необходимо составить, помимо уравнений статики, уравнения совместности перемещений, основанные на рассмотрении геометрической стороны деформации системы и использовании закона Гука. Необходимое число этих уравнений должно быть равно степени статической неопределимости системы.

Для использования МБП нужно устанавливать связь нормальных сил в стержнях системы с базовыми перемещениями (БП). При этом могут быть два случая.

Один конец стержня неподвижен, то есть, присоединен к стойке (рис. 1.1, а). При этом деформации в стержне определяются только перемещениями подвижного конца стержня (точка В) 1 и 2 . Из рис. 1.1, а следует, что удлинение стержня равно

5

где n - орт, направленный по оси недеформированного стержня от подвижной точки к неподвижной; A - полное перемещение.

Пусть i - угол, образуемый n и A . Тогда

где eA и eB - орты, указанные на рис. 2.1, л.

Рис. 1.1

Определение усилий в стержнях статически неопределимой системы, т.е. раскрытие ее статической неопределимости, производят в последовательности, рассмотренной в задачах 1.1 и 1.2.

Задача 1.1

(Построение эпюр нормальных сил и напряжений)

Стальной стержень (E 2*105 МПа), один конец которого жестко защемлен, другой свободен находится под действием продольных сил P и распределенной нагрузки t= 20 кН/м. (рис. 1). Отдельные участки стержня имеют различную площадь поперечного сечения F или 2F (рис. 1).

Требуется:

1.Сделать схематический чертеж стержня по заданным размерам, соблюдая масштаб длин по вертикали.

2.Вычислить значения продольной силы N и нормального напряжения

, построить их эпюры.

3.Найти перемещение сечения I I .

Исходные данные : F 2.0 см2; a 0.10 м; b 0.12 м; c 0.15 м; P 22 кН.

6

Решение

1.Схематический чертеж стержня в масштабе по вертикали приведен на

рис. 1.2.

2.Стержень имеет три участка, в пределах которых нормальная сила описывается единственным аналитическим выражением.

Для определения нормальной силы в поперечном сечении стержня используем метод сечений. При этом рассматриваем верхние отсеченные части стержня, поскольку реакция опоры не определена.

7

( z2 ) N( z2 )/ F P / F r , (0 ) -r , (b) -r .

3 участок 0 z3 a= 0.1 м (рис 1.2,е).

Нормальная сила на участке N( z3 ) P P tz3 2P tz3 2P(1 0.5tz3 / P),

N(0 ) -2P, N(a ) -2*21*(1-0.5*20*0.1/22)= -1.909 P .

Нормальное напряжение на участке

( z3 ) N( z3 )/ 2F , (0 ) N(0 )/ 2F =-2P/ 2F r,

(a) N(a )/ 2F =-1.909P/ 2F -0.955r .

По полученным величинам нормальной силы и нормального напряжения строятся эпюры нормальной силы и нормального напряжения (рис. 1.2, б, 1.2,в).

3. Искомое перемещение u определяем относительно заделки стержня. Это перемещение равно сумме удлинений l2 и l3 второго и третьего участков стержня

= -1.198*10-4 м.

Отрицательность величины u означает, что данное сечение переместилось вниз.

Задача 1.2

(Определение удлинений стержней и напряжений в стержнях плоской статически неопределимой системы (задача № 1 КР №1))

Для заданной стержневой системы (рис. 1.3), состоящей из стальных стержней круглого поперечного сечения, требуется:

а) подобрать диаметры поперечных сечений стержней, если известны: отношения площадей, величина действующей нагрузки Р= 60 кН и допускаемое напряжение

Рис. 1.3

160 МПа.

Решение Поскольку вследствие симметрии системы узлы А и В могут перемещаться

независимо друг от друга только по вертикали, перемещения в рассматриваемой системе определяются 2 перемещениями узлов А и В.

Для определения сил и напряжений в стержнях системы используем принцип суперпозиции.

8

Пусть 1 и 2 перемещения точек А и В соответственно. Закрепив мысленно точку В, сообщаем точке А перемещение 1 . Тогда удлинения стержней будут равны l11 1 , l21 1 cos , l31 0. Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением 1

N11 c1 l11 c1 1 , N21 c2 l21 c2 1 cos , N31 c3 l31 0.

Закрепив точку А, сообщаем точке В перемещение 2 . Тогда удлинения стержней будут равны

Нормальные силы в стержнях, вызванные перемещением 2 определятся по формулам

N12 c1 l12 c1 2 , N32 c3 l32 c3 2 cos , N22 c2 l22 0 .

Таким образом, за счет обоих перемещений в стержнях будут действовать нормальные силы

N1 N11 N12 c1 1 c1 2 c1( 1 2 ),

N2 N21 N22 c2 1 cos 0 c2 1 cos ,

N3 N31 N32 0 c3 2 cos c3 2 cos .

Уравнение равновесия узлов А и В имеют вид (рис. 1,2,б)

P 2N2 cos N1 0 , N1 2N3 cos 0 .

Подставляя сюда выражения для нормальных сил, получаем уравнения для

c3 E3F3 / l3 EF /(2,5a) 0,4EF / a.

Тогда

9

Тогда

Следовательно, стержни 2 и 3 сжаты, а стержень 1 — растянут.

Для определения площадей поперечных сечений стержней используются условия прочности стержней

Диаметры стержней

d1 d2 2F1 / 2211,91/ 16,426 мм, d3 2F3 / 2105,955 / 11,633 мм.

Принимаем d1 d2 18 мм. Тогда

F1 F2 d12 / 4 182 / 4 254,469 мм2, F3 0,5F1 127,235 мм2.

Тогда d3 2F3 / 2127,235 / 12,728 мм.

Округлять диаметр d2 до 13 мм нельзя, поскольку при этом нарушатся заданные условием задачи соотношений между площадями стержней.

10