Учебное пособие 737
.pdf
В нашем случае
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
+ 2kπ |
|
|
|
|
π |
|
|
||||||
3 |
|
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
4 |
+ 2kπ |
||||||||
z |
|
|
2 |
|
cos |
|
|
|
|
|
+ i sin |
|
. |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Если k =0 , то |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
π |
+ i sin |
π |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ω0 = |
|
|
|
|
2 |
cos |
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|||||||
k =1 , то |
|
|
= 6 |
|
|
|
|
|
|
3π |
+ i sin |
3π |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
ω |
|
2 cos |
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
k = 2 , то |
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
17π |
+ i sin |
17π |
|
|
|||||||||||
ω0 = |
|
|
2 |
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
cos |
|
12 |
12 |
. |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Пример 14. Представить заданную функцию w = ze−iz |
|||||||||||||||||||||||||||
, где z = x +iy |
в виде w = u(x, y)+iv(x, y); |
выяснить, будет ли |
|||||||||||||||||||||||||
она аналитической. Если функция аналитическая, то найти
значение ее производной в точке z0 = 2i. |
Эйлера |
||
Решение. |
Воспользуемся |
формулой |
|
e−ix = cos x −i sin x . |
Имеем |
|
|
w= (x +iy)e−i(x+iy) = e y (x +iy)(cosx −i sin x) =
=e y (x cos x + y sin x)+i e y ( y cos x − x sin x) = u(x, y)+iv(x, y),
где u(x, y)= e y (x cos x + y sin x), |
v(x, y) = e y ( y cos x − x sin x). |
||||||
Условия Коши-Римана |
∂u |
= ∂v |
, |
∂u |
= − |
∂v |
для |
|
∂x |
∂y |
|
∂y |
|
∂x |
|
нашей функции выполняются, |
так как |
|
|
|
|
|
|
31
|
∂u |
=e y (cos x − x sin x + y cos x), |
∂v |
=e y ( y cos x − x sin x)+ e y cos x, |
|||
|
∂x |
∂y |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
∂u |
=e y (x cos x + y sin x)+ e y sin x, |
− |
∂v |
|
= −e y (−y sin x |
−sin x − x cos x). |
|
∂y |
∂x |
|||||
|
|
|
|
|
|||
|
|
Кроме того, функции u(x, y), |
v(x, y) дифференцируе- |
||||
мы, как функции действительных переменных |
x и y. |
||||||
Функция w =z e−iz является аналитической, а ее производная может быть найдена по формуле
w′(z) = (ze−iz )′ = u′x +iv′x =
=e y (cos x − x sin x + y cos x)+ie y (−y sin x −sin x − x cos x)=
=−i(e y (x cos x + y sin x)+ie y ( y cos x − x sin x))+e y (cos x −sin x)=
=(1 −iz)e−iz .
Следовательно, w′(2i) = 3e2.
32
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления: учеб. пособие для втузов: 2 т. / Н. С. Пискунов. М.: Интеграл-Пресс, 2002. Т. 2.
2. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах: учеб. пособие для студентов втузов / П. Е. Данко, А. Г. Попов Т. Я. Кожевникова. М.: ООО «Издательский дом «ОНИКС 21 век»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2003. Ч. 2.
3. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике: полный курс. – М.: Айрис-Пресс, 2006. – 608 с.
4. Бугров Я. С. Высшая математика. Дифференциальные уравнения. Кратные интегралы. Ряды. Функции комплексного переменного. / Я. С. Бугров, С. М. Никольский. - М.: 1989.
33
ПРИЛОЖЕНИЕ 1
Министерство науки и высшего образования Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования
«Воронежский государственный технический университет» (ФГБОУ ВО «ВГТУ»)
Факультет машиностроения и аэрокосмической техники Кафедра прикладной математики и механики
КУРСОВАЯ РАБОТА
по дисциплине Математика Тема___________________________________________________
Расчетно-пояснительная записка
Разработал(а) студент(ка)________________________________.___.20___г
Подпись |
И.О. Фамилия |
Дата |
Руководитель ________________________________.___.20___г
Подпись И.О. Фамилия Дата
Защищена «____» _____ 20_____г. |
Оценка _____________ |
дата |
|
______________________/ __________________ /
20__
34
ПРИЛОЖЕНИЕ 2
Таблица изображений основных элементарных функций
№ |
f (t) при t > 0 |
|
F ( p) |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1. |
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
t n |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
n! |
|
|
|
pn+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
eαt |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
p −α |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
cos β t |
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p2 + β 2 |
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
5. |
sin β t |
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
p2 + β 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
6. |
eα t |
|
cos β t |
|
|
|
|
p −α |
|
|
|
|
|
||||
|
(p −α)2 + β 2 |
|
|
||||||||||||||
7. |
e |
α t |
|
sin β t |
|
|
|
|
|
β |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
(p −α)2 + β 2 |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||
8. |
t n |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
n! eαt |
|
(p −α)n+1 |
|||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||
|
t cos β t |
|
|
p 2 −β 2 |
|||||||||||||
9. |
|
|
2 |
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
+ β |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 pβ |
|
|
|
|
|
|
|
|
10. |
t sin β t |
|
|
2 |
+ β |
2 |
2 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
35
ОГЛАВЛЕНИЕ |
|
Общие рекомендации студенту-заочнику |
|
к изучению дисциплины «Математика»…………………. |
3 |
Программа курса «Математика» (третий семестр)……… |
5 |
Правила выполнения и оформления курсовых работ….. |
6 |
Защита курсовой работы………………………………….. |
7 |
Задания курсовой работы…………………………………. |
8 |
Примеры решения задач к курсовой работе…………….. |
17 |
Библиографический список………………………………. |
33 |
Приложение 1……………………………………………… |
34 |
Приложение 2……………………………………………… |
35 |
36
МАТЕМАТИКА
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ
к курсовой работе для студентов направлений
12.03.04«Биотехнические системы и технологии»,
11.03.04«Электроника и наноэлектроника»
(все профили) заочной формы обучения
Составители:
Келлер Алевтина Викторовна Костина Татьяна Ивановна Сидоренко Александр Алексеевич Соколова Ольга Анатольевна
Издается в авторской редакции
Подписано к изданию 16.12.2021. Уч.–изд. л. 2,3 «С».
ФГБОУ ВО «Воронежский государственный технический университет»
394006 Воронеж, ул. 20-летия Октября, 84
37