Учебное пособие 1719

5. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

5.1. Основные понятия

В приложениях часто возникают уравнения, связывающие независимую переменную x , искомую функцию y y x

и производные этой функции. Данный тип уравнений называется дифференциальными уравнениями. Дифферен-

циальные уравнения различаются порядком, определяемым порядком старшей производной в уравнении. Если в дифференциальном уравнении имеется только один аргумент, то дифференциальное уравнение классифицируется как обыкновенное.

Решением или интегралом дифференциального уравнения

называется функция, которая при подстановке в дифференциальное уравнение удовлетворяет данному уравнению. Нахождение решения дифференциального уравнения называется

интегрированием дифференциального уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой.

5.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальные уравнения первого порядка могут встречаться в следующих формах: в неявном виде F x; y; y 0 , в виде, разрешенном относительно производной, y f (x, y) , и в дифференциальном виде P x; y dx Q x; y dy 0 .

Дифференциальные уравнения первого порядка имеют не одно, а множество решений. Общим решением дифферен-

в тождество. Частным решением дифференциального уравнения первого порядка называется функция y x ,

полученная из общего решения при конкретном значении постоянной C C0 .

Если функциональная зависимость в общем решении дифференциального уравнения слишком сложна, то приходится ограничиваться вариантом неявной зависимости в записи общего решения Ф x; y;c 0 , называемым общим интегралом

дифференциального уравнения является семейство интегральных кривых, каждая из которых связана с частным решением. Для выделения конкретной кривой используется точка x0 ; y0 ,

через которую должна проходить кривая. Задача отыскания частного решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего заданному начальному условию,

называется задачей Коши.

Простейшим дифференциальным уравнением первого порядка, к которому сводятся дифференциальные уравнения других видов, является уравнение с разделяющимися переменными:

Помимо представленного общим интегралом множества частных решений, существуют особые решения дифференциального уравнения, которые не принадлежат множеству общего решения и определяются уравнением

Q1 y P2 x 0 .

51

Особые решения данного дифференциального уравнения: x 0, y 0 .

5.3. Однородные уравнения первого порядка

Функция f x, y называется однородной функцией n-го

порядка относительно переменных х и у, если при любом справедливо тождество

f x, y n f x, y .

К примеру, f x; y x 2 3xy выполняет свойство однородной функции второго порядка, поскольку

f x, y x 2 3 x y 2 x2 3xy 2 f x, y .

Дифференциальное уравнение y f x; y , разрешенное относительно производной, называется однородным, если функция f x; y есть однородная функция нулевого порядка.

Укажем способ сведения однородного дифференциального уравнения к уравнению с разделяющимися переменными.

52

быть однородными функциями одинакового порядка, то

однородные функции второго порядка, следовательно уравнение однородное.

53

Общее решение имеет вид y uv cos x x sin x cos x C . Используем начальное условие y 0 1 для вычисления

конкретного значения произвольной постоянной: 1 1 0 1 C , откуда C 0 .

Искомое решение задачи Коши имеет вид y cos x(x sin x cos x) .

5.5. Дифференциальные уравнения второго порядка. Основные понятия

Дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид

F x, y, y , y 0 .

Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция y (x,C1 ,C2 ) , обращающая при подстановке дифференциальное уравнение в тождество и содержащая две произвольные постоянные C1 ,C2 .

Геометрически общему решению дифференциального уравнения второго порядка соответствует двухпараметрическое семейство интегральных кривых, каждой из которых соответствует частное решение. Наличие двух параметров в семействе кривых означает то, что для решения задачи Коши по нахождению единственного решения (единственной интегральной кривой) требуется задание уже двух начальных

через которую проходит интегральная кривая, но и тангенс угла наклона касательной к кривой в этой точке.

56

5.6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка имеет вид

y a1 x y a2 x y 0 ,

где a1 x , a2 x — непрерывные функции x . Укажем свойства решений этого уравнения, сформулированные как теоремы.

называются линейно зависимыми.

В системе двух линейно зависимых функций эти функции пропорциональны.

Определитель Вронского, или вронскиан, позволяет

несколько теорем, касающихся определителя Вронского.

57

Теорема 2. Определитель Вронского для дифференцируемых на промежутке (а;b) функций y1 x и y2 x ,

образующих линейно зависимую систему, тождественно равен нулю на этом интервале.

для этих функций не обращается в ноль ни в одной точке на этом интервале.

системой решений линейного однородного дифференциального

(a;b) фундаментальную систему решений, то общее решение этого уравнения имеет вид y00 c1 y1 x c2 y2 x , где c1 и c2 — произвольные постоянные.

5.7. Дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами имеет вид

58

где p и q — постоянные действительные числа. Для

построения общего решения этого уравнения требуется два линейно независимых частных решения. Частные решения

ищутся в виде y ekx . Константа k определяется в результате

(k 2 pk q) 0 возникают три случая.

1. Характеристическое уравнение имеет положительный дискриминант и два действительных различных корня k1 и k 2

т. е. они образуют фундаментальную систему решений. Наличие фундаментальной системы решений позволяет записать общее

решение y c1ek1x c2ek2 x .

Пример 5.4. Найти общее решение линейного однородного дифференциального уравнения y 10y 9y 0 .

Решение. Характеристическое уравнение k 2 10k 9 0 имеет два действительных корня k1 1, k2 9 . Общее решение