Учебное пособие 864

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

области S, то справедлива формула

∫∫ f (x, y)dxdy = ∫∫(x (u, v), y (u, v))

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

622.42 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

формулам: x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ ,, а дифференциал dS = dxdy заменить на ρd ρdϕ .

Причем уравнения линий, ограничивающих область интегрирования S0 следует преобразовать к полярным координатам по формулам перехода.

	Если область интегрирования S ограничена лучами ϕ =α и
ϕ = β (α < β) и кривыми		ρ = ρ1 (ϕ), ρ = ρ2 (ϕ) (рис.		9), где
ρ1	(ϕ) и ρ2 (ϕ) - однозначные функции на отрезке ϕ [α, β] и
ρ1	(ϕ)≤ ρ2 (ϕ), то имеет место соотношение
		β	ρ2 (ϕ)
	∫∫F (ρ,ϕ)ρd ρdϕ = ∫dϕ ∫ F (ρ,ϕ)ρd ρ ,			(1)
	S	α	ρ1 (ϕ)

где F (ρ,ϕ)= f (ρ cosϕ, ρsinϕ).

Рис. 9 Внутренний интеграл вычисляется по р, считая (р постоян-

ной, но произвольной переменной, а внешний интеграл находится по ϕ . Пределы внешнего интеграла всегда постоянны, а

внутреннего, как правило, зависят от ϕ . Если область интегри-

рования представляет круговой сектор или разность круговых секторов с центром в начале координат, то пределы интегрирования внутреннего интеграла постоянны.

Если область интегрирования ограничена линиями, имеющими различное аналитическое представление, то ее разби-

вают на части, а двойной интеграл представляют в виде суммы соответствующих интегралов.

2°. Пусть в двойном интеграле ∫∫ f (x, y)dxdy требуется от

переменных х, у перейти к переменным u, v, связанным соотношениями

x = x (u, v); y = y (u, v).

(2)

Функции (2) осуществляют взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое отображение области G плоскости O1uv на область S плоскости Оху. Если якобиан этого отображения

	∂x	∂x
	∂x	∂x
I =	∂u	∂v	≠ 0
	∂y	∂y
	∂u	∂v

не обращается в нуль на G и функция f (x, y) непрерывна в

Производить замену переменных по формулам (2) целесообразно в том случае, если область интегрирования G интеграла (3) значительно проще области S.

2.1. Переходя к полярным координатам,

a2 −x2

a2 −y2

а) ∫dx ∫

+ y

dy ; б) ∫dy ∫

− x

− y

ay−y2

Решение. а) Область интегрирования представляет первую четверть круга. Переходя к полярным координатам x = ρ cosϕ, y = ρsinϕ , получим

	a2 −x2				π
a	a2 −x2				2	a
∫dx	∫	x2 + y2 dy = ∫dϕ∫ ρ2 cos2 ϕ + ρ2 sin2 ϕρd ρ =
0	0				0	0
		π		a			π
		π	ρ3	dϕ = a3			π	πa3
		= ∫2	ρ3			ϕ	2 =	πa3
		= ∫2	3			ϕ	2 =	6.
		0	3	0	3		0	6.
		0		0			0
б)		Область			интегрирования				расположена в первой
четверти			и		ограничена				двумя	окружностями:
x2 + y2 = a2 , x2 + y2					= ay (рис. 10).

Рис. 10 Переходя к полярным координатам и учитывая, что урав-

нение внутренней окружности будет ρ = a sinϕ , получим

a2 −y2

ρd ρ

∫dy

∫

= ∫dϕ

∫

− x

− y

− ρ

ay−y2

asinϕ

= −

∫dϕ

∫

(a2 − ρ2 )−

d (a2 − ρ2 )= −∫

(a2 − ρ2 )

dϕ =

asinϕ

2π

=a∫cosϕdϕ = a sinϕ 02 = a.

2.2. Вычислить двойной интеграл: ∫∫				x2 + y2 −9dxdy , где
	S		S
область	S	ограничена	двумя	окружностями
x2 + y2 = 9 и x2 + y2 = 25 ;

Решение. Область интегрирования ограничена двумя концентрическими окружностями с центром в начале координат и радиусами r1 = 3 и r2 = 5. Переходя в интеграле к полярной системе координат будем иметь

∫∫		x2 + y2 −9dxdy =					2∫π dϕ∫5			ρ2 −9ρd ρ =
S							0		3
	1	2π	2	(ρ2	3	5		64	2π		128 .
		2π			3	5			2π
=		∫			−9)2	dϕ =			∫dϕ =
	2	0	3			3		3	0		π
		0				3			0

3. Вычисление площадей плоских фигур и площади поверхности

1°. Площадь плоской фигуры в прямоугольных координатах, ограниченная областью D, находится по формуле

S = ∫∫dxdy .			(1)
D
Если область D определена		неравенствами	a ≤ x ≤ b ,
ϕ(x)≤ y ≤ψ (x), то
S = ∫b	ψ (x)
S = ∫b	dx ∫	dy	(2)
a	ϕ(x)

2°. Площадь плоской фигуры в криволинейных координатах находится по формуле

S ∫∫	I	dudv ,	(3)


G

где

	∂x	∂x
	∂x	∂x
I =	∂u	∂v	≠ 0 , в области G.
	∂y	∂y
	∂u	∂v

Вчастности, если область G задана в полярных

координатах	и	определена			неравенствами			α ≤ϕ ≤ β ,
f (ϕ)≤ ρ ≤ψ (ϕ), то
					β	ψ (ϕ)
	S = ∫∫ρdϕd ρ = ∫dϕ ∫ ρd ρ .							(4)
		G			α	f (ϕ)
3°. Если	гладкая поверхность						задана	уравнением
z = z (x, y), то площадь поверхности находится по формуле
	S ∫∫		∂z 2		∂z 2			(5)
	S ∫∫	1+		+		dxdy ,		(5)
	D		∂x		∂y
где D - проекция данной поверхности на плоскость Оху.
Аналогично,		если	поверхность				задана	уравнением
x = x (y, z), то
				∂x 2		∂x 2		(6)
	S = ∫∫ 1+				+		dydz	(6)
		D		∂y		∂z

где D - проекция поверхности на плоскость Oyz; если поверхность

S = ∫∫		∂y 2		∂y 2		(7)
S = ∫∫	1+		+		dxdz	(7)
D		∂x		∂z

здесь D - проекция поверхности на плоскость Oxz.

3.1. Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями: а) y = x, y = 4 x и x =1; б) y = ln x, x − y =1, x = 0 и y = −2 .

Решение. а) Построим параболы и прямую (рис. 11.).

			Рис. 11
Согласно формуле (2) имеем					1
1	4	x	1	3

S = ∫dx		∫	dy = 3∫	xdx = 2x2	= 2 .
0		x	0		0

б) Построим область, ограниченную линиями (рис. 12).

Рис. 12

Поскольку область ограничена линиями, имеющими различный аналитический вид, то при вычислении площади ее следует разбить на две части прямой у =- 1. Вся площадь равна сумме интегралов

S = ∫0

dy e∫ dx + −∫1 dye∫dx = ∫0 (ey −(1+ y))dy + −∫1 ey dy =

−1

1+y

−2

−1

−2

−1

− y −

−

−2

−1

3.2. Вычислить площадь, ограниченную линиями: а) ρ = a (1−cosϕ), ρ = a и расположенную вне круга.

б) (x2 + y2 )3 = x4 + y4 ;

Решение. а) Представим кардиоиду и круг на рис. 13.

Рис. 13

В силу симметрии относительно полярной оси достаточно найти половину искомой площади. Для этого воспользуемся формулой (4)

a(1−cosϕ)

S = ∫dϕ

∫ ρdρ =

∫(a2

(1−cosϕ)2 −a2 )dϕ =

∫(−2cosϕ +cos2 ϕ)dϕ =

−2sinϕ

π0

∫(1+cos 2ϕ)dϕ

ϕ +

sin 2ϕ

π.

Таким образом S

πa2 .

б) Так как переменные x и y

четных степенях, то фигура

симметрична относительно координатных осей. Запишем уравнение линии в полярной системе координат x = ρ cosϕ ,

y = ρsinϕ : ρ6 = ρ4 (cos4 ϕ +sin4 ϕ) или ρ2 = cos4 ϕ +sin4 ϕ .

Для нахождения площади воспользуемся формулой (4)

				1
		2π (cos4 ϕ+sin4 ϕ)2			ρd ρ = 1	2π	(cos4 ϕ +sin4 ϕ)dϕ =
S = ∫dϕ				∫	ρd ρ = 1	∫	(cos4 ϕ +sin4 ϕ)dϕ =
		0		0	2	0
=	1 2∫π ((1+cos 2ϕ)2 +(1−cos 2ϕ)2 )dϕ =									1 2∫π (1+cos2 2ϕ)=
	8 0									4 0
=	1		1 2π				=	1		1		=	3π	.
=	4	2π +	2 ∫0	(1+cos 4ϕ)dϕ			=	4	2π +	2	2π	=	4	.
	4		2 ∫0					4		2			4

3.3. Вычислить площади, ограниченные линиями:

2		2		2		; б) xy = a2 , xy = b2 , x =α y, x = β y, x > 0, y > 0 ,
а) x	3	+ y	3	= a	3

a > b, α > β .

Решение. а) При вычислении площади, ограниченной астроидой, переходим к обобщенным полярным координатам

x = ρ cos3 ϕ, y = ρsin3 ϕ и вычисляем якобиан

= 3ρ(cos4 ϕsin2 ϕ +cos2 ϕsin4 ϕ)= 3ρsin2 ϕcos2 ϕ.

Площадь, расположенная в первом квадранте, согласно формуле (3) будет равна

	π	dϕ∫a ρsin2 ϕcos2 ϕd ρ =						π
1 S = 3∫2		dϕ∫a ρsin2 ϕcos2 ϕd ρ =					3a2	∫2 sin2 2ϕdϕ =
4	0		0				8	0
					π
=	3a2		−	1	∫2	(1−cos 4ϕ)dϕ =	3 a	2 π .
	8			2	0		8	4

Таким образом S = π8 πa2 .

б) Введем новые переменные u,v по формулам xy = u2 ,

−1

x = uy .Откуда x = uv2 , y = uv

2 . Вычислим якобиан

1 uv−

= − 1 (uv−1 +uv−1 )= −uv−1 .

I =

v−

− 1 uv−

b ≤ u ≤ a и

Пределы

изменения

новых

переменных:

β ≤ v ≤α . Согласно формуле (3) площадь будет равна

S = ∫a duα∫uv−1dv = u2

a ln v

αβ

= 1

(a2

−b2 )ln

α .

3.4. Найти площадь поверхности: а) конуса x2

= y2 + z2 ,

расположенного внутри цилиндра x2 + y2 = a2 ;

Решение. а) Из уравнения конуса имеем

z = x2 − y2 ,

∂z

= −

∂y

x2 − y2

∂y

x2 − y2

∂z 2

∂z

= 1+

− y

∂x

∂y

x2 − y2

Часть конуса, расположенная в первом октанте, проектируется на четверть круга, ограниченного окружностью х2 + у2 = а2 и осями координат Ох, Оу. Эта четверть круга является четвертой частью области интегрирования D. Поскольку поверхность конуса расположена в восьми октантах, то искомая площадь равна

S =8 2 ∫∫	xdxdy		.
S =8 2 ∫∫	2	2	.
D	x − y

Перейдем к полярным координатам x = ρcosϕ, y = ρsinϕ , тогда

ρ2 cosϕd ρ

cosϕdϕ

S =8 2 ∫dϕ∫

= 4 2a

∫

cos

−sin

1−2sin

0 ρ

2sin2 ϕ = t2 ,

x = 0, t = 0

= 4a2 ∫0

4sinϕcosϕdϕ = 2tdt,

x =

, t =1

1−t2

=4a2 arcsin t 10 = 2a2π.

4.Вычисление объемов тел

Объем цилиндрического тела, ограниченного сверху непрерывной поверхностью z = f(x,y), снизу плоскостью z = 0 и с боков цилиндрической поверхностью, вырезающей на плоскости Оху область S (рис. 14), равен

V = ∫∫ f (x, y)dxdy .

Рис. 14 В ряде случаев вычисление объемов цилиндрических тел

более сложной формы целесообразнее представлять в виде суммы (разности) объемов нескольких тел.

4.1. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

а) z2 = xy, x = a, x = 0, x = a, y = 0;

б) y = x, y = 2 x, x + z = 3, z = 0;

<<< < Предыдущая 12 / 62 3 4 5 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022268.43 Кб13Учебное пособие 86.pdf
#
30.04.2022618.15 Кб10Учебное пособие 860.pdf
#
30.04.2022619.43 Кб1Учебное пособие 861.pdf
#
30.04.2022620.26 Кб4Учебное пособие 862.pdf
#
30.04.2022620.71 Кб3Учебное пособие 863.pdf
#
30.04.2022622.42 Кб3Учебное пособие 864.pdf
#
30.04.2022622.72 Кб2Учебное пособие 865.pdf
#
30.04.2022623.88 Кб15Учебное пособие 866.pdf
#
30.04.2022624.75 Кб14Учебное пособие 867.pdf
#
30.04.2022625.43 Кб12Учебное пособие 868.pdf
#
30.04.2022626.65 Кб11Учебное пособие 869.pdf