Учебное пособие 737

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

I = ∫1 dx 2∫

f (x, y)dy .

Решение. Зная пределы интегрирования, найдем грани-

D: x = 0 , x =1, y = 2

цы области интегрирования

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

562.2 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 42 3 4 > Следующая >>>

5.	y =	4	,	y = x, y = 5, z = 0, z = x.

		x
6.	y = x2,			y = x + 6,		z = 0,	z = x2.
7.	y = x2, y = 2x2 − 4, z = 0, z = x2 + 2.
8.	y = ex ,			x + y =1,		y = 3,	z = 0, z = y.
	x + 4 y = 5, y =					, y = 0, z = 0, z = x +3y.
9.					x

10.	y = 5		x	, y =	x	, x = 4, z + x = 4, z = 0.
11.	y = x3,			y = 9x,		z = 0,	z = y +1 (x ≥ 0).
12.	y = 5	,		x + y = 6,		z = 0,	z = y.
	x

13.

x = y, y =

z = 0,

z = 5+

14.

y = x2,

y = 3x2 − 2,

z = 0,

z = y +3.

x + y = 6,

x =

y = 0,

z = 0,

z = x.

15.

16.

y = 2x3,

y = 8x, z = 0,

z = x + 4

(x ≥ 0).

17.

y = 9 ,

y = x,

y =1,

z = 0,

z = y.

18.

19.

20.

x + y = 8, y = 2x, y = 0, z = 0, z = 3y. y = x2, x + y = 2, z = 0, z = 2 y.

y = x, y = 2x, z = 0, z = 4 + x.

								=				+ +
+ + + = 0							Задача № 3							-		с
+ + + = 0						поле				p;				-				и плоскость p:
		Даны векторное				,	которая			совместно								координатными
				;	- нормаль к						,					- основание пира-
плоскостями образует пирамиду										V.	Пусть					- основание пира-
ды V. Требуется															контур,				ограничиваю-
миды, принадежащее плоскости															контур,				ограничиваю-
щий поверхность												направленная вне пирами-
			вычислить: 1) циркуляцию векторного поля
		2) поток векторного поля
по замкнутому контуру							, применив теорему Стокса к контуру
	и огранниченной им поверхностью													с нормалью							;
											через полную поверхность
пирамиды V в направлении внешней														нормали к ее поверхно-
сти, Применив теорему Гаусса-									Остроградского.
сти, Применив теорему Гаусса-																					Таблица 2
						Значения коэффициентов															Таблица 2
						Значения коэффициентов

№		X				Y							Z					A		B		C	D
1																		4		2		-1	1
2																	-6			5		2	5
3																		7		9		-6	9
4																		2		8		3	8
5																		3		-7		5	7
6																	-4			3		5	3
7																		1		9		-9	2
8																		5		-5		2	1
9																		8		6		-5	6
10																	-9			4		4	5
11																		3		9		-1	8
12																	-2			2		2	9
13																		1		4		-8	5
14																		8		8		-1	1
15																		6		5		-1	2
16																		9		6		-1	6
17																		7		3		-1	3
18																	-3			-2		2	9
19																		2		6		-1	3
20																	-4			5		3	5

Задача № 4

Найти оригинал по заданному изображению.

1. F ( p) =

p3 −1

3. F ( p) =

p2 ( p2 − 4)

5. F ( p) =

( p2 +1)(p2 + 4)

7. F ( p) =

p +

( p −1)(p2

− 2 p +5)

9. F ( p) =

3 p − 2

( p −1)(p2

−6 p +10)

11. F ( p) =

p2 ( p2 +1)

13. F ( p) =

p + 2

( p +1)(p − 2)(p2 + 4)

15. F ( p) =

p2 + 2 p −1

p3 +3 p2

+3 p +1

17. F ( p) =

2 p +3

p3 + 4 p2 +5p

19. F ( p) =

p2 + 2 p −1

p3 −2 p2

+ 2 p −1

2. F ( p) =

p3 −8

4. F ( p) =

p +3

p3 + 2 p2 +3 p

6. F ( p) =

p − 2

p3 − 2 p2 +5p

8. F ( p) =

p( p3

+1)

10. F ( p) =

p4 + p2

12. F( p) =

( p +1)2

, 14. F ( p) =

p + 2 p2 + p3

16. F ( p) =

p3 +1

18. F ( p) =

( p −1)2 ( p + 2)

20. F ( p) =

3 p2

p3 −1

Задача № 5

Методом операционного исчисления найти частное решение дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, удовлетворяющее начальным условиям.

1.	x′′− x′+ x = e−t ;
	x(0) = 0,	′
		x (0) =1.
3.	x′′− x′ = tet ;
	x(0) =1,	′
		x (0) = 0.
5.	x′′− 2x′+ x = t −sin t;
	x(0) = 0,	′
		x (0) = 0.
7.	x′′+ 2x′+5x = 3;
	x(0) =1,	′
		x (0) = 0.
9.	x′′+ 4x = sin t;
	x(0) = 0,	′
		x (0) = 0.

x′ = 4x +3, x(0) = −1,

y′ = x + 2 y, y(0) = 0.

13.	x′ = x	+ y,	x(0) =1,
			y(0) = 0.
	y′ = 4x + y +1,

x′−2x −2 y −2 = 0, x(0) =1,

y′−4 −1y = 0, y(0) =1.

17.	x′+ 2x − y	−2	= 0, x(0) =1,
17.			y(0) = −1.
	y′−3x = 0,		y(0) = −1.

2.	x′′− x′ = t 2 ;
	x(0) = 0,		′
			x (0) =1.
4.	x′′+ 2x′+ x = t;
	x(0) = 0,		′	0.
			x (0) =
6.	x′′−3x′+ 2x = et ;
	x(0) = 0,		′	0.
			x (0) =
8.	x′′− x′ = sin t;
	x(0) = −1,		′
			x (0) = 0.
10.		x′′+ x′ = t cos t ;
		x(0) = 0,	′
			x (0) = 0.

x′ = x +3y, x(0) =1,

y′ = x − y = 0, y(0) = 0.

x′ = 2x + y, x(0) = 0,

y′ = 3x + 4 y, y(0) = −1.

x′ = x + y, x(0) = −1,

y′ = 3y −2x, y(0) =1.

18.	x′ = y +3, x(0) =1,
		y(0) = 0.
	y′ = x + 2,

19.	x′+ x −3y + 2 = 0, x(0) = 0,		20.	x′+ 2x − y = 0, x(0) = 0,
		y(0) =1.			y(0) =1.
	y′− x − y −1= 0,			y′−3x = 0,
		Задача № 6
	Даны два комплексных числа z1			и z2 . Записать их в три-

гонометрической форме. Найти в тригонометрической форме:

1)	z	z				2)						z1				; 3) z5; 4) 3																	.
				2	;							z1																			z
					;																										z
	1										z2													1						1
											z2													1
1.	z	= − 1				+i					3		;				z	2		=1 +i.									2. z			= − 1 −i									3				;		z		2	= 2 − 2i.
1.	z	= − 1				+i							;				z			=1 +i.									2. z			= − 1 −i													;		z			= 2 − 2i.
	1				2				2																					1				2					2
					2				2																									2					2
															1				+ i						.
3.	z = −i ;					z				=													3						4. z = −8+ i8															;					z		=1.
									2														3																	3										2
																																								3
	1													32								32								1
														32								32
					1																																											1						.
5.	z = −				1	+i					3			;					z	2		=i .							6.	z = −1;							z		2					= −				1		+ i			3
5.	z = −				4	+i			4					;					z			=i .							6.	z = −1;							z							= −				8		+ i		8
	1				4				4																					1																		8				8
																			1 + i																														1							.
7.	z = −1 + i ; z									2				= −					1 + i							3	.		8.		z = 3 −3i ; z														2		=		1		−i			3		.
	1									2									4					4						1															2				27				27
9.	z	=	1		;	z				=1 + i																			10.	z			=	1	−i	1 ;									z			=		1 + i			1		.
			1				2														3.													1												2							1
			8																		3.													4
	1		8																											1				4		4																	3
11. z		=		1 +i 1				;				z		2			= −2 +i							2				.	12.		z		=	1	−i	1							;				z		2	= −8.
11. z		=		1 +i 1				;				z					= −2 +i											.	12.		z		=	8	−i								;				z			= −8.
	1			2		2																		3						1				8					3
					1																													1																	1			1 .
13. z		=			1	+ i						3		;			z	2		=1 −i.									14. z				=	1	−i			3				; z					2		= −		1	+i		1 .
	1			32					32									2												1				8		8											2				2			2

15. z1 = 14 + i 43 ; z2 = 3 −i. 16. z1 = − 14 + i 413 ; z2 = −3 +i.

17.z				= − 1		−i			3			;			z		=1 + i								18.z = −8−i8						;
									3							2				3.										3
																				3.										3
		1		2			2																		1
				2			2
z	2	= −1 +i				1				.					19.			z	=		1	−i	1	;	z	2	= 1	+i	1			.
z		= −1 +i								.					19.			z	=			−i		;	z		= 1	+i				.
				2		2	3											1	16			16					2	2	3
				2		2	3												16			16					2	2	3
				= 1							;
20. z					−i			3					z	2	= −i .
20. z					−i								z		= −i .
		1		4			4
				4			4
															Задача № 7
			Представить										заданную					функцию							w = f (z),			где
z = x +iy в виде													w = u(x, y)+iv(x, y);									выяснить, будет ли она

аналитической. Если функция аналитическая, то найти значение ее производной в точке z0.

1.	w = z e1−z ,	z0 =1 +iπ .
2.	w = z3 −i,	z0 =1 +i .
3.	w = (z −1)e z ,	z0	=	iπ			.

	w = z 2 + z3,		2
4.		z0 =1 −i .
			=		i					.
5.	w = iz eiz ,	z0						π

			2
6.	w = (iz)3,	z0	=			2i			.

	w = (z +1)e−z −1,		3
7.		z0 =1.
8.	w = i(1 − z)3,	z0 = −1 +i .
9.	w = z eiz +1,	z0 = −1 +iπ .
10.	w = (2z 2 −i)z,	z0 = −1 −i .
11.	w = e−z 2 ,	z0 = i .

12.w =i(1−z 2 )−2z,

13.w = e1−2z ,

14.w = z 2 +3z −i,

15.w = e1−2 / z ,

16.w = 2z 2 +iz +3,

17.w = eiz 2 ,

18.w = z3 + z 2 +i,

19.w = z e z ,

20.w = z 2 e1+z ,

z0 =1. z0 = i3π .

z0 = −i . z0 = π6 .

z0 =1 −i .

z0 = i 2π . z0 = 23i .

z0 = −1 +iπ . z0 =1 −i .

ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Пример 1. Изменить порядок интегрирования:

I = ∫∫ f (x, y)dxdy ,			где D: x=1, x=2, y=x; y=2x.
D
Решение
I = ∫2 dx2∫x		f (x, y)dy = ∫∫ + ∫∫ =
1	x			D1		D2
2	y		4	2
= ∫dy∫ f (x, y)dx + ∫dy∫ f (x, y)dx
1	1		2		y
					2

y	у=2х
	у=2х		у=х
			у=х
0	1	2	х
y	1	2	х
y		y	Рис. 1
		y	Рис. 1

y
					x=у/2

		у=2х
2		у=2х			у=х






y1
			2
			2
			y

0	1			2	х
0	1			2	х
y				y

Пример 2. Изменить порядок интегрирования в двойном интеграле:

y = −2x и построим их (рис. 2). Область D располагается в полосе 0 ≤ x ≤1 и ограничена сверху и снизу соответствующими ветвями параболы y2 = 4x

		у = 2 х
2	B
	D	x
0	1	x
0	1

-2 A

у = -2х

Рис. 2

Найдем новые пределы внешнего (по у) и внутреннего (по х) интегрирования. Так как область D проецируется на ось Оу в отрезок АВ, то пределами внешнего интегрирования являются ординаты точек А и В, т. е. y = −2 и y = 2 соответственно. Левой границей обла-

сти	является кривая	x =	y2	(уравнение параболы

		4
y2	= 4x разрешено относительно х), а правой – прямая