Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1719

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

2. Характеристическое уравнение имеет действительный

						p		p	2
двукратный	корень	k	k		k	p	D	p
двукратный	корень	k	k	2	k		D
		1		2	2			4

Характеристическое уравнение					дает одно		частное

g 0 .

решение

y ekx .	Можно доказать,				что	функция y	2	xekx			также
1							2
является	решением дифференциального уравнения. Функции
y ekx	и y	2	xekx	образуют		фундаментальную					систему
1		2
решений:	W x e2kx 0 . Общее решение дифференциального
уравнения во втором случае имеет вид y c ekx							c		2	xekx .
						1			2
Пример 5.5. Составить общее решение дифферен-
циального уравнения y 8y 16y 0 .
Решение.			Характеристическое			уравнение	k 2 8k 16 0
имеет два одинаковых действительных корня k1 k2										4 . Общее
решение	дифференциального				уравнения представляется						в виде

yc1e2x c2 xe2x .

3.Корни k1 и k 2 характеристического уравнения

являются комплексными

числами:

k1 i ,

k2 i

g 0,

0 .

Очевидная в этом

e i x

случае

фундаментальная

система

решений из

y2 e i x не

удобна

для

практического

применения.

Пользуясь

формулами

Эйлера

ei cos i sin ,

e i cos i sin ,

можно

скомбинировать два

линейно

независимых

действительных частных

решения

дифферен-

циального уравнения y1 и

y y

e x i x e x i x

ei x e

i x

cos x ,

y y

e x i x e x i x

ei x e

i x

sin x .

Общее	решение	дифференциального		уравнения
y py qy 0	в	третьем	случае	имеет	вид

y e x c cos x c		2	sin x .
1
Пример 5.6. Составить общее решение дифферен-
циального уравнения y 10y 29y 0 .
Решение.	Составим			характеристическое уравнение
k 2 10k 29 0 ,		которое		имеет два	комплексных корня
k1 5 2i и k2	5 2i . Общее решение				дифференциального

уравнения представляется в виде y e5x c1 sin 2x c2 cos2x .

5.8. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка

Для линейного неоднородного (правая часть отлична от нуля) дифференциального уравнения второго порядка

			y a1 x y a2 x y f x ,
где a1 x ,	a2 x ,	f x — непрерывные на (a,b) функции, имеют
место две важные теоремы.
Теорема 1 (Теорема о структуре общeго решения
линейного	неоднородного дифференциального					уравнения
второго	порядка).		Общее	решение	yон	уравнения
y a1 x y a2 x y f x представляется суммой его частного
решения	yчн	и	общего	решения	yoo c1 y1 c2 y2
				61

соответствующего					однородного		уравнения
y a1 x y a2 x y 0 , т. е. yон yоо yчн .
	Теорема 2 (Теорема о наложении решений). Если правая
часть		уравнения			y a1	x y a2 x y f1	x f2 x
представляет			собой сумму		двух	функций: f1 x	и f 2 x ,
а	y1чн	и	y2чн	—	частные решения		уравнений
y a1 x y a2 x y f1				x	и	y a1 x y a2 x y f 2 x

соответственно, то функция yчн y1чн y2чн является частным решением данного уравнения.

5.9. Линейное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами

и правой частью специального вида

Обсудим неоднородное линейное дифференциальное уравнение с правой частью спeциального вида

y py qy e x Pn x cos x Qm x sin x ,

где

, , p, q —

некоторые

числа,

x a

xn a

n 1

xn 1 ... a

, Q x b

xm b

xm 1

... b

m 1

число i называется параметром правой части.

При

нахождении

общего

решения

частное

решение

уравнения со специальной правой частью может быть найдено

методом неопределенных коэффициентов, состоящим в том, что

по виду правой части f x e x P x cos x Q	m	x sin x
n	m

неоднородного уравнения записывают ожидаемую форму частного решения

y xl e x PN x cos x QN x sin x .

Многочлены PN x ,	QN x	с коэффициентами, подле-
жащими определению, имеют одинаковую степень N, равную
большему из значений чисел m		и n . Показатель степени l

может принимать значения 0, 1, 2. При отсутствии совпадения параметра правой части i с корнями характеристического

уравнения l 0 . Если параметр i совпадает с одним из действительных корней характеристического уравнения ( k1 ,0 ) или совпадает с одним из комплексных корней характеристического уравнения, то l 1. Если параметр i совпадает с двукратным действительным корнем характеристического уравнения ( k1 k2 , 0 ), то l 2 .

Пример 5.7. Найти общее решение дифференциального уравнения y 5y 4y x 2 .

Решение. Для получения общего решения однородного

дифференциального		уравнения			записывается			характе-
ристическое	уравнение k 2 5k 4 0 с корнями								k 1
									1
и k2 4 . В результате имеем
		y	оо	C e x C		2	e4x .
			оо	1		2
Правая	часть	неоднородного				уравнения		имеет	вид

x 2 e0x . Здесь парамeтр правой части i = 0 не совпадает с корнями характеристического уравнения. Частное решение

ищется в виде	y	чн	Q (x)e0x Ax B .
		чн	1
Коэффициенты A и B находятся из тождества,
полученного	при		подстановке yчн Ax B в заданное
уравнение:
			5A 4(Ax B) x 2 .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях х

4A 1, 5A 4B 2 ,

откуда	A	1	,	B	13	.	Следовательно, общее решeние
откуда	A		,	B		.	Следовательно, общее решeние
		4		16
дифференциального уравнения равно
				y C e x C					e4x	x		13	.
				y C e x C				2	e4x				.
				1				2	4		16
									4		16

Пример 5.8. Найти общее решение дифференциального уравнения y 4y (2x 1)e x .

Решение. Воспользовавшись корнями k1,2 2i характе-

ристического уравнения k 2 4 0 , составим общее решение однородного уравнения

yоо C1 cos 2x C2 sin 2x .

Правая	часть	неоднородного уравнения	(x 1)e x имеет
вид P (x)e x	и	описывается параметром	i 1 , не
1

совпадающим с корнями характеристического уравнения.

Частное решение ищется в виде	y	чн	(Ax B)ex .
		чн

Коэффициенты A и B находятся из результата подстановки yчн в исходное уравнение

(Ax 2A B)e x 4(Ax B)e x (2x 1)e x .

Приравниваем коэффициенты при одинаковых функциях xe x и e x слева и справа для вычисления A и B :

	5A 2,			2A 5B 1.
Имеем A 2 / 5,	B 1/ 25 .			Частное			решение неодно-
родного уравнения равно yчн (				2x	1	)e x	, а общее решение
родного уравнения равно yчн (				5		)e x	, а общее решение
				5	25
равно
					2x			1
y C	cos2x C	2	sin 2x						e x .
y C	cos2x C		sin 2x						e x .
1					5			25
					5			25
	64

Пример 5.9. Найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения y 2y 10y cos2x , удовлетворяющее начальным условиям

y(0) 1, y (0) 2.

Решение. Для нахождения yoo составим и решим характеристическое уравнение

k 2 2k 10 0, k

1 3i, k

1 3i.

Тогда y

оо

x (C cos3x C

sin 3x) .

Частное решение будем искать в форме

yчн A cos 2x B sin 2x ,

поскольку параметр правой

части i 2i

не совпадает

с корнями характеристического уравнения.

Подставляя yчн в исходное уравнение, будем иметь

4Acos2x 4B sin 2x 2( 2Asin 2x 2B cos2x)

10( Acos2x B sin 2x) cos2x.

Приравнивая

коэффициенты

при

cos x

и sin x

слева

и справа, получим

4A 4B 10A 1,

4B 4A 10B 0 ,

или

A 3 / 26,

B 1/13.

Частное

решение

равно

yчн

cos2x

sin 2x . Общее решение

y yoo yчн

имеет

вид

y e x (C cos3x C

sin 3x) +

cos2x

sin 2x .

Найдем С1, С2, используя начальные условия:

	C		3		1;

	1	26

						2
C 3C							2.
			2
	1			13

Отсюда C1 2623 , C2 7871. Искомое частное решение будет иметь вид

y e x ( 2623 cos3x 7871 sin 3x) + 263 cos2x 131 sin 2x .

6. ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

6.1. Случайные события

Одним из объектов изучения теории вероятностей является случайное событие. Случайным называют событие, которое при испытании может либо произойти, либо не произойти. Под испытанием подразумевается вся совокупность условий, при которых наблюдают за случайным событием. Типичным примером случайного события является выпадение «орла» при подбрасывании монеты. Случайные события oобозначаются заглавными буквами латинского алфавита: A, B,

C и т. д. Кроме того, выделяется достоверное событие U, т. е.

событие, которое обязательно произойдет в результате

испытания, а	также невозможное событие	V, которое
в результате испытания заведомо не произойдет.
События	называют несовместными, если	появление

в испытании одного из них влечет нeвозможность появления другого события. Если в результате испытания обязательно появится хотя бы одно событие из совокупности событий, такие события образуют полную группу событий. Полная группа несовместных событий интересна тем, что в результате испытания появится лишь одно из этих событий. События называют равновозможными, если нeт оснований считать, что появление одного из них случается чаще, чем появление других.

Событие A называется противоположным событию A,

если оно состоит в том, что в результате испытания событие A не произойдет. Два противоположных события образуют полную

группу событий. Например, если	событие A	— выпадение
«шестерки» при подбрасывании	игральной кости (кубика),

то событие A — выпадение	остальных	чисел, кроме
«шестерки».

6.2. Классическое определение вероятности

Классическое определение вероятности события связано с понятием элементарного исхода. Случайные события могут считаться элементарными исходами, если они, во-первых, равновозможны, во-вторых, попарно несовместны, в-третьих, образуют полную группу событий.

Элементарные исходы, в которых интересующее нас случайное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию элементарными исходами.

Вероятностью события А называют отношение числа элементарных исходов, при которых происходит событие A, к полному числу элементарных исходов:

P( A) mn ,

где m — число элементарных исходов, при которых происходит событие A; n — число всех возможных элементарных исходов испытания.

Вероятность случайного события, определенного по вышеуказанной классической формуле, имеет следующие свойства:

1. Вероятность достоверного события равна единице.

2. Вероятность нeвозможного события равна нулю.

3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей 0 < P A < 1.

Пример 6.1. Найти вероятность того, что при подбрасывании кости выпадет четное число очков.

Решение. Испытание состоит в подбрасывании кости. Событие A — выпадение либо «двойки», либо «четверки», либо «шестерки». Полное число элементарных исходов n = 6. Число элементарных исходов, при которых выпадает четное число

очков, m 3 . Вероятность P( A) mn 63 0,5 .

6.3. Основные формулы комбинаторики и их использование в вероятностных задачах

Комбинаторика изучает количество способов, которыми можно выбрать подмножества (соединения) из множества элементов. Примерами соединений являются размещение, сочетание, перестановка.

Размещениями из n элементов по m называют соединения m различных элементов, которые отличаются как самими элементами, так и порядком расположения этих элементов. Число всех возможных размещений из n элементов по m равно

Am	n!	n m 1 n m 2 ... n 1 n .
Am	n m !	n m 1 n m 2 ... n 1 n .
n	n m !
n

Пример 6.2. Матрос должен передать сообщение, подняв сначала красный, а потом белый флажок. В его распоряжении еще находятся синий и желтый флажки. Какова вероятность того, что матрос передаст правильное сообщение, подняв красный, а затем белый флажки, если он поднял два флажка поочередно случайным образом?

Решение. Случайное событие A — появление красного, а затем белого флажков. Полное число элементарных исходов

n A2		4!		24	12 . Число благоприятствующих событию

4	(4	2)!	2

A элементарных исходов m 1 . Искомая вероятность

P( A) mn 121 .

Сочетаниями из n элементов по m называют соединения m

различных элементов, которые отличаются самими элементами. Число сочетаний из n элементов по m равно

Cnm		n !	.

	m ! n m !
	m ! n m !
69

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 67 / 127 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.86 Mб7Учебное пособие 1714.pdf
#
30.04.20221.86 Mб2Учебное пособие 1715.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1716.pdf
#
30.04.20221.86 Mб16Учебное пособие 1717.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1718.pdf
#
30.04.20221.86 Mб6Учебное пособие 1719.pdf
#
30.04.2022311.67 Кб2Учебное пособие 172.pdf
#
30.04.20221.87 Mб3Учебное пособие 1720.pdf
#
30.04.20221.87 Mб4Учебное пособие 1721.pdf
#
30.04.20221.88 Mб8Учебное пособие 1722.pdf
#
30.04.20221.88 Mб4Учебное пособие 1723.pdf