Учебное пособие 2207
.pdf2. Занятие №2
Кручение круглых прямых стержней (валов)
Кручением называют деформирование, при котором в поперечных сечениях стержня возникают только крутящие моменты Мк (или М z ).
Кручение прямого стержня происходит при нагружении его внешними (скручивающими) моментами mzi (парами сил), плоскости действия которых перпендикулярны к его продольной оси z . Стержень, работающий главным образом на кручение, принято называть валом.
При расчете валов в ряде случаев величины внешних (скручивающих) моментов определяются по величине передаваемой мощности N (кВт) и частоте вращения вала в оборотах в минуту n
M z |
|
60 1000 N |
9550 |
N |
(Н м), |
(2.1) |
2 n |
|
|||||
|
|
|
n |
|
Величины крутящего момента в поперечных сечениях вала определяют методом сечений. Согласно методу сечений крутящий момент в произвольном поперечном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних (скручивающих) моментов, приложенных к валу по одну сторону от рассматриваемого сечения:
|
слева |
справа |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Mк |
Mzi |
|
Mzi . |
|
|
|
|
|
|
|
(2.2) |
||
MZi |
|
|
|
|
Для |
определения |
знака |
||||||
|
|
|
Мк |
общепринятого |
правила |
||||||||
|
|
|
|
знаков не существует. В |
|||||||||
|
|
|
|
дальнейшем |
для |
определен- |
|||||||
MK + |
|
|
|
ности |
будем |
считать, |
что |
||||||
|
|
|
внешние |
|
(скручивающие) |
||||||||
взгляд |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
моменты, |
|
|
направленные |
|||||||
|
MZi |
|
|
против |
часовой стрелки, при |
||||||||
|
|
- |
взгляде |
со |
стороны |
внешней |
|||||||
взгляд |
MK |
||||||||||||
нормали |
к |
рассматриваемому |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||
Рис. 2.1 |
|
|
|
сечению |
дают |
в |
выражении |
||||||
|
|
|
|
Мк |
положительные слагаемые, |
анаправленные по часовой стрелке – отрицательные слагаемые (рис. 2.1).
Впоперечных сечениях вала при кручении возникают только касательные
напряжения . Условие прочности при кручении вала круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения имеет вид
max |
|
Mк |
, |
(2.3) |
|
||||
|
|
Wp |
|
где max наибольшее касательное напряжение, возникающее в сечении вала; Мк
крутящий момент в сечении вала; допускаемое значение касательного напряжения; Wр - полярный момент сопротивления сечения вала.
11
|
|
Для круглого сплошного сечения Wp |
|
d3 |
0,2d3 , для кольцевого сечения |
|||
|
|
|||||||
|
|
D3 1 k4 |
|
16 |
|
|
||
Wp |
|
0,2D3 1 k4 . Здесь d – диаметр сплошного сечения; D и d0 |
|
|||||
|
||||||||
|
16 |
|
|
|
|
|
соответственно наружный и внутренний диаметры кольцевого сечения; k d0 / D . По условию прочности (2.3) выполняют три вида расчетов: проверочный,
проектный и расчет грузоподъемности.
Проверочный расчет заключается в непосредственной проверке выполнения условия (2.3).
Для выполнения проектного расчета (определения требуемых размеров сечения) из (6.3) получаем
|
Mк |
(2.4) |
|
Wp |
|
. |
|
|
|||
Для определения грузоподъемности (определение допустимых значений |
|||
скручивающих моментов) формула (4.4) преобразуется к виду |
|
||
Mк Wp . |
(2.5) |
||
Определив из (2.5) максимальное значение Мк , по эпюре |
крутящих |
моментов устанавливают допустимые значения внешних (скручивающих) моментов.
При кручении вала угол поворота одного сечения относительно другого называется углом закручивания участка вала, расположенного между этими
сечениями. Угол закручивания участка вала длиной l |
определяется по формуле |
|||||||||||||
|
|
|
l |
Mк |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
dz (рад.). |
(2.6) |
||||||||
|
|
|
|
|||||||||||
|
0 |
GJ |
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
Здесь Мк - аналитическое выражение крутящего момента; GJ p крутильная |
||||||||||||
жесткость сечения вала; G модуль сдвига; |
J p полярный момент инерции |
|||||||||||||
сечения. |
|
|
|
|
|
|
|
d4 |
|
|
||||
|
|
Для круглого сплошного сечения J p |
0,1d4 , а для кольцевого сечения |
|||||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
D4 1 k4 0,1D4 1 k4 . |
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|||
J p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При Мк = const и Jp = const на длине l |
формула (4.6) принимает вид |
|||||||||||
|
|
|
|
Mкl |
. |
|
|
|
|
(2.7) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
GJ p |
|
|
|
|
|
||||
|
|
Для ступенчатых валов или же для валов, у |
которых Мк кусочно – |
|||||||||||
постоянная функция (т.е. Мк постоянен в пределах каждого из участков) |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
Mкili |
|
|
||||
|
|
|
|
GJ |
|
|
, |
|
(2.8) |
|||||
|
|
|
|
i 1 |
|
|
|
p i |
|
|
||||
где Mкi - крутящий момент на i- ом участке вала; li - |
длина i- ого участка вала; |
|||||||||||||
GJ |
- крутильная жесткость сечения i- ого участка вала; n – количество участков |
|||||||||||||
|
p i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12
вала, расположенных между сечениями, между которыми определяется угол закручивания.
Угол закручивания, приходящийся на единицу длины вала, называют относительным углом закручивания и рассчитывают по соотношению
|
|
Mк |
. |
|
(2.9) |
|
|
|
|||
|
|
GJ p |
|
|
|
Условия жесткости вала записывают в виде |
|
||||
max |
или max |
. |
(2.10) |
Здесь и - допустимые значения относительного и абсолютного углов закручивания.
На основании условий (4.10) проводят те же три вида расчетов, что и на основании условия прочности (4.3).
Задача 2.1
(Построение эпюр крутящих моментов и максимальных касательных напряжений в сечениях статически определимого вала, определение диаметра
вала и углов закручивания его сечений (задача № 2 КР №1)
К ведомым шкивам равномерно вращающегося стального вала постоянного кругового сечения (рис. 2.2) приложены заданные моменты M1, M 2 ,M3 и момент
M. Требуется:
1.Определить момент M на ведущем шкиве.
2.Построить эпюру крутящих моментов.
Таблица 2.1
№ |
M1 |
M2 |
M 3 |
kM 1 |
kM 2 |
kM 3 |
a |
b |
c |
п/п |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
2 |
3 |
-1 |
1 |
-1 |
1,5 |
0,3 |
2 |
3. При значении = 80 МПа определить диаметр вала сплошного сечения из расчета на прочность и округлить его величину до целого значения в мм, кратного пяти.
4. Построить эпюру углов закручивания сечений вала относительно крайнего левого сечения, приняв модуль сдвига равным G 8,0*104 МПа. Данные взять из таблицы 2.1.
Величины моментов Mi даны в Н*м, размеры a, b c метрах. Символы kMi задают направления моментов M i : при kMi равном 1 направление M i совпадает с направлением, указанном на расчетной схеме (рис. 2.2), в противном случае направление M i противоположно направлению, указанному на расчетной схеме (рис. 2.2). Направление момента M определяется из уравнения равновесия моментов сил, приложенных к валу.
13
Решение Определение момента М на ведущем
шкиве.
|
|
Для определения момента М |
|
|
|
|
используем уравнение равновесия |
|
|
|
|
моментов пар сил относительно |
|
|
|
|
продольной оси вала |
|
|
|
|
kM1M1 kM 2M2 kM3M3 M 0 , |
|
|
|
|
из которого получаем |
|
|
|
|
M kM1M1 kM 2M2 |
kM 3M3 -1*1- |
|
|
|
1*2-1*3= -6 кН*м. |
|
|
|
|
Знак « - » означает, что направление |
||
|
|
момента М противоположно направлению, |
||
|
|
указанному на рис. 2.2. |
|
|
|
|
Построение эпюры крутящего |
|
|
|
|
момента. |
|
|
|
|
Составляем |
выражения |
для |
|
|
крутящего момента для каждого из трех |
||
|
|
участков, показанных на рис. 2.2. Грани- |
||
|
|
цами участков являются сечения, в которых |
||
|
|
к валу приложены внешние сосредоточен- |
||
|
|
ные моменты, а также концевые сечения |
||
|
|
вала. |
|
|
|
|
Вал имеет три участка для |
|
|
|
|
построения эпюр. |
|
|
|
|
Участок 1: 0 z1 a ; |
|
|
Рис. 2.2 |
|
Mк1 kM1M1 |
-1*1= -1 кН*м. |
|
Участок 2: 0 z2 |
b;Mк2 |
kM1M1 kM2M2 -1*1-1*2= -3 кН*м. |
|
|
Участок 3: 0 z3 |
c ; Mк3 |
kM3M3 1*3= 3 кН*м. |
|
|
На крайних участках вала крутящие моменты равны нулю, поскольку на |
||||
концах вала отсутствуют внешние скручивающие моменты. |
|
|||
По полученным величинам крутящего момента строим эпюру крутящих |
||||
моментов в координатах M к |
z в масштабе и определяем максимальный |
по |
||
модулю крутящий момент в поперечных сечениях вала M x мах = 3 кНм. |
|
Определение диаметра вала.
Из анализа эпюры крутящего момента следует, что на втором участке крутящий момент максимален по абсолютному значению и равен Mк мах = 3 кНм.
Условие прочности вала при кручении имеет вид
max Mкmax /Wк ,
где Wк d3 / 16 - момент сопротивления сечения вала при кручении. Расчетный диаметр вала
14
d 316Mкmax 3 16 *3*106 =57,586 мм.
80
Принимаем d 60 мм.
Максимальные касательные напряжения в сечениях вала определяются по формуле i max Mki / Wp ,
где Wp d 3 / 16 603/16= 42411 мм3- полярный момент сопротивления вала.
Тогда |
/ kd31Wp |
-1*106/42411= -23,5785 МПа, |
||
1max |
M k1 |
|||
2 max |
M k2 |
/ kd3 |
2Wp |
-3*106/42411= = -70,735 МПа, |
3max |
M k3 |
/ kd3 |
3Wp |
3*106/42411= = 70,73 МПа. |
Как видно, опасное напряженное состояние имеется на четвертом участке
вала.
Полярный момент инерции сечения вала
Jpi d4 / 32 604/32= 1272345 мм4.
Угол закручивания сечений вала на участке i определяется по формуле
(zi ) i Mкizi , GJp
где i - угол закручивания сечения, соответствующего координате zi =0; G - модуль сдвига материала вала.
Жесткость вала при кручении P GJ p 8*1011*1,272345*10-6= 101780 Н*M2.
Распределение угла закручивания по участкам описывается функцией: Участок 1: 0 z1 a ;
1(z1 ) Mк1z1 0, 1 = 1(0) 0, GJp
2 1(a) Mк1z1 Mk1a / GJ p =-1000*1,5/101780= -1,4737*10-2.
GJp
Участок 2: 0 z2 b;
2( z2 ) 2 Mк2z2 0 , 2(0) 2 = -1,4737*10-2,
GJp
3 2(b) 2 Mк2b 2 +Mk2 b / GJ p = -1,4737*10-2-
GJ p
- 3000*0,3/101780= -1,4737*10-2+0,8842*10-2= -2,3579*10-2.
Участок 3: 0 z3 b;
3(z2 ) 3 Mк3z3 0 , 3(0) 3 = -2,3579*10-2,
GJp
4 3(c) 3 Mк3c 3 +Mk3 c / GJ p = -2,3579*10-2+
GJp
+3000*2/101780= 3,5368*10-2.
По полученным величинам угла закручивания строится эпюра угла закручивания в координатах z (рис. 2.2).
15
Задача 2.2
(Определение диаметров сечений и деформаций ступенчатого стержня при кручении (задача № 2 КР №1))
На рис. 2.3, изображен стальной ступенчатый вал имеющий круглое поперечное сечение и нагруженный четырьмя моментами Τ1 6кН м ,
Τ2 5кН м, Τ3 2кН м, Τ1 1кН м.
Рис. 2.3
Левый конец вала жестко защемлен в опоре, а правый конец свободен. Допускаемое касательное напряжение 40МПа , модуль сдвига материала вала G 8 104 МПа, расстояния а в с 0,2м.
Подобные задачи решаются в следующем порядке. а) Определение момента в опоре.
Опорный момент |
0 определим из уравнения равновесия моментов, |
|
приложенных к валу, относительно оси |
||
|
0, 4 3 2 1 0 0. |
|
В итоге 0 4 |
3 2 1 4кН м . |
|
б) Построение эпюры крутящих моментов по длине вала. |
Вал имеет четыре участка. Крутящий момент ΜΚ в поперечных сечениях вала определяем методом сечений. При этом следует рассматривать все участки вала.
1 участок, z a.
Рассечём мысленно вал на две части поперечным сечением, отстоящем на расстоянии z от левого его конца (рис. 2.3 б), отбросим правую часть вала и её действие на левую часть вала заменим крутящим моментом ΜΚI , направленным против хода часовой стрелки при взгляде на сечение со стороны внешней нормали
16
к сечению. Составим уравнение равновесия для оставшейся левой части вала, а именно, приравняем нулю сумму моментов относительно оси :
0, ΜΚI Τ0 0 , ΜΚI Τ0 4кН м.
Рассуждая аналогично, получим 2 участок, a z (a b), рис. 4.3, в
|
0, ΜΚII Τ0 Τ1 0, ΜΚII Τ0 Τ1 2кН м. |
3участок, (a b) z (a b c), рис. 4.3, г
0, ΜΚIII Τ0 Τ1 Τ2 0 , ΜΚIII Τ0 Τ1 Τ2 3кН м.
4участок, (a b с) z (2a b c), рис. 4.3, д
0, ΜΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 0, ΜΚIV Τ0 Τ1 Τ2 Τ3 1кН м.
Таким образом, на каждом из участков крутящие моменты постоянны. Эпюра крутящих моментов ΜK приведена на рис. 2.3 е
в) Определение диаметров d1 , d2 вала из расчёта на прочность. Расчёт на прочность проводится по схеме
|
|
|
max |
|
ΜK |
|
max |
, отсюда WΡ |
|
|
|
|
|
Μκ |
|
|
max |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Wp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
На участке бруса 0 z a b |
|
имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Μ |
κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 106 |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Μκ |
|
max 4кН м, |
WΡ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
105 мм3 . |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 10 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
d1 3 |
16 W |
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
79,9мм 80мм |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
На участке вала a b z (2a b c) имеем |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Μ |
κ |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 106 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Μκ |
|
max 3кН м, |
WΡ2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
max |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7,5 104 мм3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
40 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
16 7,5 104 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
d2 3 |
16 W |
2 |
|
|
3 |
|
|
72.6мм 73мм. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3,14 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
г) Построим эпюру максимальных касательных напряжений max по длине |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
вала. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
На 1 участке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
max |
|
|
ΜΚI |
|
|
16 ΜΚI |
|
|
16 4 106 |
|
|
39,8МПа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
WΡ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π d13 |
|
|
|
|
|
|
3,14 803 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
На 2 участке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
max |
|
ΜΚII |
|
|
16 ΜΚII |
|
|
16 2 106 |
|
19,9МПа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
WΡ1 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π d13 |
|
|
|
3,14 803 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
На 3 участке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
max |
ΜΚIII |
|
|
|
|
16 ΜΚIII |
|
|
16 3 106 |
39,3МПа. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
WΡ2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π d23 |
|
|
|
|
|
|
|
3,14 733 |
На 4 участке
17
max |
|
ΜΚIV |
|
16 ΜΚIV |
|
16 106 |
13,1МПа. |
|
WΡ2 |
π d23 |
3,14 733 |
||||||
|
|
|
|
|
Эпюра напряжений max приведена на рис. 4.3 ж
г) Построение эпюры углов взаимного поворота сечений (углов закручивания) .
Так как на каждом из четырёх участков вала величины ΜΚ , G , J постоянны, то из формулы (2.7) следует; что угол линейно меняется по длине вала. Угол поворота левого (закреплённого) поперечного сечения вала равен нулю; а
углы поворота: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- |
|||||||||||||||||
сечения A относительно сечения |
|||||||||||||||||||||||||||||
сечения B относительно сечения |
A - B,A |
||||||||||||||||||||||||||||
сечения C относительно сечения |
B - C,B |
||||||||||||||||||||||||||||
сечения D относительно сечения |
C - D,C |
||||||||||||||||||||||||||||
соответственно равны: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
Α,Ο |
|
ΜΚI a |
|
|
|
32 ΜΚI a |
|
|
|
|
32 4 106 |
200 |
|
|
0,00249рад, |
|||||||||||||
|
|
|
|
G π d14 |
8 104 3,14 804 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G JΡ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
B,A |
|
|
ΜΚII b |
|
|
|
|
32 ΜΚII b |
|
|
32 2 106 200 |
|
0,00125рад, |
|||||||||||||||
|
|
|
|
G π d14 |
8 104 3,14 804 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
G JΡ1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
C,B |
|
ΜКШ c |
|
|
|
32 ΜΚIII c |
|
32 3 106 |
200 |
0,00269 рад, |
||||||||||||||||||
|
|
|
G π d24 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
G JΡ2 |
|
|
|
|
|
|
8 104 3,14 734 |
|||||||||||||||||
|
D,C |
|
ΜΚIV a |
|
|
32 ΜΚIV a |
|
|
|
32 106 200 |
|
0,000897рад. |
|||||||||||||||||
|
|
|
8 104 3,14 734 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
G JΡ2 |
|
|
G π d24 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Тогда углы поворота сечений В, С, D относительно закрепленного сечения |
|||||||||||||||||||||||||||||
О соответственно, равны |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
B,O |
B,A A,O |
|
|
-0,00124 рад, С,O |
C,B B,O -0,00393 рад, |
||||||||||||||||||||||||
D,O |
D,C C,O -0,00483 рад. |
|
|
|
|
|
|
Эпюра углов поворота сечений вала приведена на рис. 2.3, з.
18
3. Занятие №3
Напряженное состояние в точке |
|
|
|
|
Напряженным состоянием |
в |
точке |
||
нагруженного |
твердого |
тела |
называется |
|
совокупность |
нормальных |
и |
касательных |
|
напряжений, действующих на множестве |
||||
площадок, проходящих через рассматриваемую |
||||
точку (рис. 3.1). Напряжения являются |
||||
векторными |
величинами. |
Растягивающее |
||
нормальное |
напряжение |
x , |
y , |
z |
направленное в сторону внешней нормали к |
||||
площадке, |
считается |
положительным. |
||
Сжимающее |
нормальное |
напряжение, |
||
направленное |
противоположно |
внешней |
Рис. 3.1 |
нормали к площадке, считается отрицательным. |
|
Касательные напряжения действуют в площадках в окрестности точки нагруженного тела и обозначаются символами xy , yz , zx yx , zy , xz . Здесь
первый индекс указывает ось, ортогональную площадке на которой действует касательное напряжение. Второй индекс указывает ось, параллельно которой направлен вектор касательного напряжения. Касательное напряжение считается положительным, если оно, действуя на площадке с внешней нормалью, направленной в сторону (противоположно) оси, указанной первым индексом напряжения направлено в сторону (противоположно) оси указанной вторым индексом. Все касательные напряжения, указанные на рис. 3.1 являются положительными.
Согласно закону парности касательных напряжений, составляющие касательных напряжений, действующие на двух взаимно-перпендикулярных площадках и нормальные к линии их пересечения, равны и направлены к этой линии или от нее.
Напряженное состояние в точке математически описывается тензором напряжений
x |
xy |
|
|
|
y |
yx |
||
|
zx |
zy |
|
xz
yz .
z
Элементарные площадки, на которых касательные напряжения равны нулю, называются главными. Все три главные площадки взаимно перпендикулярны. Нормальные напряжения, действующие на главных площадках, называются
главными напряжениями. Их обозначают 1, |
2 , |
3 . Нумерацию главных |
напряжений выполняют с учетом неравенств |
|
|
1 2 3 . |
|
(3.1) |
19
Значения главных напряжений являются экстремумами нормальных напряжений, действующих на всех площадках, проходящих через рассматриваемую точку тела.
Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называется трехосным (объемным). Если от нуля отличается только одно из главных напряжений, то напряженное состояние называют одноосным (линейным). Если от нуля отличны два каких - либо главных напряжения, то напряженное состояние называется двухосным (плоским).
Ниже рассматривается плоское напряженное
состояние, когда на площадках, параллельных оси z все напряжения отсутствуют, т. е. z zx zy 0. Для упрощения записи используются следующие
обозначения yx x , xy y . Указанное плоское напряженное состояние условно
изображено на рис. 3.2.
Величины главных (экстремальных) напряжений в случае плоского напряженного состояния находят из выражения
|
minmax |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
||||
|
|
= |
|
x |
y |
|
x |
y |
4 x |
, |
(3.2) |
|
|
2 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где x, y - нормальные напряжения, действующие в направлениях координатных осей x, y ; xy y - касательные напряжения, параллельные осям x, y .
Положение нормали к главной площадки относительно оси x определяется углом 0 , величина которого находится по формуле
tg 2 0 |
= |
|
2 x |
|
. |
(3.3) |
|
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
y |
|
||
|
|
|
|
|
Для определения положения главной площадки с напряжением max необходимо площадку, на которой действует большее (в алгебраическом смысле) нормальное напряжение, повернуть на угол 0 в направлении, в котором вектор касательного напряжения, действующего на этой площадке, стремиться вращать элементарный параллелепипед относительно его центра.
Максимальное касательное напряжение определяется по формуле
max |
|
1 |
1 3 . |
(3.4.) |
|
||||
|
2 |
|
|
Главные напряжения в случае объемного напряженного состояния определяются из характеристического уравнения тензора напряжений
Задача 3.1
(Определение главных напряжений и главных площадок при плоском (двумерном) напряженном состоянии)
Стальной кубик (рис. 3.3) находится под действием сил, создающих плоское напряженное состояние (одно из трех главных напряжений равно нулю).
Требуется найти:
главные напряжения и направления главных площадок;
20