Учебное пособие 609

Этот ряд называется рядом Тейлора для данной функции. В случае а = 0 ряд Тейлора принимает вид

Этот ряд называется рядом Маклорена для данной функции. Разложение функции в степенной ряд единственно, т.е.,

Формально ряд Тейлора можно написать для всякой

неограниченном возрастании п стремится к нулю.

Для разложения данной функции в ряд Тейлора нужно:

1)Написать ряд Тейлора для данной функции, т.е. вычислить значения этой функции и её производных при x = a , подставить их в общее выражение ряда Тейлора (6);

2)исследовать остаточный член Rn формулы Тейлора для

данной функции и определить те значения х, при которых полученный ряд сходится к данной функции, т.е. при которых

lim Rn (x) = 0.

n→∞

При разложении функций в степенные ряды часто используются разложения в ряд Маклорена следующих функций:

20

В скобках указаны промежутки, на которых верны данные

21

2.4. Приложения степенных рядов

Ряды широко используются в приближённых вычислениях. С помощью рядов с заданной точностью можно вычислить значения корней, тригонометрических функций, логарифмов чисел, определённых интегралов. Ряды применяются также при интегрировании дифференциальных уравнений.

Интегрирование многих дифференциальных уравнений не приводится к квадратурам, а их решения не выражаются в элементарных функциях. Решения некоторых из этих уравнений могут быть представлены в виде степенных рядов, сходящихся в определённых интервалах. Ряд, являющийся решением дифференциального уравнения, можно найти или способом неопределённых коэффициентов, или способом, основанным на применении ряда Тейлора (Маклорена). Способ неопределённых коэффициентов особенно удобен в применении к линейным уравнениям.

14

Пример 1. Вычислить интеграл ∫e−x2 dx с точностью 10−4 .

0

Разложим подынтегральную функцию в ряд Маклорена, для этого в основное разложение (8), подставим −x2 вместо x :

22

Этот ряд можно интегрировать влюбых конечных пределах, т.е.

Полученный числовой ряд есть знакочередующийся, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, поэтому если мы возьмём для вычислений несколько первых членов ряда, то ошибка, которая при этом будет сделана, не превзойдёт абсолютной величины первого из отброшенных членов.

Замечаем, что третий член ряда

23

y '' = 2x +2 yy ', y ''' = 2 +2 ( y ')2 +2 yy '', y(4) = 6 y ' y ''+2 yy '''.

Вычислим значения этих производных при x = 0, принимая во

Знак ~ означает, что функции f (x) ставится в соответствие тригонометрический ряд по данной формуле.

В случае, когда l =π , то есть f (x) задана на интервале (−π,π) , ряд Фурье функции f (x) записывается в виде

где

24

В частности, если функция f (x) чётная на (−l,l) , то все коэффициенты bn равны нулю, так как в формуле (3) интеграл

берётся от нечётной функции по симметричному относительно нуля интервалу. В формуле (2) в этом случае интеграл берётся от чётной функции по симметричному относительно нуля интервалу, поэтому этот интеграл равен удвоенному интегралу от той же функции по интервалу (0;l).

Итак, в случае чётной функции f (x) на интервале (−l,l) имеем

Аналогично, если функция f (x) является нечётной на интервале (−l,l) , то получаем

Точка x0 (−l,l) называется регулярной точкой функции f (x), определённой на интервале (−l,l) , если существуют конечные пределы

25

2

Заметим, что все точки непрерывности функции f (x) являются её регулярными точками.

Функция называется кусочно-гладкой на интервале (−l,l) , если

1)множество М точек разрыва функции f(x) на (−l,l) конечно, и каждая точка x0 M есть точка разрыва первого рода,

2)функция f (x) дифференцируема во всех точках интервала

26

Рис. 1.

Заданная функция f (x) удовлетворяет условиям теоремы о разложимости в ряд Фурье, так как на интервале (−π;π )

функция имеет одну точку разрыва первого рода (при x = 0 ), а во всех других точках этого интервала она дифференцируема. Следовательно, для данной функции справедливо равенство

Пользуясь формулой (6) определим коэффициенты bn .

27

Подставив найденные коэффициенты ап и bn в формулу (4), получим следующее разложение в ряд Фурье данной функции f (x) на заданном интервале (−π;π )

Полученное равенство справедливо при любом значении x , исключая точку разрыва х = 0, в которой сумма ряда равна

−22+3 = 12 , то есть равна среднему арифметическому значений данной функции слева и справа от точки разрыва.

Пример 2. Разложить в ряд Фурье функцию f (x) (Рис. 2) на интервале (-2; 2), где

28

Рис. 2.

Длявычисления коэффициентов Фурье применим формулы

(2) и (3), подставив в них l = 2 и учитывая при этом, что функция задана различными аналитическими выражениями для различных областей изменения переменной х.