Учебное пособие 864

Решение. а) Тело, объем которого требуется найти, ограничено сверху поверхностью z = xy , с боков плоскостями x = a , y = a . Половина тела показана на рис. 15.

Рис. 15 Рассматривая это тело как цилиндрическое, его объем по

формуле (1) будет

б) Данное тело с боков ограничено цилиндрами y = x и

y = 2 x , сверху плоскостью х + z = 3, снизу плоскостью z = 0

(рис. 16). Поскольку тело цилиндрическое, то для нахождения его объема воспользуемся формулой (1)

20

б) Тело ограничено двумя пересекающимися гиперболи-

ческими цилиндрами и плоскостью z = a 2 (рис. 18). Для нахождения объема рассмотрим четвертую часть. Проектируя на плоскость Oyz, будем иметь

Рис. 18

5. Приложения двойного интеграла к механике

S

где δ (x, y)- поверхностная плотность пластинки в точке

(x, y).

2°. Статические моменты пластинки относительно координатных осей Ох и Оу вычисляются по формулам

mx = ∫∫δ (x, y)ydxdy,

22

S

Момент инерции I0 , равный произведению массы на квад-

рат расстояния до полюса, принято называть полярным моментом инерции.

Если пластинка однородна, то в приведенных формулах следует положить δ (x, y)=1.

4°. Для однородного цилиндрического тела с образующей, параллельной оси Oz, ограниченного поверхностью z = z(x, у), которая проектируется на плоскость Оху в область S, статические моменты относительно координатных плоскостей определяются по формулам

где m = ∫∫zdxdy - масса цилиндрического тела.

S

5°. Моменты инерции однородного цилиндрического тела относительно координатных плоскостей находятся по формулам

23

S

5.1. Найти массу пластинки, имеющей форму прямоугольного треугольника с катетами OA = a и OB = b , если плотность ее в любой точке пропорциональна расстоянию точки от катета ОВ.

Решение. Запишем уравнение прямой АВ, воспользовавшись уравнением прямой в отрезках на осях

Пользуясь формулой (1), находим, что масса пластинки (рис. 19) будет

где к - коэффициент пропорциональности.

Рис. 19 5.2. Найти координаты центра тяжести плоской фигуры,

ограниченной линиями: у = х2, х = 2, у = 0 24

Решение. Покажем заданную плоскую фигуру на рис. 20. Учитывая, что пластинка однородна, находим по формулам (1) ее массу

Рис. 20 По формулам (2) находим статические моменты относи-

тельно координатных осей

Координаты центра тяжести по формулам (3) будут

xc = mmy = 32 , yc = mmx = 65 .

5.3. Найти момент инерции относительно оси Оу площади треугольника с вершинами А(0, 2a), B (a,0) и С(a, a).

Решение. Покажем треугольник на рис. 21.

25

6. Тройной интеграл

1°. Тройной интеграл является обобщением понятия двой-

ного интеграла на случай функции трех переменных f(x,y,z) и представляет конечный предел трехмерной интегральной суммы в области V

тарных областей, на которые разбивается пространственная область V.

Для непрерывной в области V функции f(x,y,z) предел (1) существует и не зависит от способа разбиения области Кна элементарные области объемом xi y j zk , от выбора точки в

каждом элементарном объеме, в которой вычисляется f(x,y,z), и от способа стремления наибольшего диаметра элементарной области к нулю.

Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.

2°. Вычисление тройного интеграла сводится к последовательному вычислению трех обыкновенных определенных интегралов

27

Если внутренний интеграл берется по переменной z, то переменные (х, у) при интегрировании его рассматриваются как постоянные величины. Пределы интегрирования во внутреннем интеграле, как правило, являются переменными и зависят от (х, у). Таким образом, задача сводится к вычислению двойного интеграла, у которого пределы интегрирования внутреннего интеграла в общем случае зависят от переменной х, а пределы интегрирования внешнего интеграла постоянны.

3°. Пусть в тройном интеграле требуется от переменных х, у, z перейти к переменным u, v, w, связанным соотношениями

Функции (3) осуществляют взаимно-однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение области G пространства Ouvw на область V пространства Oxyz. Если якобиан этого отображения

не обращается в нуль на G и функция f(x,y,z) непрерывна в области V, то справедлива формула

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz =

Производить замену переменных по формулам (3) следует в том случае, если область интегрирования G в интеграле (4) значительно проще области V.

28

Если при вычислении тройного интеграла целесообразнее перейти от переменных х, у, z к цилиндрическим координатам ρ,ϕ, z (рис. 22), связанным с декартовыми координатами со-

отношениями

x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ, z = z

(0 ≤ ρ < +∞, 0 ≤ϕ ≤ 2π, −∞ < z < +∞),

то формула преобразования имеет вид

∫∫∫ f (x, y, z)dxdydz = ∫∫∫ f (ρ cosϕ, ρsinϕ, z)ρd ρdϕdz . (5)

V G

Рис. 22

В случае перехода от декартовых координат х, у, z к сферическим координатам ρ,ϕ,θ (рис. 23), связанным с x,y,z

29