Учебное пособие 1346
.pdfВАРИАНТ 15 |
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ВАРИАНТ 16 |
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1. |
(tgx 2ctgx)2 dx |
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3x2 |
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x |
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x |
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cosx |
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4 x |
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dx |
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1 4sin x |
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xsin |
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(ln x) |
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3. |
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x |
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3x 4 |
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4x 1 |
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dx |
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5x 10 |
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5. |
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3x 2 |
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dx |
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x |
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x 1 |
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3 x |
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6. |
(4 x)e 3xdx |
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xarcsin x |
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6. |
(1 x)e 2xdx |
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7. |
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1 x |
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7. |
arcsin |
dx |
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8. |
8 |
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/ 2 |
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1 |
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x 8 |
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8. |
sin |
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xcosxdx |
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2 |
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9. |
x |
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ln xdx |
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9. |
xln(x 1)dx |
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10. y = 7ex, |
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x = 3, |
y = 7 |
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0 |
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10.y = 3 – x2, |
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4x + y = 0 |
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11. y – 3 = ln(cos x), |
0≤ x ≤π/3 |
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11.2y – 1 = x2, 0≤ x ≤ |
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3 |
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12. y + x – 5 = 0, |
yx = 4, {Ox} |
12.y = 8 – x2, |
y = x2, {Ox} |
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13. ex(1+ ey)dx +ey (1+ex)dy = 0 |
13. y = |
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2xy5 |
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14. y2 y cos2x = 1/3, |
y(0) = 0 |
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1 x2 |
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y |
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14. x2 cos2 |
y |
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, y(0) = 0 |
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3 |
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ВАРИАНТ 17 |
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ВАРИАНТ 18 |
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1. |
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2x 5x |
dx |
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1. |
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(4 x2 )2 |
dx |
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x |
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2 |
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2x |
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2. |
cos |
1 dx |
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2. |
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xdx |
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x x |
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cos |
2 |
(x |
2 |
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1) |
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cos(lnx) |
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cosx |
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3. |
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dx |
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3. |
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dx |
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x |
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(2sin x 1)2 |
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4. |
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3x 9 |
dx |
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4. |
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1 2x |
dx |
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4x 2 |
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x 4 |
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80
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dx |
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5. |
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5. |
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xdx |
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x |
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x(x 2) |
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6. |
x52x dx |
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6. |
xe 3xdx |
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7. |
xarctg2xdx |
7. |
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ln xdx |
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|
x |
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4 |
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dx |
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2 |
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1 |
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3 |
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8. |
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8. |
x2ex |
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dx |
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x x |
2 |
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16 |
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5 |
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0 |
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e |
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ln x |
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/6 |
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9. |
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|
dx |
|
|
|
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9. |
xsin3xdx |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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1 |
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|
x |
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|
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0 |
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10. y = – x2 + 6x, y = x + 4 |
10.4y = x2, 4x = y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. x |
2 |
|
+ y |
2 |
|
= 4, 0≤ x ≤1 |
11.(4 – y)2 = x3, 0≤ x ≤5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
12.y = 3x – x2, y = 2 {Ox} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
|
|
|
y2 = 5x, 5y = x2, {Ox} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
yln3 |
y |
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. 2xdx–2ydy = x2ydy –2xy2dx |
13. y |
|
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|
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|
x 1 |
|
|
|
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|||||||||||||
14. |
|
|
|
y tgx + y = 1, y(π/2) = 0 |
14. |
y |
|
= y2ctgx, y(π/2) = –1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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ВАРИАНТ 19 |
ВАРИАНТ 20 |
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1. |
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2 dx |
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1 |
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2 |
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||||||||||||||||||||||||
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|
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2 |
|
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|
|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
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1. |
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|
4 |
|
|
x |
|
|
|
dx |
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|
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2 |
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|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
x |
|
|
|
|
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|
dx |
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2. |
x |
2 |
|
|
|
3 |
|
1 x |
3 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(27 9x |
3 |
) |
2 |
|
|
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ln x 3 |
|
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|
x3 |
|
|
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|
|
|
|
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|
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|
|
|
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|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
3. |
|
|
|
|
|
|
dx |
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
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|
|
|
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|
ln x |
|
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|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
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|
x8 |
4 |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
7x 14 |
|
|
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|
|
|
|
2x 10 |
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
dx |
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
dx |
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|
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|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2x 14 |
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|
3x 1 |
|
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|
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|
dx |
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||||||||||||
5. |
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|
x |
|
dx |
|
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|
5. |
|
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|||||||||||||||||
|
|
2x 1 |
|
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2 |
3 |
|
x 1 |
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|
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
(x 1)32x dx |
6. |
(2x 3)cos |
dx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
x2 |
|
ln(x3 |
1)dx |
|
|
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|
xdx |
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2 |
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|
7. |
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|
cos |
2 |
|
x |
|
|
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|
|
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||||||||||||||
|
e |
2 |
|
|
1 |
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|
|
dx |
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|
/ 2 |
|
cos3 x |
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
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|
2 |
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|
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|
|
|
|
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|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
1 ln |
|
x |
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
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|
|
e |
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/ 3 |
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
e |
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
9. |
(x |
|
3)2 |
x |
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
9. |
x |
3 |
ln xdx |
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
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|
|
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2y = x + 1, y2 = 1 + x |
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1 |
|
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|||||||||||||||||||||||||||||
10. |
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|
10.x = 1, |
|
|
2 |
= 4 – x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
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|
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y |
|
81
11. |
|
|
|
|
(y – 1)2 = 9x3, |
0≤ x ≤3 |
11.x |
2 |
+ (y |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
0≤ x ≤1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
xy = 2, x + 2y – 5= 0, {Ox} |
|
|
|
|
|
|
|
– 5) = 4, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.y = x2/2, y = x3/8, {Ox} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13.xydy = (2 + x2)dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
yy |
|
|
2x |
, y(0) = π/2 |
14. |
y |
|
= |
|
|
ycosx |
, |
y(–π/2) = e |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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cosy |
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2 sin x |
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ВАРИАНТ 21 |
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ВАРИАНТ 22 |
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1. 5x (3x 1)dx |
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1. |
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3 |
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x |
3 |
dx |
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2. |
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arctgx |
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dx |
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3 |
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x |
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1 x |
2 |
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2. |
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x |
2 |
dx |
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e |
x |
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3. |
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dx |
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3 1 x3 |
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||||||||
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4 e |
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2x |
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ln x 3 |
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5x 1 |
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3. |
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|
dx |
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||||||||||||||||
4. |
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|
dx |
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xln x |
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|
x 5 |
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2x |
2 |
1 |
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dx |
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4. |
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dx |
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x |
2 |
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|||||||||||||||||||||
5. |
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4 |
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||||||||||||||||||
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|
2dx |
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(2 3 |
|
|
x) |
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5. |
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6. |
(9x 1)sin3xdx |
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x x |
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7. |
3 |
|
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ln xdx |
|
|
|
6. |
(3x 2)sin6xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
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|
|
xdx |
|
|
|
|
|
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|
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|
7. |
xln(x 1)dx |
|
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8. |
|
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||||||
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
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|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2xdx |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
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|
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|
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|
x |
4 |
|
1 |
|
|
|
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||||||||||||||||||||
9. |
x3arcctgxdx |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
9. |
e |
|
ln xdx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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5 |
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||||||||
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|
x |
|
|
|
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|
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|
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||||
10. |
xy = 4, x + y – 5 = 0 |
|
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|
e |
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10. y = 8 – x2, y = x2 |
|
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11. |
2 + 4y = x2 – 2lnx, 1≤ x ≤e |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11.7 + y = ln(sin x), |
π/3≤ x ≤ π/2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. |
y2 = 3x, x2 = 3y, {Ox} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12.y = e |
2x |
, y = 1, x = 1, {Ox} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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13. |
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x |
|
|
dx y |
|
|
dy 0 |
13.(x2 – 1) y = 2y2 |
|
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|
|
|
|
1 y2 |
1 x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14.(2 +cosx) y = y·sinx, y(π) = e |
14. |
y tgx – y = 2, y(π/4) = –1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
82
ВАРИАНТ 23 |
|
ВАРИАНТ 24 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
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||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1. |
|
(1 x |
) |
|
|
dx |
|
1. |
|
( |
|
|
|
2 x)2 |
dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
|
2. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
3 6x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
xln3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
3. |
e2x2 ln xdx |
|
3. |
|
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
5x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 4 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
3x 2 |
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
dx |
|
1 x |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||
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|
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|
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|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
1 3x |
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
6. |
(8x 1)cos6xdx |
|
|
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
|
|
ln x |
x |
2 |
dx |
|
(7x 1)cosxdx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
7. |
arctg2xdx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/ 2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
8. |
sin xe2cos xdx |
|
8. |
e2x 1dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
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|
||||
|
/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
9. |
arctgxdx |
|
9. |
x2 ln xdx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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||||
10. xy = 2, x + 2y – 6 = 0 |
10.y2 = 4x, |
|
|
|
|
x2 = 4y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
|
y = 3 + ln(cos x), π/6≤ x ≤π/3 |
11.2y – 7 = x2, 0≤ x ≤ |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. y = x2 – 2x + 3, y = 0, x = 1 |
12.x2 + 4y –16 = 0, x– 2y+4 =0, {Ox} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
x = 2, {Ox} |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
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|
|
|
|
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|
|
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|
|||||||||||||||||
13. |
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x2 y – (2x – 1)y = 0 |
13. y |
|
|
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|
x2 |
|
|
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|
|
|
y 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. |
|
|
|
|
y |
= tgx·tgy, |
y(0) = π/6 |
14. |
y tgx – y = 1, y(π/3) = 0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВАРИАНТ 25 |
|
ВАРИАНТ 26 |
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|
|
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|
|
2 3x 4x2 |
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|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
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|
|
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|||||||||||||
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1. |
x |
1 |
x 3 dx |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
12x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
dx |
|
2. |
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
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|
|
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|
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|
|
|
|
|
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||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
25 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
sin x |
|
|
|
|
dx |
3. |
|
|
|
(x 1)2 |
|
dx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
cosx 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
x |
2 |
1 |
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
83
5. |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
(5x 7)sin5xdx |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
2 |
|
x 7 |
|
|
6. |
ln(2x 1)dx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(1 2x)sin2xdx |
7. |
|
|
|
x |
2 |
2 |
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
1 ln |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
/3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
/ 2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
tgxdx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
cos |
xsin xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
(2x 3)e xdx |
|
|
9. |
xarctgxdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
|
y=x2–5x+6, y= 0, x = –1 |
10.y = ex, |
y = e-x, |
x = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. y – 3 = lnx, 1≤ x ≤2 |
11.(y – 4)2 = x3, 0≤ x ≤5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. y = ex, |
y = e-x, x = –1, {Ox} |
12.y = x2, |
y = 2 – x4, {Ox} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
13. y |
|
|
1 y |
|
|
0 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
13. |
|
yy |
1 x2 x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
14. cosx·sinydy = sinx·cosydx, |
14. |
y3 y |
= 1 + 2x, |
y(0) = 2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y(0) = π/4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|||||||||||||||
ВАРИАНТ 27 |
|
|
ВАРИАНТ 28 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|||||||||||
1. |
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
1. |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||||
|
sin x |
|
|
x |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
|
|
|
|
|
ex |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
2. |
|
|
|
|
|
ln x |
|
|
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 ln x |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
4 1 2ex |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
3. |
tg4xdx |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x 1 |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
6. |
(5x 2)sin5xdx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
(4x 2)cos4xdx |
7. |
|
|
ln xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
3 |
x5 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
(x2 x)ln xdx |
|
|
1 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(2x |
1) |
3 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
(3x |
2) |
3 |
|
dx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
1/ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
arcsin xdx |
|
||||||||||||||||||||
9. |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
arccosxdx |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10. y = x4, |
|
|
y = 32–x4 |
|||||||||||||||||||
10. x2 – 8y – 16 = 0, y = x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
|
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|
|
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|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
84
11. (y – 1)2 = 25x3, 0≤ x ≤3 |
11. (y + 5)2 + x2 = 4, |
0≤ x ≤1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. y = 2x2, |
|
|
y = 3–x4, {Ox} |
12. |
y 1 x, y=7–x2 , {Ox} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. x + yy |
= 1 |
|
|
|
|
13. xydy + (x + 1)dx=0 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
14. (1+cosx) yy =sinx, y(π/2)=2 |
14. |
y tgx + y=2, y(π/4)=1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ВАРИАНТ 29 |
|
ВАРИАНТ 30 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
(1 |
|
|
|
)3 |
|
|
|
|
|
|
1. |
( |
|
|
|
|
|
)3 dx |
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
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x |
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dx |
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8 |
2x |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|||||||
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|
x |
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6x |
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||||||||||||||||||
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2x 4 |
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2. |
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dx |
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x |
2 |
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|||||||||||||||||||||||
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6x 10 |
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2. |
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dx |
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||||
x |
2 |
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dx |
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||||||||||
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4x 8 |
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3. |
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|||||||||||||||||||||
3. |
cos(e |
x |
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x |
dx |
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xcos |
2 |
ln x |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2)e |
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
4. |
|
x 3 |
dx |
|
4. |
|
|
|
|
6x |
|
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|
|
dx |
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||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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|
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3x 2 |
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|
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|
x 3 |
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||||||||||||||||
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7 |
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x |
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|||
5. |
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|
x |
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dx |
|
5. |
|
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dx |
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||||||||||||||||||||||
|
|
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4 |
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1 |
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x |
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|
x |
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||||||||||||||||||||
6. |
(2x 4)cos2xdx |
|
|
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|
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|
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. |
xcos |
|
|
|
|
dx |
|
|||||||||||||||||
7. |
(x 1)2 ln xdx |
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
8. |
/ 4 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
7. |
arcsin5xdx |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
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|
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|
|
|
|
|
|
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|
e 2 ln x |
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||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
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|
|
|
|
|
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|
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||||||||||||||||||||||||||||
cos |
|
x tgx |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/ 6 |
|
|
|
|
|
8. |
|
|
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|
|
|
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|
dx |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
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|
x |
|
|
|
|
|
|
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|
|
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||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
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|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||
9. |
(x 3)exdx |
|
|
/3 |
|
|
xdx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||
|
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
2 |
|
x |
|
|||||||||||||||||||||
10. y = – x2 +4, y = 2x + 1 |
|
/ 4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
10. y2 – 2x + 2 = 0, |
x – y – 1 = 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. 4y + 1 = x2 – 2lnx, 1≤ x ≤e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
11. |
y – 2/3 = ln(sin x), π/3≤ x ≤ π/2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. y2 = 2x – 2, y = x – 1, {Oy} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12. y=3, |
y = 5–x2, {Ox} |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. y(x2 + 1)y =1 + y2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
13. |
xyy |
= 1 – x2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
14. (1 + ex)yy = ex, y(0) = 1 |
14. |
y ctgx + y = 0, y(π/3) = 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
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|||||||||||||||||||||||||
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|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
85
ВАРИАНТ 31
1.(1 3x)2 dx
x3
2.sin xx dx
3. |
|
earcsin 3x |
|
|
|
dx |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 9x |
2 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
|
|
|
x |
dx |
||||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
|
x |
|
|
|
dx |
||
|
x(x 4) |
||||||||||
|
|
|
|
|
6.(3x 1)sin3xdx
7.arctg xdx
|
2 |
|
|
/ 4 |
|
sin xdx |
|
8. |
|
|
|
|
|
|
|
1 cos2 x |
|
||
/6 |
|
e
9. (2x 1)ln xdx
1
10. y = 4x – x4, y = 2x
11. y + 1 = ln(cos x), 0≤ x ≤ π/3
2
12.y=2x , y=0, x=1, x=3, {Ox}
13.tgx·sin2ydx = cos2x·ctgydy
14.(x2 –1) y +2xy2 =0, y(2 )=1
ВАРИАНТ 32
1.4x 23x 8x dx
x2
2.x5 33 2x6 dx
3. |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
||||
arctg2x(1 4x |
2 |
) |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||
4. |
|
|
|
x2 |
|
dx |
|
|
|||||
|
|
x 4 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
|
|
|
x |
|
|
dx; |
|
|
||||
|
x 4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
6. |
(2x 3)cos2xdx |
||||||||||||
7. |
arcsin |
x |
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
e |
x3 ln3 x |
|
|
|||||||||
8. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9. |
x 2 e xdx |
|
|
||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10.y = 3x, x = y, x = 2
11.3 + 2y = x3/2 , 0≤ x ≤3
12.y2 = 4x, y = x, {Oy}
13.y = tgx·tgy
14.x2 y2 y = 1 – x2, y(1) = 0
86
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Вы завершили изучение основных понятий математического анализа. Полученные навыки вычисления производных, понятия и вычисления интегралов будут нужны Вам далее для изучения далее таких дисциплин как прикладная механика, архитектурная физики, а также других общетеоретических и специальных дисциплин. Поэтому, хочется обратить внимание студента на изучение таких понятий как производная функции, на определение и приложения интеграла.
Более подробное изложение данного материала можно найти в книгах, учебных пособиях и монографиях, указанных в библиографическом списке.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Бермант А. Ф. Краткий курс математического анализа / А. Ф. Бермант, И. Г. Араманович. –15-е изд. стер. – СПб.: Лань, 2009. – 735 с.
2.Будаев В. Д. Математический анализ. Функции одной переменной: учебник
/В. Д. Будаев, М. Я. Якубсон. – СПб.: Лань, 2012. - 544 c.
3.Выгодский М. Я. Справочник по высшей математике / М. Я. Выгодский. - М.: Просвещение, 2002. – 328 с.
4.Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах / П. Е. Данко, А. Г. Попов, Т. Я. Кожевникова. – М.: Высш. шк., 2009. Ч.1. – 368 с.
5.Демидович Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу.
/Б. П. Демидович. -13-е изд., испр. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1997. – 624 с.
6.Интегральное исчисление: метод. указания и задания по высшей математике
/С. М. Алейников [и др.]. – Воронеж: Воронеж. гос. арх.-строит. ун-т, 2008.
– 82 с.
7.Ильин В. А. Математический анализ: учебник для бакалавров / В. А. Ильин, В. А. Садовничий, Б. Х. Сендов. - 14-е изд., перераб. и доп. - Люберцы:
Юрайт, 2016. - 660 c.
8.Натансон И. П. Краткий курс высшей математики / И. П. Натансон.– СПб.; М.; Краснодар: Лань, 2009. – 736 с.
9.Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисление для втузов / Н. С. Пискунов. – М.: Интеграл - Пресс, 2008. Ч. 1. – 416 с.
10.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть. – Минск: Вышэйш. шк., 1990.
Ч. 1. – 271 с.
11.Сборник индивидуальных заданий по высшей математике / А. П. Рябушко, В. В. Бархатов, В. В. Державец, И. Е. Юруть. – Минск: Вышэйш. шк., 1991.
Ч. 2. – 350 с.
12.Шипачев В. С. Математический анализ. Теория и практика / В. С. Шипачев.
– М.: Высш. шк., 2009. – 350 с.
87
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Введение………………………………………………………………... |
3 |
§ 1. Функции одной переменной……………………………………... |
4 |
1.1. Основные определения………………………………………. |
4 |
1.2. Способы задания функций…………………………………... |
5 |
1.3. Основные элементарные функции…………………………... |
6 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
11 |
§ 2. Дифференциальное исчисление…………………………………. |
12 |
2.1. Предел функции в точке, его свойства……………………... |
12 |
2.2. Определение производной, ее геометрический и |
|
физический смысл……………………………………………. |
13 |
2.3. Правила дифференцирования функций…………………….. |
16 |
2.4. Таблица производных основных элементарных функций... |
18 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
21 |
§ 3. Дифференциал функции………………………………………….. |
22 |
3.1. Определение дифференциала функции…………………….. |
22 |
3.2. Свойства дифференциала функции. Таблица |
|
дифференциалов основных функций……………………….. |
22 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
24 |
§ 4. Исследование и построение графика функции…………………. |
25 |
4.1. Возрастание и убывание функций………………………….. |
25 |
4.2. Точки экстремума……………………………………………. |
25 |
4.3. Выпуклость и вогнутость кривой. Точки перегиба……….. |
26 |
4.4. Асимптоты……………………………………………………. |
28 |
4.5. Общая схема исследования функций………………………. |
29 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
33 |
Варианты контрольных заданий по теме |
|
“Дифференцирование функции”………………………………… |
34 |
§ 5. Неопределенный интеграл……………………………………….. |
40 |
5.1. Понятие неопределенного интеграла, его свойства……….. |
40 |
5.2. Таблица интегралов основных элементарных функций…... |
40 |
5.3. Непосредственное интегрирование………………………… |
43 |
5.4. Замена переменной в неопределенном интеграле…………. |
44 |
5.5.Интегрирование некоторых дробно-рациональных выражений……………………………………………………. 47
5.6. Интегрирование по частям неопределенного интеграла…. |
50 |
5.7. «Неберущиеся» интегралы………………………………….. |
53 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
54 |
88
§ 6. Определенный интеграл………………………………………….. |
55 |
6.1. Понятие определенного интеграла…………………………. |
55 |
6.2. Свойства определенного интеграла………………………… |
56 |
6.3.Вычисление определенного интеграла. |
|
Формула Ньютона-Лейбница……………………………… |
57 |
6.4. Замена переменной в определенном интеграле……………. |
57 |
6.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле…… |
58 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
59 |
§ 7. Приложения определенного интеграла…………………………. |
60 |
7.1. Вычисление площади в декартовой системе координат….. |
60 |
7.2. Вычисление объемов поверхностей вращения…………….. |
64 |
7.3. Вычисление длины дуги плоской кривой………………….. |
66 |
Упражнения и контрольные вопросы……………………………. |
68 |
§ 8. Дифференциальные уравнения…………………………………... |
68 |
8.1. Понятие дифференциального уравнения…………………... |
68 |
8.2.Частное решение дифференциального уравнения первого порядка. Задача Коши………………………………………... 69
8.3.Дифференциальные уравнения с разделяющимися
переменными…………………………………………………. 71
Варианты контрольных заданий по теме “Неопределенные и определенные интегралы, их приложения”…………………….. 74
Заключение…………………………………………………………….. 87
Библиографический список…………………………………………... 87
89