Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1719

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.86 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

2. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

2.1. Определенный интеграл как предел интегральной суммы

Рассмотрим задачу о нахождении площади


криволинейной трапеции, т. е. фигуры, ограниченной снизу
отрезком	a,b оси Ox , сверху графиком функции				y f x ,
а также вертикальными прямыми x a и x b .
Произвольно разобьем отрезок			a, b на n частей с
образованием частичных отрезков x1 x1 x0 ,				x2	x2 x1 ,
.... xn xn xn 1.		Внутри каждого	частичного		отрезка
xk 1, xk	выберем	произвольную внутреннюю		точку		k ,

в которой вычислим f ( k ) . Составим интегральную сумму Sn :

Sn f ( k ) xk . Интегральная сумма соответствует площади

k 1

ступенчатой фигуры, расположенной на отрезке a, b и состоящей из прямоугольников площадью f ( k ) xk .

Рассмотрим предел интeгральной суммы при n . Этот предел, если он существует, численно равен площади

криволинeйной трапеции и называется определенным
интегралом от функции y f	x	на отрезке	a,b .
	b	f x dx , т. е.
Определенный интеграл обозначается		f x dx , т. е.
	a
n		b
lim f k xk		f x dx .
n k 1		a

Нижний и верхний пределы интегрирования определяются числами a и b , задающими отрезок интегрирования a, b .

Переменная x выступает в роли переменной интегрирования,

функция f x называется подынтегральной функцией.

Для любой непрерывной функции на конечном отрезке существует предел интегральной суммы, следовательно существует определенный интеграл. Функция f x называется

в этом случае интегрируемой.

Вычисление площади криволинейной трапеции свелось к задаче о нахождении предела интегральной суммы:

		n	b
S lim	Sn lim		f ( k ) xk f x dx .
n	n k 1		a

2.2. Свойства определенного интеграла

1. Постоянный множитель вынoсится за знак определённого интеграла:

b	b
Af (x)dx A f (x)dx .
a	a

2. Определенный интеграл cуммы двух функций равен cумме интегралов от данных функций:

b		b	b
	f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx .
a		a	a
b	a
3. f (x)dx f (x)dx .
a	b
4. Для интегрируемой на отрезке a,b функции y f x
	b	c	b
	f (x)dx f (x)dx f (x)dx ,
	a	a	c
где a < c < b.
5. Если интегрируемая на отрезке a,b функция				f x , то

f (x)dx 0 .

6. Если интeгрируемые на отрезке a,b функции f(x) и g(x) связаны неравенством f (x) g(x) , то

b b

f (x)dx g(x)dx .

7.Если f(x) интегрируема на отрезке a,b и a < b, то

модуль определенного интеграла не превосходит интеграла от модуля подынтегральной функции, т. е.


b	b
f (x)dx		f (x)	dx .

8.Если функция f(x) интегрируема на a,b (a < b) и числа

m и М являются наименьшим и наибольшим значениямиx на отрезке a,b , т. е. выполняется неравенство

m f (x) M , то

	b
	m(b a) f (x)dx M (b a) .
	a	a,b	функции f x
9.	Для непрерывной на отрезке	a,b	функции f x
внутри	отрезка обязательно найдется	точка	c , в которой
выпoлнитcя условие
	b
	f (x)dx f (c)(b a) .
	a

Свойство называется теоремой о среднем для определённого интеграла и говорит о том, что криволинейная

b
трапеция, соответствующая определенному интегралу	f (x)dx ,
a
равновелика прямоугольнику с длиной основания	(b-a)
и высотой f(c).

2.3. Определенный интеграл с переменным верхним пределом

Рассмотрим криволинейную трапецию на отрезке a,b , ограниченную сверху графиком неотрицательной функции y f x . Если верхний предел интегрирования b будет менять свое положение, то площадь криволинейной трапеции окажется функцией параметра b :

		b		b
		f (x)dx f (t)dt S b .
		a		a
Рассмотрим отрезок с				переменным верхним		пределом
a, x , где	a x b . Тогда					x
a, x , где	a x b . Тогда			определенный интеграл			f (t)dt
						a
окажется	функцией		переменного		верхнего	предела
интегрирования
				x
			(x) f (t)dt .
				a	f x непрерывна на
Теорема		Барроу.	Если	функция	f x непрерывна на
отрезке a,b ,		то производная от функции (x) равна					f x ,
т. е. (x)	есть первообразная для f(x) на a,b : (x) f (x) .

Из теоремы Барроу следует, что неопределенный интеграл может быть представлен с использованием определенного интеграла с переменным верхним пределом:

f (x)dx (x) C f (t)dt C .

2.4. Формула Ньютона–Лeйбница

Способ вычисления определенных интегралов основан на использовании формулы Ньютона–Лeйбница.

Теорема. Если для непрерывной на отрезке a,b функции f x известна первообразная F x , то справедлива формула Ньютона–Лейбница:

f (x)dx F (b) F (a) .

	Пример				2.1.		Вычислить	определенный						интеграл

	etg7 x
28	etg7 x
				dx.
	cos2	7x		dx.
0	cos2	7x
	Решение:

				tg7 x									1
	28						28

			e			1			1			e
			e		dx	1	etg7 x d tg7x		1	etg7 x	28	e		.
			cos2 7x		dx		etg7 x d tg7x			etg7 x	28			.
	0				7		0	7			0		7
	0				7		0	7			0		7
					2.5. Интегрирование по частям
					в определенном интеграле
	Для непрерывно дифференцируемых на отрезке a,b
функций u(x) и v(x) имеем d(uv) udv vdu .													a,b дает
	Интегрирование						этого тождества на отрезке						a,b дает

формулу интегрирования по частям в определенном интеграле

	b	b	b
	udv (uv)	b	vdu .
	a	a	a
		a

	Пример 2.2. Вычислить		определенный интеграл

7
	(7x 9) sin 7xdx.

Решение:

(7x 9) sin 7xdx

u 7x 9,	du 7dx		(9	7x) cos7x



dv sin 7xdx,	v	cos7x			7

				7	0
		7

cos7x			( 9)	9	1			18
7		dx				sin 7x	7		.
7	7	dx	7	7	7	sin 7x	7	7	.
0	7		7	7	7		0	7
0							0

Пример 2.3. Вычислить определенный интеграл x ln xdx.

Решение:

e	u ln x,
e
x ln xdx
1	dv xdx,

ln x

x 2

v 2

	e2		x 2	e		e2		e2	1		e2	1	.
				e									.
2		4		1	2		4		4	4		4

2.6. Замена переменной в определенном интеграле

Переход от переменной интегрирования x к переменной

интегрирования x (t)	b
	в определенном интеграле f (x)dx
	a
осуществляется согласно следующей теореме.
Теорема. Если функция x t , а также ее производная
непрерывны на отрезке	, , причем множеством значений

функции x t при t , является отрезок a,b , a и b , то

b
f (x)dx f (t) (t)dt .
a
	25

Определенный интеграл, как число, может быть посчитан по пересчитанным пределам новой переменной интегрирования, поэтому возвращаться к прежней переменной не требуется.

		Пример							2.4.					Вычислить												определенный											интеграл
1

8
8	1 16x 2 dx.
x 2	1 16x 2 dx.
0
		Решение:
	1																4x sin t
																	4x sin t
															4dx costdt
																															2
	8																										6		sin			t						cost dt
	8																								1		6
			x 2			1 16x 2 dx								x			0,			x					1								1 sin 2 t
																						2

	0													1										8			0			16						4
	0																							8			0			16						4
														t2			0,		t2
														t2			0,		t2					6
																								6

				1	6													1		6											1		6
				1		sin 2 t cos2 t dt												1		sin 2 2t dt											1		1		cos4t dt
						sin 2 t cos2 t dt														sin 2 2t dt													1		cos4t dt
				64	0													256		0										512			0


				1							1															3
				1							1															3
							t	6				sin 4t			6													.
							t	6			4	sin 4t			6													.
				512				0			4				0			3072 4096
								0							0

		Пример							2.5.					Вычислить												определенный											интеграл
ln3
ln3	e4x 1 dx.
	e4x 1 dx.
0
		Решение:
																			1		ln(t 2
										e4x 1 t,								x	1							1)
										e4x 1 t,								x	4							1)
																			4
ln3																		t												1		80			t
ln3																		t														80
	e4x 1dx												dx			2 1 t 2 dt,																		t			dt
	e4x 1dx												dx			2 1 t 2 dt,														2				t	t	2	dt
0												x1 0,						x2 ln 3,												2		0	1		t
												x1 0,						x2 ln 3,
													t1 0, t2										80
																				26


1		80 t 2 1 1			1	80		1	80	dt	80	1		80
				dt			dt						arctgt
2			t 2 1		2			2		t 2 1	2	2		0
	0					0			0

280 12 arctg 80 .

2.7. Несобственные интегралы

Определенные интегралы от непрерывных функций по конечному отрезку называются собственными интегралами. Если хотя бы один предел интегрирования оказывается бесконечным, то определенный интеграл называется

несобственным интегралом первого рода.

Рассмотрим функцию f x , непрерывную на промежутке

a, , и выделим отрезок a, N .
	Несобственным интегралом от			непрeрывной функции
f x	по бесконeчному промежутку			a, называется предел
интеграла по промежутку a, N при			N :
			N
	f (x)dx	lim		f (x)dx .
	a	N a

Несобственный интеграл называется сходящимся при существовании данного предела или расходящимся, если такой предел не существует.

Пример 2.6. Вычислить несобственный интеграл 1 x 2 .

Решение:

dx		N dx
	lim

1 x 2	N 1 x 2

	1	N		1

lim			lim		1	1.

N	x	1	N	N

Пример

2.7.

Вычислить

несобственный интеграл

xdx

x 2 1

Решение:

xdx

x2 1

lim

N 1

x2 1

lim

ln N 2

1 ln 2 .

2 N

Предел не существует, следовательно интеграл

расходится.

Геометрическая интерпретация сходящегося несобствен-

ного интеграла первого рода при

x 0 — площадь беско-

нечно длинной криволинейной трапеции.

Большинство

свойств

определенного

интеграла (кроме

оценки и теоремы о среднем) для несобственных интегралов сохраняется.

Если же непрерывная функция f(x) интегрируется на всей числовой оси, то

	a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
		a

Для сходимости интеграла		f (x)dx требуется сходимость

обоих несобственных интегралов в правой части.
Несобственные	интегралы	второго рода появляются,

если подынтегральная функция испытывает разрыв второго рода на отрезке интегрирования, например в точке b (рис. 1).

Несобственный интеграл второго рода f x dx

называется сходящимся, если сущeствует конечный предел

		y		y f x
		y

		O	a		x
		O	a	b	x
				b
				Рис. 1
	b
lim		f x dx , (	>0).	В противном случае, т. е. прeдел не
0	a

существует или уходит на бeсконечность, несобственный интеграл второго рода называется расходящимся.

Если же точка разрыва второго рода подынтегральной функции является внутренней точкой отрезка a,b , то

несобственный интеграл второго рода определяется следующим образом:

b	c	b		c		b
	f x dx	f x dx f x dx	lim	f x dx lim		f x dx .
a	a	c	0	a	0 c

Для сходимости несобственного интеграла требуется сходимость обоих несобственных интегралов второго рода в правой части.

Геометрическая интерпретация несобственного интеграла

второго рода f x dx — площадь

бесконечно

высокой

криволинейной трапеции.

Пример 2.8. Исследовать сходимость интеграла

x 2

Решение:

1 dx

lim

lim 1

0 x 2

x 2

Исследуемый интеграл расходится.

<<< < Предыдущая 1 23 / 123 4 5 6 7 8 9 10 11 12 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.86 Mб7Учебное пособие 1714.pdf
#
30.04.20221.86 Mб2Учебное пособие 1715.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1716.pdf
#
30.04.20221.86 Mб16Учебное пособие 1717.pdf
#
30.04.20221.86 Mб3Учебное пособие 1718.pdf
#
30.04.20221.86 Mб6Учебное пособие 1719.pdf
#
30.04.2022311.67 Кб2Учебное пособие 172.pdf
#
30.04.20221.87 Mб3Учебное пособие 1720.pdf
#
30.04.20221.87 Mб4Учебное пособие 1721.pdf
#
30.04.20221.88 Mб8Учебное пособие 1722.pdf
#
30.04.20221.88 Mб4Учебное пособие 1723.pdf