Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 609

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

493.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

∞

148) ∑

cos nx

. 149)

∑tg

. 150) ∑xn sin

, a >1 .

n=1

n=0

∞

cos nx

∞

x +5

∞

1 2x +1

151) ∑

, a >1. 152)

∑

. 153)

∑

n=0

n=2

n ln n x +3

n=0

x +5

4.13. Найти множество сходимости степенного ряда:

∞

154) ∑xn .

n=0

∞

155) ∑5n xn .

n=0

∞

156) ∑(ax)n , a ≠ 0 .

n=0

∞	∞	x	n	∞	x	n
157) ∑(n +1)2 xn .	158) ∑			. 159) ∑			.
		ln n			n −ln n
n=0	n=1			n=2

160) ∑∞ (x −1)n n=0 2n +1

163) ∑∞ n5 xn .

n=1 n +2

		∞				∞		n
. 161) ∑n!xn .						162) ∑	x		.
. 161) ∑n!xn .						162) ∑			.
	n=1					n=1 n!
∞			x	n		∞				n
164) ∑			x			. 165) ∑(2n)!!x				.
164) ∑	(		n +1)		n	. 165) ∑(2n)!!x				.
n=0	(		n +1)			n=1			n!

166) ∑xn . 167)			∑(x −5)	n	. 168) ∑	x	n	n . 169)	∑e−n xn .
∞		n	∞		∞		n		∞
			n=1 n +5
n=1	n		n=1 n +5		n=1	n 10			n=1

4.14. Применяя почленное дифференцирование или интегрирование, найти сумму ряда:

	x +		x2					x3						x4						x −			x2						x3					x4
170)						+						+					+...		171)							+						−					+...
170)		2				+	3					+	4				+...		171)			2				+		3				−	4				+...
		2					3						4									2						3					4
172)	x +		x3			+		x5			+			x7			+...		173)	x2	+			x4				+		x6			+		x8				+...
172)	x +	3				+	5				+		7				+...		173)	2	+				4			+			6		+			8			+...
		3					5						7							2					4						6					8
	x2			x4					x6						x8					x −			x3						x5					x7
174)		−					+						−					+...	175)								+					−						+...
174)	2	−			4		+			6			−			8		+...	175)			3					+	5				−	7					+...
	2				4					6						8						3						5					7

176) 1+2x +3x2 +4x3 +... 177) 1−3x2 +5x4 −7x6 +...

178) 1−2x +3x2 −4x3 +...

4.15. Написать разложение функции в степенной ряд с

центром в точке x0 = 0 и найти множество сходимости

полученного ряда:
179)	shx = ex −e−x										. 180) chx = ex														+e−x .				181) ax , a > 0, a ≠1.
							2																	2
182)		x2e−2 x . 183)												sin x2 .						184)						sin2 x.						185)					cos2 x.
186)	sin3 x.						187)							1		.				188)							1	.			189)								1			.
186)	sin3 x.						187)				1− x2					.				188)					1+ x4			.			189)						1+2x					.
											1− x2														1+ x4												1+2x
190)				3		.	191)							1					. 192)								1		.		193)										5x −1		.
190)			4 − x			.	191)						3 +2x						. 192)					2 +3x2					.		193)							x2			−5x +6		.
			4 − x										3 +2x											2 +3x2														x2			−5x +6
194)			2x +3						.			195)							x −7						.		196)						ln (1− x						2		).
194)		x2 −4x +3							.			195)						6 − x − x2							.		196)						ln (1− x								).
197)	ln			5	1+ x			.	198)						ln		1+3x					.	199) ln (1+5x).
197)	ln			5				.	198)						ln							.	199) ln (1+5x).
					1− x											1−3x								)												2x +1
	ln (5 +2x).																		(					)												2x +1
200)	ln (5 +2x).									201)						ln 1+2x2										.	202)						ln							.
203)		ln (x2 −5x +4). 204)																			ln (x2 −10x +9).															3x +1
205)		ln		(	6	+ x − x2					)		.	206)									(							)		.
205)		ln		(	6	+ x − x2					)		.	206)								ln 1− x + x2										.
207)				(							)	.		208)						1+ x2 .							209)					5 1+ x.
207)		ln 1+ x + x2										.		208)						1+ x2 .							209)					5 1+ x.
210)			3 27 + x .						211)							1					.		212)						1						.
210)			3 27 + x .						211)												.		212)				9								.
															4 − x2												9		+ x2
213)		x arcsin x .							214) x2arctgx .														215) arctg										x	.
213)		x arcsin x .							214) x2arctgx .														215) arctg											.
									217) ln (3x + 1+9x2 ).																							2
216)	arcsin 3x .								217) ln (3x + 1+9x2 ).

218) ∫x sin tdt . 219)		∫x	arctgtdt . 220)
0	t	0	t

∫x et −1dt .

9 t

4.16. Написать разложение функции в степенной ряд с центром в точке x0 и найти множество сходимости полученного ряда:

221)		x3 − x, x			= −1.					222)			ex , x				= −2 .		223)				1 , x						= −3 .
			0												0								x			0
																			1				x
224) x, x = 4			. 225)				3		x, x			= −1.			226)				1				, x			= −3 .
224) x, x = 4			. 225)				3		x, x			= −1.			226)			2 − x − x2					, x			= −3 .
	0										0							2 − x − x2					0
227)	1				, x0				= −4 .				228) ln x, x0 =1.
227)		x2 +3x +2			, x0				= −4 .				228) ln x, x0 =1.
229) sin 3x, x			= −π .				230) sin						πx	, x			= 2 .		231) sin					πx			, x			=1 .
229) sin 3x, x			= −π .				230) sin							, x			= 2 .		231) sin								, x			=1 .
	0			3									4		0								3						0
				3									4										3
4.17. Вычисть с точностью до 10−3 :
232)	3 10 .				233)						e .		234)			3 30 .			235) sin18 .
			1 .							1 2									1
236) arcsin			1 .		237)					∫ sin xdx.							238) ∫e−x2 dx.
			3							0		x							0
	3 2											3			1dx.					1 2
239)		∫ x6 sin xdx.							240) ∫arctg						1dx.				241)		∫				xex dx.
	0											2			x						0
4.18. Вычислить с точностью до 10−4 :
242) ln 3.			243) ln 6.
244)		Вычислить							значение								2 с		точностью									до		10−5 ,
исходя из его представления в виде
						0,04																	1 −			1
	2 =1, 4 1+					0,04																	1 −			2
a)						1,96					,			б) 2 =1, 4 1						−								,
a)											,			б) 2 =1, 4 1						−								,
																						50
												1
								119 −2
в)		2 =1, 41 1−
в)		2 =1, 41 1−					2000
							2000

и сравнить объём проведённых вычислений в каждом случае. 4.19. Найти п первых членов разложения в степенной ряд

∞

∑an (x − x0 )n решения дифференциального уравнения с

n=0

заданными начальными условиями:

245)y ' = y2 − x, x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

246)y ' = x2 − y2 , x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

247)y ' = x3 + y2 , x0 = 0, y(0) =1, n = 5.

248)y ' = x + 1y , x0 = 0, y(0) =1, n = 4.

249)y ' = 2x +cos y, x0 = 0, y(0) = 0, n = 4.

250)2 y '−(x + y) y −ex = 0, x0 = 0, y(0) = 2, n = 4.

4.20. Найти частное решение дифференциального уравнения в окрестности точки x=0 в виде степенного ряда с центром в нуле:

251)xy ''+ y '+ xy = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

252)xy ''+ y '− xy = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

253)xy ''− xy '− y = 0, y(0) = 0, y '(0) =1.

254)x2 y ''+ xy '+ x2 y = 0, y(0) =1, y '(0) = 0.

4.21. Разложить функцию f (x) в тригонометрический ряд Фурье на заданном отрезке:

255)f (x)= x sin x на [−π;π].

256)f (x)= x cos x на [−π;π].

257)	bx,	−π < x ≤ 0,
257)	f (x)=		0 < x <π
	ax,		0 < x <π
	x,		0 < x ≤ π ,
258)			2
258)	f (x)=		2
	π − x,		π < x <π
			2
			2
259)	1,	−π < x ≤ 0,
259)	f (x)=		0 < x <π
	1− x,		0 < x <π

на [−π;π].

на [0;π].

на [−π;π].

260)

−1 ≤ x < 0,

на [−1;1].

f (x)=

+1,

0 ≤ x ≤1

261)

f (x)= x2

на [−π;π].

262)

f (x)= x2 на [0; 2π].

263)

f (x)= x2

на [0;π].

0 < x <π,

264)

f (x)=

на [−π;π].

, −π < x < 0

−x2

265)

f (x)=

−π < x < 0,

на [−π;π].

2 ,

0 < x <π

< 2,

на [−π;π].

266)

f (x)=

2 ≤ x ≤

267)

0 < x < 2,

на

[0;2π].

f (x)=

2 ≤ x ≤

2π

268)

f (x)= sign (sin x)

на [−π;π].

269)

-π ≤ x ≤ 0,

на [−π;π].

f (x)=

0 < x ≤

sin x,

π ≤

≤π,

270)

на [−π;π].

f (x)=

cos x,

271)f (x)= sin5 x на [−π;π].

272)	f (x)= cos4 x на [−π;π].
273)	f (x)= arcsin (cos x)		на [−10π;10π].
274)	f (x)= arcsin (sin x)		на [6π;20π].
275)	f (x)= chx	на [−π;π].
276)	f (x)= shx	на [−π;π].
			44

277)	f (x)= sin x	на	−		π		;	π
					2				.
								2
278)	f (x)= cos x	на		−		π			π
								;		.
						2			2

279)	f (x)= cos x	на [0;π].
280)	−1,	−c < x ≤	0,	на [−c;c].
280)	f (x)=	0 < x < c		на [−c;c].
	1,	0 < x < c

281)	0,	−c < x ≤ 0,		на [−c;c].
281)	f (x)=	0 < x < c		на [−c;c].
	1,	0 < x < c

282)f (x)= x на [−c;c].

283)	x,	0 < x ≤ c,	на [−c;c].
	f (x)=	−c < x ≤ 0
	0,

284)f (x)= x на [−c;c].

285)f (x)= x2 на [−1;1].

286)f (x)= x2 на [0; 2].

287)f (x)= c2 − x2 на [−c;c].

288) f (x)= ea x , a ≠ 0 , на [0; 2].

4.22. Разложить функцию f (x)в ряд Фурье на заданном отрезке по косинусам:

289)f (x)= sin x на [0;π].

290)f (x)= x cos x на [0;π].

291)	f (x)= e2 x на [0;π].
292)	f (x)= sin 2x на [0;π].
293)	f (x) = x, (0 < x < 4) .

4.23. Разложить функцию f (x) в ряд Фурье на заданном

отрезке по синусам:		на [0;π].
294)	f (x)= cos x	на [0;π].
295)	f (x) =1,(0 < x <1)
296)	f (x)= x sin x	на [0;π].
297)	f (x)= eax	на [0;π].
298)	f (x)= sin ax , a - не целое, на [0;π].
299)	f (x)= shax	на [0;π].
300)	f (x) = x2 , (0 < x < 2π) .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1.Бугров Я.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. М.: Наука, 1984.

2.Кудрявцев Л. Д. Краткий курс математического анализа / Л. Д. Кудрявцев. – Альфа, т. 1, 1998. - 687с., т. 2, 1998. – 584с.

3.Архипов Г.И. Лекции по математическому анализу / Г.И. Архипов, В.А. Садовничий, В.Н. Чубариков. – М.: Высшая школа, 1999. - 695с.

4.Пискунов П.С. Дифференциальное и интегральное исчисление / П.С. Пискунов. – М.: Наука, т. 1, 2001. — 415с.,

т.2, 2001. — 544с.

5.Демидович Б.П. Основы вычислительной математики / Б.П. Демидович, И.А. Марон. – М.: Наука, 1986.

6.Минорский В. П. Сборник задач по высшей математике: Учебное пособие для втузов / В.П. Минорский. — М.:

Наука, 1987. — 350с.

7.Щипачев B.C. Высшая математика / В.С. Щипачев. —

М.: Высш.школа, 2003. - 479 с.

8.Баврин И.И. Высшая математика / И.И. Баврин. — М.:

Высш. школа, 2001.- 616 с.

ЧИСЛОВЫЕ И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ для организации самостоятельной работы

по курсу "Высшая математика" для студентов направления 280700.62 "Техносфернаябезопасность" («Защитавчрезвычайныхситуациях»,

«Безопасностьжизнедеятельностивтехносфере», «Защитаокружающейсреды»)

очной формы обучения.

Составитель: Пантелеев Игорь Николаевич

В авторской редакции

Компьютерный набор И.Н. Пантелеева

Подписано к изданию 17.12.2012. Объем данных 747 Кб

ФГБОУ ВПО «Воронежский государственный технический университет»

394026 Воронеж, Московский просп., 14

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 55

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022491.43 Кб3Учебное пособие 604.pdf
#
30.04.2022492.57 Кб4Учебное пособие 605.pdf
#
30.04.2022492.71 Кб3Учебное пособие 606.pdf
#
30.04.2022492.87 Кб10Учебное пособие 607.pdf
#
30.04.2022493.01 Кб4Учебное пособие 608.pdf
#
30.04.2022493.57 Кб4Учебное пособие 609.pdf
#
30.04.2022253.93 Кб4Учебное пособие 61.pdf
#
30.04.2022493.9 Кб11Учебное пособие 610.pdf
#
30.04.2022495.08 Кб3Учебное пособие 611.pdf
#
30.04.2022495.54 Кб3Учебное пособие 612.pdf
#
30.04.2022496.67 Кб2Учебное пособие 613.pdf