Учебное пособие 797
.pdf
7) Может ли функция, непрерывная на множестве X , принимать на этом множестве только два различных значения,
если: а) X - отрезок; б) X 1, 2 4, 5 ; в) |
X 0,1 3 ? |
8)Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок a, b на всю числовую прямую?
9)Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок a, b на интервал c, d ?
10)Существует ли непрерывная функция, отображающая отрезок a, b на множество X 0,1 3, 4 ?
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Группа В |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1. Функция |
f x не определена в точке x 0. Постройте |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
f x , |
|
x 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
функцию F x |
|
|
|
так, чтобы функция была не- |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
A, |
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
прерывной при x 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|||||||||||
1) |
f x 1 x 1 x ; |
|
|
|
2) |
f x xarctg |
; |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||
3) f x |
23x 1 |
; |
|
|
|
|
|
4) f x |
ln 1 3x |
; |
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
||||||||||||
|
|
5 |
|
|
|
1 |
; |
|
f x |
arcsin x |
; |
|
|
|||||||||||||
5) |
f x |
1 2x |
6) |
|||||||||||||||||||||||
|
|
sin x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2tgx |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
arctg x2 4 |
|||||||||||||||
|
f x |
|
|
4 x |
8) f x |
|||||||||||||||||||||
7) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
; |
|||||||||
|
arcsin2x |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
1 |
||||||||||
|
f x |
1 x |
|
|
|
|
f x |
|
||||||||||||||||||
9) |
|
|
|
; |
|
10) |
|
|
|
. |
||||||||||||||||
|
|
tgx |
|
|
|
|
ln 1 x2 |
|||||||||||||||||||
2. Исследовать на непрерывность и нарисовать эскизы графиков следующих функций.
1) f x sign sin x ; |
2) f x x |
1 |
|
; |
|
|
|
|
|||
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
3) |
f x x x ; |
|
|
|
|
||||
|
f x |
|
1 |
|
|
|
|
||
5) |
|
|
|
sign sin |
|
|
; |
||
|
2 |
|
|||||||
|
|
x |
|
|
|
x |
|
||
7) |
f x x sin x ; |
|
|
|
|||||
1
9)f x x sin x;
|
|
1 |
|
|
|||
4) |
f x sign cos |
|
|
; |
|||
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|||
6) |
f x x x ; |
|
|
|
|
||
8) |
|
2 |
|
|
|||
f x 1 x |
; |
|
|
||||
10) |
f x sec2 |
1 |
. |
|
|
||
|
|
|
|||||
|
|
x |
|
|
|
|
|
3. Исследовать на равномерную непрерывность в заданных областях следующие функции.
1) |
f x |
1 |
, 0 x 1; |
2) f x sin x2 , x ; |
|||||||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3) |
f x |
|
x |
; |
1 x 1; |
|
4) |
f x ln x, 0 x 1; |
|||||||
|
4 x2 |
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5) |
f x |
sin x |
, 0 x ; |
|
6) |
f x ex cos |
1 |
, 0 x 1; |
|||||||
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
f x |
|
|
x |
||
7) |
f x arctg x, |
x ; |
|
8) |
|
, 1 x ; |
|||||||||
|
x |
||||||||||||||
9) |
f x xsin x , |
0 x ; 10) |
f x x sin x, x . |
||||||||||||
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1.Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М.:
НЦНМО, 2002. Ч. 1.
2.Зорич В.А. Математический анализ / В.А. Зорич. М.:
Наука, 1984. Ч. 2.
41 |
42 |
3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. |
17. Бронштейн И.Н. Справочник по математике для ин- |
Кудрявцев. М.: Высш. шк., 1981. Т. 1. |
женеров и учащихся втузов / И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев. |
4. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа / Л.Д. |
М.: Наука, 1986. |
Кудрявцев. М.: Высш. шк., 1981. Т. 2. |
18. Дежин В.В. Введение в математический анализ / В.В. |
5. Фихтенгольц Г.М. Дифференциальное и интегральное |
Дежин, М.Л. Лапшина. Воронеж: ВГТУ, 2010. |
исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 2001. Т. 1. |
|
6. Фихтенгольц Г.М. Дифференциальное и интегральное |
|
исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 2001. Т. 2. |
|
7. Фихтенгольц Г.М. Дифференциальное и интегральное |
|
исчисления / Г.М. Фихтенгольц. М.: Наука, 2001. Т. 3. |
СОДЕРЖАНИЕ |
8. Колмогоров А.Н. Элементы теории функций и функ- |
|
ционального анализа / А.Н. Колмогоров, С.В. Фомин. М.: Нау- |
Введение…………………………………………………….1 |
ка, 1978. |
|
9. Щипачев В.С. Высшая математика / В.С. Щипачев. М.: |
Занятие № 1. Множества…………………..…………...…..2 |
Высш. шк., 2002. |
|
10. Рудин У.М. Основы математического анализа / У.М. |
Занятие № 2. Числовые последовательности…….......….13 |
Рудин. М.: Наука, 2001. |
|
11. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анали- |
Занятие № 3. Действительные функции |
за / Л.Д. Кудрявцев. М.: Наука, 1989. |
действительной переменной……… ………………………..….19 |
12. Виленкин Н.Я. Математический анализ. Введение в |
|
анализ / Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович. М.: Просвещение, |
Занятие № 4. Предел функции………..….………………25 |
1983. |
|
13. Бутузов В.Ф. Математический анализ в вопросах и |
Занятие № 5. Непрерывность функции |
задачах / В.Ф. Бутузов, Н.Ч. Крутицкая, Г.Н. Медведев, А.А. |
действительной переменной…………………..………………..35 |
Шишкин. М.: Высш. шк., 1984. |
|
14. Сборник задач по математике для втузов. Линейная |
Библиографический список……..………………...……...42 |
алгебра и основы математического анализа / под ред. А.В. |
|
Ефимова, Б.П. Демидовича. М.: Наука, 1993. Ч. 1. |
|
15. Мордкович А.Г. Сборник задач по введению в анализ |
|
и дифференциальному исчислению функций одной перемен- |
|
ной / А.Г. Мордкович, А.Е. Мухин. М.: Просвещение, 1985. |
|
16. Кузнецов Л.А. Сборник заданий по высшей матема- |
|
тике. Типовые расчеты / Л.А. Кузнецов. СПб.: Лань, 2006. |
|
43 |
44 |