Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 1346

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.02 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

	5x2			1		5	x2	1/5				5	x2		9 9 1/5				5					46/5
																				1						.
							x2 9					3			x2 9				3	1				x2 9		.
3x2 27 3							x2 9					3			x2 9				3					x2 9
				Проинтегрируем:
		5x2 1						5		46/5						5		46					1				5		23			x 3
		5x2 1						5		46/5						5		46					1				5		23			x 3
					dx				1					dx			dx								dx			x		ln			C .
		3x	2		dx			3	1	x	2			dx		3	dx	5			x	2	9		dx		3	x		ln	x 3		C .
		3x		27				3		x		9				3		5			x		9				3		9		x 3

5.6. Интегрирование по частям неопределенного интеграла

Пусть U U(x) и V V(x) две дифференцируемые функции.

Найдём	дифференциал от произведения	этих функций:
		что тоже самое,
d(U V) (U V) dx UVdx VUdx UdV VdU, или,

UdV d(UV) VdU .

Проинтегрируем полученное равенство:

UdV UV VdU .

(5.6)

Формула (5.6) называется формулой интегрирования по частям, она применяется в основном, если в подынтегральном выражении находится

произведение многочлена

P (x) на одну из функций:

ekx , akx , sinax,

cosax,

loga x, arcsinx, arccos x , arctg x, arcctg x.

Напомним,

что

многочленом

является

выражение

вида

P (x) a

xn a xn 1 a

xn 2

... a

n 1

x a

частности,

P(x) a

x a ,

P (x) a

x2 a x a

, а многочлен нулевой степени P (x) a

– есть число.

Для получения положительного результата при вычислении интеграла

нужно

руководствоваться

следующим

правилом

выбора

функции

дифференциала

в левой части формулы

(5.6),

составить

из

них

правую часть указанной формулы. В случае правильного выбора функции U и дифференциала dV вновь полученный интеграл будет проще исходного.

Случай 1

ekx

akx
Pn (x)	dx
sinax

cosax

U(x) Pn (x)
ekx
		....	(5.7)
akx		....	(5.7)
dV	dx
sinax

cosax

Формула (5.6) в данном случае применяется такое количество раз, какова степень многочлена Pn (x), т. е. n раз.

Случай 2

ln x
arcsin x


Pn (x) arccosx dx
arctg x

arcctg x

	ln x

	arcsin x
U(x)
U(x)	arccosx		....	(5.8)
		arctg x	....	(5.8)
		arctg x

	arcctg x

dV Pn (x)dx

Формула (5.6) в данном случае применяется один раз, что приводит вычисления к интегралу от дробно-рациональной функции.

Случай 3

		x2 a2				x2 a2

		a2 x2
		a2 x2			...

cosln x					U(x) ...		....	(5.9)
				dx			....	(5.9)
sinln x					...
	a	mx	cos(nx)		...
	a		cos(nx)
		mx	sin(nx)		dV dx
a			sin(nx)		dV dx

Получить результат в данном случае возможно после одноили двукратного применения формулы, вычисления приводят к исходному интегралу. Приравнивая начало и конец вычислений, получаем уравнение с неизвестной – заданным интегралом.

Пример 15. Вычислить интеграл 3x 1 cosxdx.

Согласно правилу (5.7) U(x) 3x 1. Степень многочлена P1(x) 3x 1 равна одному, тогда для вычисления достаточно один раз применить формулу

(5.6): 3x 1 cosxdx

	UdV
	U 3x 1	продифференцируем		dU d(3x 1) 3dx
		продифференцируем
		обе	части
		обе	части

	dV cosxdx	проинтегрируем		dV cosxdx V sin x
		проинтегрируем
			части
		обе	части

(3x 1)sin x sin x 3dx (3x 1)sinx sinx 3dx (3x 1)sin x 3cosx C .

UV VdU

Пример 16. Вычислить интеграл

(x2 5)e5xdx.

P (x) x2

Согласно правилу (5.7)

U x2 5. Степень многочлена

равна двум, тогда потребуется двукратное применение формулы (5.6):

(x2

5)e5xdx

U x2

dU 2xdx

e5x

(x2

e5x

2xdx

e5x

(x2 5)

e5x

dV e

dx V

U x

dU dx

e5x

xe5x

e5x

dV e

5 5

x2 5

2xe5x

x2 5

2xe5x

2e5x

e5x

127

125

Пример 17. Вычислить интеграл lnxdx.

Согласно правилу (5.8) U(x) ln x.

ln xdx

U ln x

dU dln x

=xlnx x

xlnx x C.

dV dx

V x

Пример 18. Вычислить интеграл xarctgxdx.

Согласно правилу (5.8) U(x) arctgx.

U arctgx

dU darctgx

xarctgxdx

1 x2

arctgx

dV xdx

2 1 x

интегралсодержит неправильнуюдробь,

выделим

целуючасть

1 x2 1 1

arctgx

1 x

arctgx

arctgx x arctgx C.

1 x

Пример 19.

Вычислить интеграл

x2 3dx.

Согласно правилу (5.9) U

x2 3

3dx

x x

3 x

x2 3

dV dx

V x


			x2 3 3								3
	2		x2 3 3			2			2		3
x x		3			dx x x		3	x		3dx		dx=


				x2 3							x2 3

xx2 3 x2 3dx 3ln x x2 3 ,

то есть однократное применение формулы привело к уравнению с неизвестной

– исходным интегралом

x2 3dx xx2 3 x2 3dx 3ln x x2 3 ,

откуда находим

C .

x2 3

3ln

x2 3

5.7. «Неберущиеся» интегралы

При дифференцировании любой элементарной функции снова получается функция элементарная. Однако первообразная от элементарной функции может и не быть элементарной функцией, т. е. не может быть записана через привычные для нас символы степенных, показательных, логарифмических, тригонометрических и обратных тригонометрических функций.

В том случае, когда первообразная F(x) для f (x) тоже является

элементарной функцией, говорят, что интеграл f (x)dx «берётся», т.е.

первообразная выражается через элементарные функции (интеграл вычисляем). Если же интеграл не выражается через элементарные функции, то говорят, что интеграл «не берётся», его называют «неберущимся» интегралом. В этом случае, какие бы преобразования вы не применяли, привести его к табличному интегралу не получится. Приведём примеры некоторых таких «неберущихся» интегралов, которые часто встречаются в приложениях:

exdx

sin xdx

cos xdx

, ex2 dx,

1 x

cosxdx,

sin xdx,

x2dx

sin xdx

...

ln x

sin x

cosx

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что называют неопределенным интегралом для функции f (x)?

2.Укажите свойства неопределенного интеграла.

3.Для чего применяют замену переменной в неопределенном интеграле?

4.Установите соответствие между интегралами и методами их вычисления:

Непосредственное интегрирование.

А.

x3 cosxdx.

Метод замены переменной.

Б.

x4dx.

Метод интегрирования по частям.

В.

x2 3 5 xdx.

5. Интеграл

ctgx

dx равен …

sin

2ctgx C.

2ctgx

C .

2ctgx

C .

4. ctgx2ctgx

C .

ln 2

dx, тогда для его решения нужна замена…

6. Дан интеграл

4 x

1. 4 x.

4 x

7. Если

в неопределенном

интеграле

x 1 cos

dx,

применяя

метод

интегрирования по частям,

положить u(x) x 1, тогда функция v(x)

будет

равна …

sin

2. 4cos

3. 4sin

4. cos

8.Чему равна функция v(x), если в неопределенном интеграле arcsin xdx

применить метод интегрирования по частям.

9. Значение интеграла

3x2

dx равно …

2 x3

C. 2.

C .

3. 2

C . 4.

ln 2 x3 C.

2 x3

2 2 x3

10. Значение интеграла

1 dx равно …

sin

ctgx

x C .

ctgx

x C.

3. ctgx

1 C .

§ 6. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

6.1. Понятие определенного интеграла

Пусть на отрезке a;b задана непрерывная функция y f (x).

Разобьем отрезок a;b на n частей точками x0 , x1, x2 ,...,xn , так что a x0 x1 x2 ... xn b.

В каждом из интервалов x0 ;x1 ,	x1;x2	, …, xn 1;xn возьмем по точке,
которые соответственно обозначим 1 ,	2 ,...,	n , и вычислим в них значения
функции f 1 , f 2 ,…, f n .

Рис. 20. Определение интегральной суммы

Вычислим площадь ступенчатой фигуры, которая представлена на рис. 20, называемой интегральной суммой для функции y f (x) на отрезке a;b :

	Sn f 1 x1 f 2 x2		n	xi
	Sn f 1 x1 f 2 x2	... f n xn f i		xi	,
где xi xi xi 1 , i 1,2,..., n.			i 1
где xi xi xi 1 , i 1,2,..., n.
	Определение. 6.1. Если при любых разбиениях отрезка a;b точками
x0, x1	,...,xn , такими, что max xi 0, и при любом выборе точек i				на отрезках
	i
		n	i xi стремится к одному и
xi 1;xi , i 1,2,..., n, интегральная сумма Sn f			i xi стремится к одному и
		i 1
тому	же пределу (числу), то этот	предел и	называется	определенным

интегралом от функции y f (x) на отрезке a;b и обозначается

lim		n		b
lim		f i	xi	f (x)dx.
n	i 1			a
max xi 0
i

Число a называется нижним пределом интегрирования, а пределом интегрирования.

f (x)dx, т. е.

(6.1)

b – верхним

Замечание 1. Доказанным фактом является то, что в наших предположениях о непрерывности функции f (x) на отрезке a;b предел в левой части формулы (6.1) всегда существует и конечен.

Замечание 2. При введении понятия определенного интеграла составлялась интегральная сумма Sn , представляющая собой площадь ступенчатой фигуры (рис. 20), которая при уменьшении ширины ступенек

max xi 0 по значению площади будет стремиться к площади

трапециевидной фигуры ABCD:	lim	n		SABCD. , т. е.
трапециевидной фигуры ABCD:	lim	f i	xi	SABCD. , т. е.
	n	i 1
max xi 0
	i
	b
SABCD	f (x)dx.			(6.2)
	a

6.2.Свойства определенного интеграла

1.Определенный интеграл не зависит от переменной интегрирования:

b	b
f (x)dx f (t)dt .		(6.3)

2.Интеграл от суммы функций равен сумме интегралов этих функций:

b	b	b
f (x) g(x) dx f (x)dx g(x)dx.			(6.4)
a	a	a

3. Константа может быть вынесена за знак интеграла:

b	b
Af (x)dx A f (x)dx.		(6.5)

4.Если верхний и нижний пределы интегрирования равны, то

	a
	f (x)dx 0.			(6.6)
	a
5.	Перемена местами пределов интегрирования меняет знак интеграла:
	b	a
	f (x)dx f (x)dx.			(6.7)
	a	b
6.	Для любого c a;b :
	b	c	b
		f (x)dx f (x)dx f (x)dx.		(6.8)
	a	a	c
7.	Для четных функций на отрезке [-a;a] справедливо
	a	a
		f (x)dx 2 f (x)dx.		(6.9)
	a	0
8.	Для нечетных функций на отрезке [-a;a] справедливо
	a
	f (x)dx 0.			(6.10)
	a

9. Если функция является знакопостоянной на отрезке, т. е. для всех x a;b

выполняется f (x) 0 (или	f (x) 0), то	b	b
выполняется f (x) 0 (или	f (x) 0), то	f (x)dx 0	(или f (x)dx 0).
		a	a

6.3. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница

Если для вычисления интеграла достаточно применения табличных интегралов, т. е. вычисление первообразной получается простейшим преобразованием подынтегральной функции, то для вычисления такого определенного интеграла применяется формула Ньютона-Лейбница:

b
b	F(b) F(a),	(6.11)
f (x)dx F(x)a	F(b) F(a),	(6.11)

где f (x) – непрерывная функция на a;b , а F(x) – любая из ее первообразных.


				Пример 1.										2										2																									cos0) 2.
														2sinxdx 2 sinxdx 2cosx																									2		2(cos
														2sinxdx 2 sinxdx 2cosx																							0		2		2(cos
														0										0																							2
														0										0																							2
												4									3						1				4			3	4									1	4
				Пример 2. (x																	3			x			1	)dx xdx						3				xdx						1	dx
				Пример 2. (x																				x				)dx xdx										xdx							dx
												1									2			3							1		2		1								3		1
	1		x2		4		3	2	x		32		4				1		x			4			1	(16 1) (4						32	132 )							1		(4 1)						15	7 1		3	.
	1				4		3	2					4				1					4			1															1								15			3

2					1	2 3							1		3							1		2					x2 1 1										3								2			2
2					1	2 3							1		3							1		2															3								2			2
																		x2
				Пример 3.										4				x2						4												4						4 dx
																							dx							2			dx dx
																x		2		1			dx						x	2	1		dx dx										x		2
														0		x				1				0					x		1					0					0		x			1

x		4		arctgx							4									0			arctg								arctg0											arctg								1.
x		4		arctgx							4									0			arctg								arctg0											arctg								1.
		0								0					4															4									4								4 4
		0								0					4															4									4								4 4

Если для вычисления интеграла требуются более сложные преобразования подынтегрального выражения, то, так же как и в неопределенном интеграле, доступны приемы замены переменной и интегрирования по частям.

6.4. Замена переменной в определенном интеграле

Следует обратить внимание на то, что замена переменной затрагивает не только подынтегральную функцию, но и границы интегрирования, т. е. если

x 0;1 ,		то		при	замене	t x2	3	новая	переменная
t [ x2 3		; x2	3	] 3;4 .
t [ x2 3		; x2	3	] 3;4 .
	x 0			x 1
	x 0			x 1
Если замена имеет вид x (t), то
				b					(6.12)
					f (x)dx f
					f (x)dx f	( (t)) (t)dt ,
				a

где и находятся из условий a ( ), b ( ).

Замечание 1. После замены переменной и соответствующего изменения пределов интегрирования возвращение к исходной переменной не требуется, что упрощает вычисления.

Замечание 2. Замена x (t) только тогда выполняется корректно, когда функция x (t) является непрерывно-дифференцируемой и монотонной на отрезке ; . Условие монотонности функции на отрезке необходимо для правильного определения новых границ.

																3		x	dx.
		Пример 4. Вычислить определенный интеграл																x


																0		4 x
	x				t	4 x	x (t) 4 t2							dx 2tdt
3			dx		при x 0			имеем								2
												4 x					т.е.при x 0;3 t 2;1
												4 x
0	4 x				при x 3			имеем							x 0	1
															x 0
												4 x
	1 4 t2										t3		2		x 3
						2		2								1				10
						2		2								1				10
				2tdt 2 (4 t					)dt 2	4t				2		4(2 1)		(8 1)			.
				2tdt 2 (4 t					)dt 2	4t				2		4(2 1)		(8 1)			.
	2	t				1					3		1			3				3
											3		1
																2
		Пример 5. Вычислить определенный интеграл cos4 xsinxdx.
																0

2					2
cos4			xsinxdx cos4 xd(cosx)											замена t cosx
0					0
	определим границы по переменной t
	определим границы по переменной t
	при x 0				имеем	cosx				x 0			1			при x	0;	t 1;0	=



	при x				имеем	cosx							0					2
	при x				имеем	cosx			x				0					2
			2									2
	0	4	1	4	t5	1	1	5			5		1
	0	4	1	4	t5	1	1	5			5		1
t			dt t		dt			1 0							.
t			dt t		dt		5	1 0							.
	1		0		5	0	5						5
					5	0

6.5. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Если для вычисления интеграла требуется применить формулу интегрирования по частям UdV UV VdU , где функции U(x) и V(x)

непрерывно-дифференцируемы на a;b , то заметим, что правая часть формулы

UV VdU является первообразной ее левой части UdV , тогда, используя формулу Ньютона-Лейбница, получим

b			b		b	b
			b

				UV			VdU , т. е.
	UdV UV	VdU		UV			VdU , т. е.
					a
a			a			a
			a

UdV

VdU .

Пример 6. Вычислить определенный интеграл

cos

U x

dU dx

V tgx

=xtgx

cos

(6.13)

dx.

tgxdx

				4		4 sin x				4d(cosx)
	tg		0	tgxdx				dx
4		4			4		cosx		4		cosx
				0		0				0

введем замену		t cosx:
введем замену		t cosx:				2	dt
при x 0 cos0 1						2
при x 0 cos0 1						2			lnt	2
						2				2
						1
					4		t	4		1
при x	cos			2
				2
			2
4		4	2
									1

ln 2 . 4 2

Пример 7. Вычислить определенный интеграл							(2x 1)exdx.
	U 2x 1 dU 2dx						0
1						1	1	1
1						1	1	1
(2x 1)exdx	x	dx	V e	x	=(2x 1)ex	0	2 exdx (3e 1) 2ex	0 =
0	dV e	dx	V e				0

(3e 1) 2(e 1) e 1.

УПРАЖНЕНИЯ И КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какая геометрическая задача рассматривалась при введении определения определенного интеграл?

2.Укажите свойства определенного интеграла.

													b
3.	При введении в определенном интеграле f (x)dx																		замены
3.	При введении в определенном интеграле f (x)dx															f ( (t)) (t)dt			замены
													a
	переменной функция x (t) на отрезке a;b должна быть:
	1)					непрерывной;					2) возрастающей;
	3)					монотонной;					4) убывающей.
4.	Когда применяется формула Ньютона-Лейбница?
						1					dx равен …
5.	Определенный интеграл x 8x3										dx равен …
							2
	1) – 69;					2) 28,5;					3) 29,5;				4)	72.
						1
6.	Определенный интеграл									1 xdx равен …
						0
	1)	2		1	;	2.	3		1 ;		3.	1		;	4.		15	.
		2	8	1			3	8				1					15

	3					2					8					2

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 56 / 106 7 8 9 10 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20221.02 Mб3Учебное пособие 1341.pdf
#
30.04.20221.02 Mб5Учебное пособие 1342.pdf
#
30.04.20221.02 Mб4Учебное пособие 1343.pdf
#
30.04.20221.02 Mб6Учебное пособие 1344.pdf
#
30.04.20221.02 Mб3Учебное пособие 1345.pdf
#
30.04.20221.02 Mб2Учебное пособие 1346.pdf
#
30.04.20221.03 Mб6Учебное пособие 1347.pdf
#
30.04.20221.03 Mб6Учебное пособие 1348.pdf
#
30.04.20221.03 Mб7Учебное пособие 1349.pdf
#
30.04.2022295.22 Кб3Учебное пособие 135.pdf
#
30.04.20221.03 Mб3Учебное пособие 1350.pdf