Учебное пособие 1346

Пример

1.

Найти

область

определения

функции

y 8

2

x2

sin x

.

Найдем области определения каждого из слагаемых:

4

1 cos x

1)

извлечь

8

2

x2

возможно

только

тогда,

когда

2

x2

0,

отсюда

2

4

4

x

2

или

x

, что означает

x

;

4

2

2

2

sin x

x

2)

вычислить

отношение

возможно, если выбрать

так,

чтобы

1 cosx

выполнялось деление

sin x

на (1 cos x),

что возможно лишь тогда, когда

(1 cos x) 0,

т. е. cosx 1,

тогда x R/ 0, 2 , 4 ,... .

Итак, областью определения функции

y(x)

является пересечение отрезка

x R/ 0, 2 , 4 ,... .

,

и

Так как на отрезок попадает только одна

2

2

точка x 0, где второе слагаемое не определено,

то,

исключив ее, мы получим

все x, при которых y(x) определена.

, 0 0,

Ответ: x

.

2

2

Пример 2. Найти область определения функции y arcsin

2x 1

2

.

Функция y(x)

5

1 log2 x

существует тогда, когда существуют оба слагаемых:

1)

arcsin

2x 1

определен только тогда, когда аргумент его ограничен единицей

5

2x 1

по абсолютной величине 1

1;

2

5

2)

существует тогда, когда знаменатель дроби не равен нулю и не

1 log2

x

2x 1

1

1

5 2x 1 5

2 x 3

5

2

1 log2 x 0

log2 x log2

x 2

x 0

x 0

x 0

4.

Укажите

область

значения

функций:

y log0.5 x,

y x4 ,

y x ,

y= 2x2 4x+4.

5.

Какая из

функций

является

четной:

y 3

cosx,

y 3

sin x x2 ,

x

x

6.

Указать область определения функции

f (x)=

1

e

.

x

1 x2

7.

Указать область определения функции

f (x)=

1

ln x+1.

sin2 x

8.

Указать область определения функции

f (x)= arccos

x

.

2 x

окрестности точки x a:

x a

, будет выполняться неравенство

Рис. 7. Определение предела функции в точке

Число A есть предел функции

f (x) в точке x a, что

обозначают

A lim f (x), это значит, что для всех

x, достаточно близких к числу a (т. е.

x a

для

x a

), соответствующие им

значения функции f (x)

оказываются

близкими к числу A (т. е.

f (x) A

), что и показано на рис. 7.

Свойства предела функции в точке

1.

Функция в точке может иметь только один предел.

2.

Предел константы равен ей самой, т. е. limC C.

x a

3.

Предел алгебраической суммы равен алгебраической сумме пределов:

x 0 x

Так как tg k угловой коэффициент касательной, то

k lim

y

.

(2.1)

x 0 x

отношения приращения функции y к приращению аргумента

x, когда

последний стремится к нулю. Приращения функции y

и аргумента x

показаны на рис. 8 и на рис. 9.

Производная

f х0

определяет

тангенс угла наклона касательной,

построенной к графику функции

y f (x) в точке с абсциссой x0 ,

к оси Ox,

что получено в формуле (2.1).

Далее, составим уравнение прямой (касательной М0Т на рис. 8) по

найденному угловому коэффициенту k

и точке М0(x0, y0 ),

принадлежащей

прямой:

y y0

k(x x0 ).

(2.2)

Подставив y0 f (x0 )

и k

f (x0 )

в уравнение (2.2), получим уравнение

касательной, показанной на рис. 10:

y f (x0 ) f (x0 )(x x0 ).

(2.3)

Нормалью к

кривой

на плоскости является прямая,

ортогональная к

y f (x0 )

1

(x x0 ).

(2.4)

f (x0 )

Рис. 9. Приращения функции y

Рис. 10. Нормаль и касательная

и аргумента x

к графику функции

Пример 3. Составим уравнение касательной и нормали к графику

функции y 3x2 2

в точке с абсциссой x0 1.

x

Решение.

Вычислим значение функции в

точке с абсциссой

x0

1:

y0 y(1) 3 12

2

1.

1

Вычислим значение производной

1

в той же точке

x0

1:

y (x) 6x

x

y

(1) 5.

Уравнения касательной (2.3) и уравнение нормали (2.4) имеют

соответственно вид:

y 1 5 (x 1) y 5x 4 (касательная);

y 1

1

(x 1) y

1

x

6

(нормаль).

5

5

5

отношением пройденного пути ко времени V

=

S

.

ср

t

V(t

) limV

lim

S

.

(2.5)

0

cp

t 0

t 0 t

Отвлечёмся от конкретного смысла рассматриваемых выше задач и

проведём рассуждения для произвольной непрерывной функции

y f (x),

заданной в интервале (a,b):

1) возьмём произвольное значение аргумента x (a,b);

2) зададим аргументу столь малое приращение x, что (х + ∆х) и

x (a,b), и

вычислим значение функции f (x x) и f (x);

аргумента

y

, когда x 0, т. е. lim

y

.

x

x 0 x

y

(2.6)

y (x) lim .

x 0 x

dy

df

Для производной применяют разные обозначения: y , yx ,

f (x),

,

.

dx dx

Операция

нахождения

производной

функции

называется

дифференцированием.

Функция, имеющая конечную производную в точке

x0 , называется

дифференцируемой в этой точке.

(u v) u v .

(2.7)

Доказательство.

Рассмотрим

производную

суммы двух слагаемых:

u v

u x x v x x u x v x

u v lim

lim

x

x 0

x

x 0

lim

u x x u x v x x v x

lim

u v

x 0

x

x 0

x

предел суммы

u

v

u v .

функций равен сумме

lim

lim

■

пределов функций

x 0 x

x 0 x

(uv)

(2.8)

u v uv .

x 0

x

x 0

x

x 0

x

lim

u x x v x x v x v x u x x u x

x 0

x

v x

u x

lim

u x x v x v x u x

limu x x

v(x)lim

x

x 0

x

x 0

x 0

x

u x v x u x v x . ■

(cu) cu .

(2.9)

u

u v uv

, где v 0.

(2.10)

v2

v

функцией сложной

y

u

v

, откуда выразим

y , где

y

u

:

y

u

v

v

u

y y

u v uv

u v uv

u v uv

. ■

uv

uv

v

v2

Теорема 2.4. Пусть функция

u u(v)

дифференцируема в точке

v0 и

функция v v(x) дифференцируема в точке

x0, где v0 v(x0 ), тогда сложная

функция u u v x ,

которая является функцией аргумента x, дифференциру-

ема по независимому аргументу

x,

и ее

производная

в

точке x0

равна

произведению

производной

внешней

функции u u(v)

по

промежуточному

аргументу v

на производную внутренней функции v v(x)

по независимому

аргументу, то есть

u x

0

u (v

) v (x ) или, короче,

v

0

x

0

u x uv (v) vx (x).

(2.11)

1

1

1

n

n 1

x

2.

x

n x

n R;

в частности

;

.

2

x

x

x2

3.

ax ln a;

ax

в частности ex ex .

1

1

4.

loga

x

; в частности ln x

.

x ln a

x

1

7. tgx

.

cos2 x

1

8. ctgx

.

sin2

x

1

9. arcsin x

.

1 x2

1

10.

arccosx

.

1

1 x2

11.

arctgx

.

1 x2

1

12.

arcctgx

.

1 x2

а) (u v w) u v w ;

б) (c u) c u ;

в) (u ) u 1;

г) (c) 0.

1

y (4x5

34

x 2)

a)

(4x5 ) (34 x) (2)

б)

4(x5 ) 3(x 4 ) (2)

в),г)

4 5x4 3

1

x 34 0 20x4

3

.

Применим

формулу

производной

произведения

двух

функций

(u v) u v u v

и формулы б) и в) из примера 1.

В нашем случае u x3

4,

v 5x 1.

y

(x

3

3

4)(5x 1)

3x

2

(5x

1) (x

3

4) 5 20(x

3

1) 3x

2

.

4) (5x 1) (x

3)

y

3x5

.

a2 x4

u

Воспользуемся

формулой

производной частного

двух

функций

u v u v

5

2

4

. В данном примере u x

,

v a

x

.

v2

v

x

5

(x

5

2

x

4

) x

5

(a

2

x

4

5x

4

(a

2

x

4

) x

5

3

)

y

) (a

)

( 4x

3

3

3

(a2 x4 )2

(a2 x4 )2

a2 x4

3

5x4a2 5x8 4x8

3

5x4a2 x8

.

(a2 x4 )2

(a2 x4 )2