Учебное пособие 1699

4.18.a=(x+xy)i+(y−x2)j+(z−1)k, S: x2 +y2 =z2 (z≥0), P: z=3.

4.19.a=(x+y)i+(y−x)j+(z−2)k, S: x2 +y2 =z2 (z≥0), P: z=2.

4.22.a=xi+(y+yz2)j+(z−zy2)k, S: x2 +y2 +z2=4, P: z=0 (z≥0).

4.23.a=(x+z)i+(y+z)j+(z−x−y)k, S: x2 +y2 +z2=4, P: z=0 (z≥0).

4.27.a=(x−y)i+(x+y)j+zk, S: x2 +y2 +z2=1, P: z=0 (z≥0).

4.28.a=(x+xz2)i+yj+(z−zx2)k, S: x2 +y2 +z2=9, P: z=0 (z≥0).

211

Задача 5. Найти поток векторного поля a через часть

212

213

6.17. a =π yj +(1− 2z)k,

P : x 4 + y 2 + z =1.

a = (27π −1)xi +(34π y +3)j + 20π zk,

6.19.a =πxi + 2j + 2πzk,

P : x 2 + y 3 + z =1.

6.20.a = 4π xi + 7π yj +(2z +1)k, P : 2x + y3 + 2z =1.

6.23.a = (21π −1)xi + 62π yj +(1− 2πz)k, P : 8x + y 2 + z 3 =1.

a= (π −1)xi + 2π yj +(1−πz)k,

6.28.P : 4x + 2y + 3z =1.

215

a= π xi +π yj +(4 − 2z)k,

6.29.2

P : x + 3y + 4z =1.

6.30.a = 7πxi + 4π yj + 2(z +1)k, P : x 3 + y 4 + z =1.

6.31.a = 5π xi +(1− 2 y)j + 4π zk, P : x 2 + 4 y + z 3 =1.

216

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приступая к изучению высшей математики, необходимо знать, что математику нельзя изучать пассивно, нужно стараться глубоко вникать в смысл математических понятий и теорем, пытаться самостоятельно решать математические задачи. Результатами изучения курса высшей математики должны быть развитие аналитического мышления, овладение навыками решения математических задач, выработка умения самостоятельно ставить задачи и выбирать или разрабатывать методы их решения.

Материал практикума предоставляет возможность студентам самостоятельно освоить основные положения одного из важнейших разделов в курсе высшей математики – теории поля и векторного анализа. Позволяет приобрести и закрепить практические навыки решения простых типовых задач, а также познакомится с методикой построения приложений теории поля к задачам механики и физики. Наиболее эффективный результат может быть достигнут, если использовать пособие, как для аудиторных занятий, так и для самостоятельной работы.

Несколько слов о том, как работать с этой книгой. Прежде, чем приступать к изучению методов решения задач, необходимо повторить основные определения и теоремы, относящиеся к данному разделу, постараться понять и запомнить наиболее часто используемые формулы. После этого можно переходить к изучению разобранных примеров. Некоторые типовые задачи и методы рассмотрены в пособии, как в общем виде, так и на примерах. Весьма полезно изучить и то и другое. Это поможет вам не только отработать навыки решения задач, но и лучше понять и усвоить теоретический материал.

217

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Андрианова Т.Н. Задачник практикум по высшей математике / Т.Н. Андрианова.– СПб.: Изд-во Сант-Петерб.

ун-та, 1994.

2.Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах / И.А. Марон. – М.: Физматлит, 1973.

3.Лунгу К.Н. Сборник задач по высшей математике / К.Н. Лунгу, Д.Т. Письменный. – М.: Рольф, 2007.

4.Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике: Полный курс / Д.Т. Письменный. – М.: Айрис-

пресс, 2008.

5.Данко П.Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П.Е. Данко, А.Г. Попов, Т.Я. Кожевникова. – М.:

Высш. шк., 1998.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: учеб. пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.: Наука, 1987.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. — М.: Высш.школа, 2003.

8.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

9.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа /

Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, т. 1, 1998. - 687с., т. 2, 1998. – 584с.

10.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с.,

т.2, 2001. — 544с.

11.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

218

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ ……………………………………………….. 3

1.КРАТНЫЕ, КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ …………………… 4

1.1.Двойной интеграл и его вычисление …………… 4

1.2.Двойной интеграл в полярных координатах.

Замена переменных в двойном интеграле …………………………………………. 14

1.3.Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности ……………………………….22

1.4.Вычисление объемов тел ……………………….. 31

1.5.Приложения двойного интеграла к механике …. 37

1.6.Тройной интеграл ………………………..………. 46

1.7.Вычисление величин посредством тройного интеграла………………………………………….. 54

1.8.Криволинейные интегралы………………………. 63

1.9.Условия независимости криволинейного

интеграла от пути. Нахождение функции по ее полному дифференциалу………………………… 74

1.10.Вычисление геометрических и физических

величин посредствам криволинейных интегралов………………………………………. 80

1.11.Поверхностные интегралы…………………….. 100

1.12.Вычисление величин посредством поверхностных интегралов……………………. 107

2.ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ПОЛЯ………………………. 114

2.1.Скалярное поле. Линии и поверхности уровня ……………………….…………………… 114

2.2.Производная в данном направлении. Градиент… 116

2.3.Векторное поле. Дивергенция и вихрь векторного поля……………….……..…………… 122

2.4.Дифференциальные операции

2-го порядка…………………..…………………… 130

2.5.Интегралы теории поля и теории потенциала….. 134

219

2.6.Вычисления геометрических и физических

величин посредством криволинейных интегралов………………………………………….. 155

3.ТИПОВЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕОРИИ ПОЛЯ…………… 171

3.1.Векторные линии……….. ………………………… 171

3.2.Поток векторного поля…………………………….. 173

3.3.Поток векторного поля через часть цилиндра….…..177

3.4.Поток векторного поля через часть сферы……….. 180

3.5.Вычисление потока по формуле Остроградского… …183

3.6.Работа силы…………………………………………. 185

3.7.Циркуляция векторного поля……………………… 186

3.8. Вычисление циркуляции по формуле Стокса…… 187

4.ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ………………………………………………… 191 4.1. Задачи по разделу кратные интегралы…………… 191

220