Учебное пособие 797

ВВЕДЕНИЕ

Раздел «Введение в математический анализ» является одним из наиболее важных и сложных при изучении курса математического анализа. Глубокое неформальное понимание таких основных понятий как множества, числовая последовательность, функция, предел, непрерывность, знание основных теорем о пределах и непрерывных функциях, умение строить графики и вычислять пределы необходимо для дальнейшего успешного изучения как курса математического анализа так и других математических и специальных дисциплин.

Настоящие методические указания созданы с целью оказания помощи студентам при изучении раздела «Введение в математический анализ». Они являются дополнением известного пособия Кузнецова Л.А. «Сборник заданий по высшей математике» и пособия авторов «Введение в математический анализ».

В каждом занятии методических указаний приведены задачи для самостоятельного решения. Для удобства организации учебного процесса в группах с различным уровнем математической подготовки задачи приведены в трех уровнях сложности. В группе «А» содержатся типовые задания облегченного содержания, в группе «Б» более сложные стандартные задачи, в группе «В» предлагаются задачи, требующие глубокого понимания теоретического материала. Решая задачи из разных групп, студенты могут самостоятельно контролировать уровень усвоения учебного материала.

Настоящие методические указания могут использоваться как студентами для подготовки к практическим занятиям, контрольным работам, типовым расчетам, коллоквиумам и экзаменам так и преподавателем при проведении практических занятий, контрольных работ, типовых расчетов, коллоквиумов, экзаменов.

Занятие № 1 МНОЖЕСТВА

Расчетные задания

отображений.

1)f x 13 6x , g x x2 6x 1; 2 3x

2)f x 11 3x , g x x2 4x 1; 2 3x

3)f x 6x 5 , g x x2 8x 3; 3x 2

4)f x 3x 7 , g x x2 2x 5; 2x 3

6)f x 7 3x , g x x2 10x 2; 4 3x

7)f x 4 3x , g x x2 6x 7; 2 x

8)f x 3x 1 , g x x2 5x 3; 5x 4

6. Для каждого из следующих бинарных отношений, определенных на множестве R, найти область определения, область значений, нарисовать декартову диаграмму и выяснить, какими свойствами оно обладает.

9)A B \C C \ B , 10) B\C C \ B \C.

2.Доказать следующие равенства:

1)A B C A C B C ,

2)A B C A C B C ,

3. Перечислить все элементы бинарного отношения R, заданного на множестве A, нарисовать его граф и установить, какими свойствами оно обладает.

4. Найти обратные к данным бинарным отношениям, заданным на множестве R, и композиции отношений.

9)R1 x, y : x y2 , R2 x, y : 2x y 2 ;

10)R1 x, y : x2 y , R2 x,y : x 2y 3 .

5. Для данных множеств указать граничные точки, точки прикосновения, предельные точки, изолированные точки.

1)A ,1 5,10 20,30,40 ,

2)A 2,1 2,4 6,8 ,

3)A 9,0 1,3 5,6,7,8 ,

4)A 25, 5 1,1 2,3,4,5 ,

5)A 5,1 2, 4 10, ,

6)A 2,3,4 5,25 55, ,

7)A 3,1 1,3,5 5,9 ,

8)A , 4 0,1,3 3, ,

9)A 4, 2, 2,2 2,8 ,

10)A 9,1 2,5 6,8,9 .

Группа В

1.Доказать следующие равенства:

1)A B\C A B A C ,

2)A B B A A,

3)A\ B A\ B A B \ A B ,

4)A\ B A\ B B A A B ,

5)A\ A\ B A B,

6)B A\ B A B,

7)A\ B B \ A A B \ A B ,

8)A\ B A\C A\ B C ,

9)A C \ B A C \ B C ,

10)A B C B A C C A B

A B C A B C

2.Выполнить следующие задания.

1)Задайте отображение множества треугольников в множество окружностей.

соответствие отображением? Будет ли это соответствие отображением, если Y – множество неотрицательных чисел?

3) Пусть X – множество неотрицательных рациональных чисел и Y X . Каждому x X поставим в соответствие такое

y Y , что y2 x. Является ли это соответствие отображением

Xв Y ?

4)Пусть X – множество всех окружностей на плоскости, а Y – множество точек этой плоскости. Каждой окружности поставим в соответствие ее центр. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным?

5)Пусть X – множество всех точек плоскости, а Y – мно-

жество точек оси ординат. Каждой точке x X поставим в соответствие ее проекцию на ось ординат. Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Что является полным прообразом точки y Y ?

6) Пусть X – множество всех точек плоскости и l – прямая на этой плоскости (рис. 1). Каждой точке x X поставим в соответствие точку y X , симметричную x относительно прямой l. Является ли это соответствие отображением X на X ? Является ли оно взаимно однозначным? Что является образом квадрата, представленного на рис. 1, при указанном отображении? Какие точки переходят сами в себя при этом отображении?

7) На рис. 2 стрелки идут от x к y f x . Найдите f X .

Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? Чему равны прообразы элементов y1 и y2 ?

множество столов в аудитории. Каждому студенту ставим в соответствие стол, за которым он сидит. Что является прообразом элемента y Y ? Является ли это соответствие отображением X на Y ? Является ли оно взаимно однозначным? В каком случае это отображение будет взаимно однозначным?

9) Существует ли отображение, обратное отображению f , которое ставит в соответствие: а) каждому треугольнику описанную около него окружность; б) каждому квадрату описанную около него окружность; в) каждому квадрату, стороны которого параллельны осям координат, вписанную в него окруж-

4. Для каждой строки приведенной ниже таблицы найти пример отношения, обладающего (+) или не обладающего (–) тем или иным свойством, или доказать, что такого соотношения не существует.

3)Доказать, что соединение счетного множества и конечного множества счетно.

4)Доказать, что соединение конечного числа счетных множеств счетно.

5)Доказать, что соединение счетной системы конечных множеств счетно.

6)Доказать, что соединение счетной системы счетных множеств счетно.

7)Доказать, что прямое произведение не пустых не более чем счетных множеств, хотя бы одно из которых счетно, является счетным множеством.

множество, то M счетно.

10) Доказать, что система конечных подмножеств множества N счетна.

Занятие № 2 ЧИСЛОВЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ

Расчетные задания