Учебное пособие 2207
.pdf
максимальное касательное напряжение, равное наибольшей полуразности главных напряжений.
Числовые данные: x = 10 МПа, y = 10 МПа (знак минус означает, что
нормальное напряжение y сжимающее); x = 10МПа (знак минус означает, что направление x противоположно положительному направлению); y = x =10 МПа согласно закону парности касательных напряжений.
Решение.
1. Совместим ось z с нормалью к главной площадке с нулевым главным напряжением, направив ее перпендикулярно плоскости чертежа. Величины двух других главных напряжений рассчитываем по формулам (3.2)
max 1 10 10 
10 10 2 4 10 2 14,1 МПа.
min 2
y
x
|
y |
1 |
|
3 |
|
22 30` |
|||||||
x |
|
|
|
|
|
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
y |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
||
Рис. 3.3
Пронумеруем главные напряжения согласно (7.1)
max 1 14,1 МПа, 2 = 0,min 3 14,1 МПа.
Проверяем правильность найденных значений главных напряжений, используя первый инвариант тензора напряжений
x y z 1 2 3 ; 10 10
+ 0= 14.1 14.1+ 0; 0 = 0.
Определяем направление главных площадок. Угол наклона главной площадки рассчитываем по формуле
(3.3)
tg 2 |
|
0 = |
2 x |
= |
2 10 |
; 2 0 |
= |
|
|
|
|
1 |
|||||
|
x y |
|
||||||
|
|
|
|
10 10 |
|
|
||
45 ; 0 = 22 30 .
Показываем положения главных площадок и главных напряжений (рис. 3.3) 2. Определяем максимальное касательное напряжение по формуле (3.4)
max |
|
1 |
1 |
3 |
|
1 |
14,1 14,1 14,1 МПа. |
|
|
||||||
|
2 |
|
|
2 |
|
||
Задача 3.2
(Определение главных напряжений и главных площадок при объемном (трехмерном) напряженном состоянии (задача № 3 КР №1))
Для напряженного состояния в точке упругого тела, условно изображенного на рис. 3.1
x |
39 МПа; y |
36 МПа; z |
44 МПа; |
xy |
33 МПа; yz |
24 МПа; zx |
33 МПа. |
Требуется определить:
Главные напряжения и положения главных площадок.
21
Решение В соответствии с законном парности касательных напряжений
yx xy , zy yz , zx xz .
Тензор напряжений для указанного напряженного состояния имеет вид
xyx
zx
xy |
xz |
|
|
|
39.000 |
33.000 |
33.000 |
y |
|
|
|
|
33.000 |
36.000 |
|
yz |
|
24.000 . |
|||||
zy |
z |
|
|
|
33.000 |
24.000 |
|
|
|
|
44.000 |
||||
Величины инвариантов тензора напряжений равны
I1 x y z 39+36+44= 119 МПа;
I2 x y y z z x 2xy 2yz 2zx = 39*36+36*44+ 44*39 –- 332-242-332 = 1950 (МПа)2;
|
x |
xy |
xz |
= |
39.000 |
33.000 |
33.000 |
4464 (МПа)3. |
I3 |
yx |
y |
yz |
33.000 |
36.000 |
24.000 |
||
|
zx |
zy |
z |
|
33.000 |
24.000 |
44.000 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Характеристическое уравнение принимает вид
3 - 119 2 + 1950 -4464= 0.
Приведенное кубическое уравнение имеет вид
u3 pu q 0,
где p I2 |
1 |
I12 1950 - |
1 |
1192= -2770.333 МПа2; q |
2 |
|
I13 |
|
|
1 |
|
I |
1I2 |
I |
3 - |
2 |
1193 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
27 |
|
|||||||||||||||||
|
119*1950 –4464= -51940.593 МПа3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Поскольку дискриминант приведенного уравнения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
( |
p |
)3 |
( |
q |
)2 |
|
1 |
|
( 2770.333)3 0.25* ( 51940.593)2 -1.30*108 |
0, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
все корни приведенного уравнения действительные. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Корни приведенного уравнения определяются по формулам |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
cos |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
); |
|
|
|
|
|
|
cos( |
|
|
), |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
u2 2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
u3 2 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
где |
cos |
|
|
|
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
51940.593 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= 0.9255. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
p |
3 |
|
|
|
2770.333 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда 22.261 ; |
|
|
|
|
7.420 |
и cos |
= 0.9916; cos( |
|
) -0.6077; |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos( |
|
|
4 |
)= -0.3840. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
В результате получается |
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u1 2 |
|
2770.333 |
|
|
0.9916 |
60.268 МПа; u2 |
|
|
2 |
|
2770.333 |
|
|
( 0.6077 ) -36.931 МПа; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3 2 |
|
|
2770.333 |
|
( 0.3840 ) -23.336 МПа. |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-23.336 МПа, u3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
-36.931 МПа. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
Тогда u1 u1 60.268 МПа, u2 |
u3 |
|
|
|
u2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Главные напряжения равны
22
1 |
u1 |
|
1 |
I1 |
60.268 + |
1 |
|
119= 99.934 МПа; |
|||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
||||
2 |
u2 |
|
1 |
I |
1 |
-23.336 + |
1 |
119= 16.330 МПа; |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
3 |
u3 |
|
1 |
I |
1 |
-36.931 + |
1 |
119= 2.735 МПа. |
|||||||
|
|
||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
3 |
|
|||||||
Для проверки правильности определения главных напряжений определим |
|||||||||||||||
величины инвариантов тензора напряжений через главные напряжения |
|||||||||||||||
I1 1 2 |
3 |
99.934+16.330 + 2.735= 118.9999; |
|||||||||||||
I2 |
1 2 2 3 |
3 1 99.934*16.330 + |
|||||||||||||
+ 16.330 *( +2.735)+( +2.735)*99.934= 1949.9895; |
|||||||||||||||
I3 |
1 2 3 |
99.934*16.330 *(+2.735)= 4464.0851. |
|||||||||||||
Как видно, эти результаты вычислений отличаются от ранее полученных результатов на не более чем 1%.
Положение первой главной площадки (l1 ,m1,n1 ), на которой действует главное напряжение 1 , определяем из системы уравнений
( x 1 )l1 yxm1 zxn1 0;xyl1 ( y 1 )m1 zyn1 0; ,
l2 m2 n2 1, |
|
|
|
|
|
||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
(39 99.934)l1 33m1 33n1 0; |
|
|
|||||
33l1 (36 99.934)m1 24n1 0; , |
|
|
|||||
l2 |
m2 |
n2 1, |
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
( 60.934)l1 33m1 33n1 0; |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
33l1 63.934m1 24n1 0; |
|
|
|||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
l1 m1 n1 1. |
|
|
|
|
|
||
Исключаем из первых двух уравнений n1 и получаем |
|
||||||
2551.419l1 2901.827m1 |
0; |
|
|
||||
l2 m2 n2 1. |
|
. |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
1 |
1 |
1 |
|
|
|
||
Тогда m1 |
0.8792l1 , n1 |
|
1 |
60.934 33*( 0.8792)l |
1 0.9672l |
1 . |
|
|
|||||||
|
|
|
33 |
|
|
|
|
Из третьего уравнения получаем l12(1 0.87922 0.96722 ) 1. |
|||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
l1 0.6076; m1 |
0.8792*0.6076= 0.5342; n1 0.9672*0.6076= 0.5877. |
||||||
Положение второй главной площадки (l2 ,m2 ,n2 ), на которой действует главное напряжение 2 , определяем из системы уравнений
( x 2 )l2 yxm2 zxn2 0;xyl2 ( y 2 )m2 zyn2 0; ,
l22 m22 n22 1, |
|
|
или
23
(39 16.330)l2 33m2 |
33n2 |
0; |
|
|
|
||||
33l2 (36 16.330)m2 |
24n2 |
0; , |
|
|
|
||||
l2 |
m2 |
n2 1, |
|
|
|
|
|
||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
22.669l2 33m2 |
33n2 |
0; |
|
|
|
|
|
||
33l2 19.669m2 |
24n2 |
|
|
|
|
|
|
||
0; |
|
|
|
|
|
||||
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
l2 m2 n2 1. |
|
|
|
|
|
|
|||
Исключаем из первых двух уравнений n2 и получаем |
|
||||||||
544.9284l2 142.901m2 |
0; |
|
|
|
|
|
|||
l22 m22 n22 1. |
. |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда m2 |
3.8133l2 , |
n2 |
1 |
|
22.669 33*( 3.8133)l |
2 |
4.5003l |
2 . |
|
|
|
||||||||
|
|
|
33 |
|
|
|
|
||
Из третьего уравнения получаем l22(1 3.81332 4.50032 ) 1. Тогда
l2 0.1671; m2 3.8133*0.1671= 0.6374; n2 -4.5003*0.1671= -0.7522.
Положение третьей главной площадки (l3 ,m3 ,n3 ), на которой действует главное напряжение 3 , определяем из системы уравнений
( x 3 )l3 yxm3 zxn3 |
0; |
xyl3 ( y 3 )m3 zyn3 |
0; , |
2 |
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
||
l3 m3 n3 0, |
|
|
|
|
|
|||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(39 2.735)l3 33m3 33n3 |
0; |
|
|
|
||||||
33l3 (36 2.735)m3 24n3 |
0; , |
|
|
|
||||||
l2 |
m2 |
n2 1, |
|
|
|
|
|
|
||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
36.265l3 33m3 |
33n3 |
0; |
|
|
|
|
|
|
||
33l3 33.265m3 24n3 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
0; |
|
|
|
|
|
|
||||
l2 m2 n |
2 1, |
|
|
|
|
|
|
|
||
3 |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Исключаем из первых двух уравнений n3 и получаем |
|
|||||||||
218.650l3 305.731m3 |
0; |
|
|
|
|
|
|
|||
l32 m32 n32 1. |
. |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
Тогда m3 |
0.7152l3 |
, n3 |
|
36.265 33*( 0.7152)l |
3 |
0.3838l |
3 . |
|||
33 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Из третьего уравнения получаем l32(1 0.71522 0.38382 ) 1. Тогда
l3 0.7764; m3 -0.7152*0.7764= -0.5553; n3 -0.3838*0.7764= -0.2980.
Подставляя в соотношения (3.7) результаты расчетов, можно убедиться, что (3.7) удовлетворяются с погрешностями, не превышающими погрешности вычислений.
24
4. Занятие №4
Расчет стержней на устойчивость
Под устойчивостью стержня понимают его способность сохранять прямолинейную форму под действием сжимающей силы. Расчет сжатого стержня на устойчивость заключается в нахождении критической силы. Критической силой называют наименьшее значение сжимающего усилия, при котором исходное состояние равновесия стержня становится неустойчивым, то есть происходит переход стержня к другому состоянию равновесия (криволинейная форма). Отношение критической силы Ркр к фактической (эксплуатационной) Рэ
называют коэффициентом запаса устойчивости
nу |
Ркр |
(4.1) |
|
|
. |
||
Р |
|||
|
э |
|
|
Критическую силу можно определить, умножив критическое напряжениекр на площадь поперечного сечения F. При напряжениях, меньших предела
пропорциональности пц, критическое напряжение рассчитывают по формуле Эйлера [1]
2Е |
|
(4.2) |
||||
кр |
|
|
|
, |
||
|
2 |
|||||
|
|
|
|
|||
где Е - модуль упругости материала; |
l |
|
- гибкость стержня; - коэффициент |
|||
i |
||||||
|
|
|
|
|||
приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня; l- длина
стойки; i 
I - минимальный радиус инерции сечения стержня; I - минимальный
F
осевой момент инерции сечения стойки.
Формула (4.2) применима при гибкости стержня , величина которой не меньше предельной гибкости пр
|
пр |
Е |
. |
(4.3) |
|
|
|||
|
|
пц |
|
|
При малой гибкости 0 |
0 , 0 |
0,3 пр |
стержень деформируется без |
|
потери устойчивости. Поэтому за критическое напряжение в этом случае
принимают предел текучести Т |
( 0,2), если материал пластичный, или предел |
||
прочности В , если материал хрупкий. |
|
|
|
Для стержней средней |
гибкости 0 |
|
пр потеря устойчивости |
происходит с появлением упруго - пластических деформаций. Критическое напряжение для стержней промежуточной гибкости рассчитывают по формуле Ф.С.Ясинского
кр |
a0 b , |
(4.4) |
где a0 , b - коэффициенты, зависящие от свойств материала, |
определяемые по |
|
табл. 13[3]. |
|
|
25
Величины a0 , b можно определить по справочнику или рассчитать на основании предположения, что прямая (4.4), проходит через две точки с координатами ( 0 , 0,2) и ( пр , пц), по формулам
a |
0,2 пр пц 0 |
, |
b |
0,2 пц |
. |
(4.5) |
||||
|
|
|
|
|
||||||
0 |
|
пр 0 |
|
пр 0 |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||
Таким образом, зависимость кр |
от имеет вид |
|
||||||||
|
0,2 |
при |
0 ; |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
(4.6) |
||
a b |
при |
0 пр; |
||||||||
кр |
||||||||||
|
|
2E |
при |
пр. |
|
|||||
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Значения a0 , b и пр для некоторых материалов приведены в таблице 13, [3].
По гибкости стержня, можно определить критическое напряжение кр .
Умножив напряжение на площадь поперечного сечения F стержня, получим критическую нагрузку, а, разделив критическую нагрузку на коэффициент запаса устойчивости nу , определяем эксплуатационную нагрузку.
Гибкость стержня |
l |
зависит от коэффициента приведения длины , то |
|
i |
|||
|
|
есть от коэффициента, который приводит реальные условия закрепления к условиям закрепления, принятыми в задаче Эйлера.
Необходимо заметить, что все рассмотренные соотношения верны только в пределах действия закона Гука.
Расчет сжатых стержней на устойчивость может быть выполнен как обычный расчет на сжатие, но при пониженном допускаемом напряжении .
Условие устойчивости в этом случае записывают в виде |
|
||
|
Pэ |
, |
(4.7) |
|
|
||
|
F |
|
|
где - коэффициент снижения допускаемого напряжения, зависящий от материала стойки и ее гибкости. Для некоторых материалов зависимости и приведены в табл. 12 [3].
Величину у = · называют допускаемым напряжением на
устойчивость.
Из условия устойчивости (4.7) можно, в частности, рассчитать допускаемую (эксплуатационную) нагрузку.
Выполняя проектный расчет, из условия (4.7) подбирают площадь поперечного сечения стойки F по заданной нагрузке, длине стержня, условиям закрепления и допускаемом напряжении. Задача решается методом последовательных приближений. Обычно расчет начинают, принимая 1 0,5.
Затем из условия устойчивости (4.7) находят F |
P |
|
и определяют размеры |
|
1 |
||||
1 |
|
|||
поперечного сечения. Далее с использованием геометрии сечения рассчитывают
26
J1 ,i1 , 1. Зная материал и 1, из таблицы 12 [3] значений определяют, методом линейной интерполяции по формуле
|
k |
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где , |
-ближайшие к |
табличные значения ( , |
; |
( ), |
||||||
|
( ). По последней формуле получают коэффициент 1 . |
|
|
1 1 |
|
|||||
|
Затем весь расчет повторяюется при использовании вместо 1 2 |
|
и |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
т.д., пока фактическое напряжение (вызванное силой P ) и допустимое на устойчивость напряжения будут отличаться не более чем на 3 %. Обычно такая точность достигается уже при 3-4 приближениях.
|
|
|
|
|
|
Задача 4.1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(Определение размеров сечения стержня заданной формы |
|
|
|||||||||||||||||
из расчета стержня на устойчивость (задача № 4 КР №1)) |
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
Стержень сжимается |
силой F 200кН |
(рис. 4.1 а), |
||||||||||||||
|
|
|
|
имеет квадратное поперечное сечение со стороной a (рис. |
||||||||||||||||
|
|
|
|
4.1 б), длину l |
2м и допускаемое напряжение при расчёте |
|||||||||||||||
|
|
|
|
на прочность 160МПа. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
При решении задачи считать, что стержень |
||||||||||||||||
|
|
|
|
изготовлен из пластичного материала –стали Ст. 3, для |
||||||||||||||||
|
|
|
|
которого по строительным нормам и правилам |
||||||||||||||||
|
|
|
|
проектирования приняты следующие характеристики: |
|
|
||||||||||||||
Рис. 4.1 |
|
|
|
E = 2*105 МПа; T = 240 МПа; a0 = 310 МПа; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
b = 1,14 МПа; 0 |
= 60; пред = 100. |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а) Определение основных расчетных зависимостей |
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a2 |
|
l |
|
l |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
Jmin |
|
|
|
||||||||||
1, |
S a |
|
, |
Jmin Jx Jy |
|
, imin |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2887a, |
|
3,464 |
|
; |
|
|
12 |
S |
12 |
|
i |
a |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
min |
|
|
|
б) Определение размера a поперечного сечения методом последовательных приближений:
1 приближение. Принимаем значение коэффициента 1 0,5 . Тогда на основании формул (4.2), (4.3) имеем
S |
F |
|
|
200 103 |
2500мм2 ,a |
|
|
|
|
|
50мм ; |
3,464 l |
|
3,464 2000 |
|
138,6 . |
|||
S |
|
2500 |
|||||||||||||||||
|
1 |
|
0,5 160 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
50 |
|
|
|||
|
По |
табл. 12 [3], |
по гибкости |
138,6 методом линейной интерполяции |
|||||||||||||||
получаем коэффициент 0,45 |
0,36 |
0,45 |
138,6 120 0,3663. |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
140 |
120 |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Следовательно, |
выбранное |
первоначальное |
значение |
1 0,5 |
является |
|||||||||||||
завышенным. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
2 приближение. Принимаем значение |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
27
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
0,5 0,3663 |
0,4332. |
|
|||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
|
|
200 103 |
2886мм2 , a |
|
|
|
|
|
53,72мм, |
3,464 2000 |
129 . |
||||||||||||||
|
2886 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
0,4332 160 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
53,72 |
|
|
|||||||||||||||
По табл. 11 [3], при гибкости 129 |
|
|
методом линейной интерполяции |
||||||||||||||||||||||||||
определяем коэффициент |
|
0,40 |
0,45 0,40 |
129 120 0,4095. |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
130 120 |
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
Следовательно, значение 2 0,4332 |
|
|
является завышенным. |
|
|||||||||||||||||||||||||
3 приближение. Принимаем значение 3 |
0,4332 0,4095 |
0,4214 . |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
Тогда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
S |
|
200 103 |
|
2966мм2 , a |
|
|
|
54,46мм, |
3,464 2000 |
|
127,2 |
||||||||||||||||
|
2966 |
||||||||||||||||||||||||||||
0.4214 160 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
54,46 |
|
|
||||||||||||||||
По табл. |
|
11 [3], по гибкости 127,2 методом линейной интерполяции |
|||||||||||||||||||||||||||
получаем значение 0,40 |
0,45 0,40 |
127.2 120 0,4214 0,4176. |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
130 120 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Отклонение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/(0.4214 0.4176 ) 0.00453 . |
|
||||||||||||||||||
|
|
3 3 |
|
/( 3 3 |
) |
|
0.4214 0.4176 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Поскольку 0.05 , принимаем a 54,46мм. |
|
||||||||||||||||||||||||||||
в) Определение величины критической силы и коэффициента запаса устойчивости.
В результате округления получаем
a 55 мм , S 552 |
3025мм2 , |
3,464 2000 |
126 . |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
55 |
|
|
|
|
|
Так как гибкость |
стержня |
|
больше пред 100 , критическую силу Fкр |
|||||||||||
определяем по формуле Эйлера |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
F |
σ |
кр |
S |
π2ES |
|
3,1422 2 105 |
3025 |
376,109 103 H . |
||||||
|
|
|
|
|
||||||||||
кр |
|
|
λ2 |
|
|
|
|
1262 |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Тогда коэффициент запаса устойчивости nу |
равен |
|||||||||||||
|
|
|
|
пу |
Fкр |
|
376.109 |
2.089. |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
F |
200 |
|
|
|
|||
28
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Александров А. В. Сопротивление материалов : учебник / А.В. Александров, В.Д. Потапов, Б.П. Державин. - 2-е изд., испр. - М. : Высш. шк., 2001. – 560 с.
2.Олофинская В.П. Техническая механика: Курс лекций с вариантами практических и тестовых заданий: учеб. пособие / В. П. Олофинская. - М.: Форум; Инфра-М, 2005. - 349 с.
3.Методические указания к выполнению контрольных работ №1-2 для
студентов направления 15.03.01 «Машиностроение» (профили «Технологии, оборудование и автоматизация машиностроительных производств» и «Оборудование и технология сварочного производства») заочной формы обучения. – Воронеж: Изд-во ВГТУ, 2021. - 24 с.
29
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение.……………………………………………………………………... |
3 |
1. Занятие 1. Растяжение – сжатие стержней и стержневых систем…..… |
4 |
Задача 1.1 (Построение эпюр нормальных сил и апряжений)…………… |
6 |
Задача 1.2 (Определение удлинений стержней и напряжений в стерж- |
|
нях плоской статически неопределимой системы (задача № 1 КР №1)) |
8 |
2. Занятие №2. Кручение круглых прямых стержней валов)……………… |
11 |
Задача 2.1 (Построение эпюр крутящих моментов и максимальных |
|
касательных напряжений в сечениях статически определимого вала, |
|
определение диаметра вала и углов закручивания его сечений (задача № 2 |
|
КР №1)…………………………………………………………………………… |
13 |
Задача 2.2 (Определение диаметров сечений и деформаций |
|
ступенчатого стержня при кручении (задача № 2 КР №1)) ……………… |
16 |
3. Занятие №3. Напряженное состояние в точке …………………………… |
19 |
Задача 3.1. (Определение главных напряжений и главных площадок при |
|
плоском (двумерном) напряженном состоянии) ………….…………….…… |
20 |
Задача 3.2. (Определение главных напряжений и главных площадок при |
|
объемном (трехмерном) напряженном состоянии (задача № 3 КР №1)).… |
21 |
4. Занятие №4. Расчет стержней на устойчивость………………….…….… |
25 |
Задача 4.1 (Определение размеров сечения стержня заданной формы из |
|
расчета стержня на устойчивость (задача № 4 ..КР №1))…….……...… |
27 |
Библиографический список…………………..………………………..……… |
29 |
30