Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Учебное пособие 609

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

493.57 Кб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>


	2		2		при n нечётном,


= −		cos nπ = nπ
	n2π2
				2		при n чётном.
		-		nπ

Подставив найденные коэффициенты в формулу (1), получим

искомое разложение заданной функции																							f (x).
f (x)=		1	−		4					πx	+	1				3πx		+	1					5πx		+		+
							cos							cos							cos						...
		2		π		2	cos			2			2	cos		2			5	2	cos			2			...
		2		π						2		3				2			5					2
	2				πx				1		2πx				1		3πx					1			4πx
+		sin						−		sin				+		sin				−			sin				+... .
+	π	sin				2		−	2	sin		2		+	3	sin		2		−		4	sin		2		+... .
	π					2			2			2			3			2				4			2

Пример 3. Разложить в ряд Фурье функцию f(x) = |х| (Рис. 3) на интервале (−1;1).

Рис. 3.

Эта функция является чётной. Для вычисления коэффициентов Фурье полагаем l= 1 в формуле (8).

		2	1			x2	1
		2	1			x2	1
a	=	1	∫	xdx = 2	2			=1,
a	=			xdx = 2				=1,
0
			0				0
			0				0

x sin (nπx)

cos (nπx)

an = 2∫x cos (nπx)dx = 2

nπ

2 2

n π

при n нечётном,

−

(cos nπ −1)=

n2π2

n π

0 при n чётном,

Подставив найденные коэффициенты в формулу (7), получим искомое разложение функции в ряд Фурье.

cos3πx

cos5πx

−

cosπx

+... .

Полученное равенство справедливо при любом x (−1;1).

Пример 4.

Разложить в

ряд

Фурье функцию f (x)= х

(Рис. 4) на интервале (−π;π )

Рис. 4.

Так как данная функция является нечётной, то

коэффициенты an = 0 . Полагая					l =π в формуле (6), находим
коэффициенты bn .
	2	π	2			x cos nx		sin nx π
bn =		∫x sin nxdx =		−			+		2	=
	π		π			n		n
		0								0

	2	2 при n нечётном,
= −
	n	cos nπ = n
			2	при n чётном.
		-	n

Следовательно, разложение в ряд Фурье данной функции имеет вид

			1		1			1
x = 2	sin x −			sin 2x +		sin 3x −			sin 4x +... .
x = 2	sin x −		2	sin 2x +	3	sin 3x −		4	sin 4x +... .
			2		3			4
Функцию	f(x),	определённую					в		интервале (0;l ) и

обладающую в нём приведёнными в теореме разложения свойствами, можно в этом интервале представить как

формулой (7), так и формулой (9).

Пример

Разложить

ряд

по

косинусам

функцию

f (x)= π

−

на интервале(0;π ).

Для определения коэффициентов Фурье в ряде (7)

применим формулу (8).

2 π

x2 π

a0 =

−

x −

= 0 ,

π ∫0

2 π π

(π −2x)cos nxdx =

−

cos nxdx

∫0

2π

π ∫0

sin nx

2 cos nxdx π

1−cos nπ

(π

−2x)

−

2π

n π

2sin2

nπ

при n нечётном,

= n2π

n2π

при n чётном.

Следовательно, получаем следующее разложение

π		x		π		cos 3x		cos 5x
	−		=		cos x +		+			+... .
4		2		2		2		5	2
						3

Пример 6. Разложить функцию f (x)= х на интервале (0; 1) в ряд по синусам.

Для определения коэффициентов Фурье в ряде (9) применим формулу (10).

cos (nπx)

sin (nπx)

bn = 2∫x sin (nπx)dx =2 −x

nπ

2 2

n π

2cos nπ

при n нечётном,

= −

nπ

при n чётном.

nπ

Следовательно, получаем следующее разложение

x =

sin πx −

sin 2πx +

sin 3πx −

sin 4πx +... .

В силу одинаковой периодичности тригонометрических

функций, ряд Фурье (1), представляющий функцию		f (x) на
(−l;l ),	представляет в каждом отрезке [a;b] (−l;l )	функцию
f *(x),	полученную 2l периодическим продолжением

функции f (x) с интервала (−l;l ) на всю числовую прямую за

исключением				точек	вида	(2m +1)l, m .		Значения
f *	((	)	)	, m	выбираются		произвольно.		Если
		2m +1 l
определены значения					f (l −0)	и f (−l +0)(см. (11)), то обычно
полагают
		f *((2m +1)l )= 12 (f (l −0)+ f (−l +0)), m .
	Поэтому,			если функция		f *(x)	удовлетворяет	условию

(12)

точке

x = l , то

ряд

(1)

сходится

точках

x =

(

)

к функции f *

((

)

+1 l, m

2m +1 l

4. ЗАДАЧИ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОГО РЕШЕНИЯ

4.1. Написать формулу общего члена ряда:

1) 1+8 +27 +64 +125 +...

+...

3 6

4 7

1 4 2

3) 1+

+ 4 +

+16 +...

+ 4 +

6 +

8 +

+...

4.2. Написать четыре первых члена ряда по известному

общему члену:

2 +(−1)n

5) a

3n −2 .

6) a

. 7) a

(3 +(

)

n2 +1

−1)

nπ

2 +sin

cos nπ

(−1)

n .

8) a

a =

2n2

4.3. Доказать непосредственно сходимость ряда и найти его сумму:

10)	1+		1 +				1		+		1			+...							11) 1− 1 +						1		−		1			+...
10)	1+		1 +				2		+		3			+...							11) 1− 1 +						9		−	27				+...
			3				3				3													3			9			27
12)	1+			1			+			1		+			1			+...			13)			1	+		1			+				1				+...
12)	1+			3 2			+	3 4				+		3 8				+...			13)				+	2			3	+			3 4					+...
				3 2				3 4						3 8									1 2			2			3				3 4
14)		1		+			1			+			1			+...					15)			1			+			1						+			1		+...
14)	1 4			+		2 5				+		3 6				+...					15)		1 2 3				+	2 3						4		+			3 4 5		+...
	1 4					2 5						3 6											1 2 3					2 3						4					3 4 5
16)	1 +				2		+	3			+			4			+...				17)		1	+	2		+		3			+			4		+...
16)	1 +			72			+	73			+		74				+...				17)		9	+	92		+		93			+		94			+...
	7			72				73					74										9		92				93					94							)
																						∑(																			)
18) 1+2a +3a2 +4a3 +...,																			a	<1.	19)		∞		n +2 −2										n +1 +					n .
18) 1+2a +3a2 +4a3 +...,																			a	<1.	19)				n +2 −2										n +1 +					n .

n=1

4.4. Установить расходимость ряда, используя необходимый признак сходимости:

∞	2n +3
20) 1−1−1+1+1+1−1−1−1−1+... 21) ∑		.
	n +1
n=1

	∞							1
22)	∑n2 sin							1			.
22)	∑n2 sin					n	2	+n +1			.
	n=1					n		+n +1
			+	1		n2
	∞	1	+	n
24)	∑			n					.
24)	∑			n					.
	n=1		e
	∞	1									∞	1
26)	∑	1			.					27) ∑		1	.
26)	∑				.					27) ∑		n	.
	n=1	n 0,3									n=1	n

∞				2	+1			n2
23) ∑			2n		+1			.
23) ∑			2		+3			.
n=1			2n		+3
∞			n+1
∞			n		n
25) ∑			n		n			.
25) ∑				1			n	.
n=1				1
	n +
				n
∞		n +1
28) ∑		n +1				.
28) ∑						.
n=1		3n +2

4.5. Используя признаки сравнения, исследовать на сходимость ряд:

∞

29) ∑

30) ∑

(n +2)2

n (n +

n=1

∞

n2 +3n +2

31) ∑

32) ∑

(

)

4 3

n=1

(n +

n=1

3n +n +2n +1


	∞			1
33)	∑			1			.
33)	∑		1+3			n	.
	n=1		1+3
	∞		1
36)	∑		1		.
36)	∑				.
	n=1	ln n

	∞			1					∞		2
34)	∑			1			.	35)	∑			n		.
34)	∑		(1+2n)			3	.	35)	∑				2	.
	n=1		(1+2n)						n=1			2n
∞		1						∞	4				3
37) ∑		1			.			38) ∑ln n		4+3n			.
37) ∑	(ln n)			ln n	.			38) ∑ln n	n	4+3n			.
=								=	n		+1
n 1								n 1

39) ∑∞ ( n − n −1).

n=1

41)∑∞ n arcsin n13 .n=1

∞		( n +1 − n −1).
40) ∑1		( n +1 − n −1).
n=1	n
∞			3n +1
42) ∑(		n +1 − n +2 )ln	3n +1	.
42) ∑(		n +1 − n +2 )ln		.
n=1			3n −1

4.6. Используя признак Даламбера, исследовать на сходимость ряд:

∞

2n −1

∞

43) ∑

44) ∑

45) ∑

(2n +1)!

n=1

n=1 7

46) ∑n

(nn+1). 47)

∑ n

48)

∑nn .

∞

n=1

2 (2n +1)

n=1 3

∞

49) ∑

. 50)

∑

51)

∑

3 n

(5n −4)(4n −1)

n=1

n=1 n

4.7. Используя признак Коши, исследовать на сходимость

ряд:

(5 −(−1)n )n

∞

n +1 n

∞

52) ∑

53) ∑

n=1

2n +5

n=1

∞

2n +1 n

∞

54) ∑ ln

55) ∑ sin

n=1

n +5

n=1

∞

56) ∑ cos 3

n=1

4.8. Используя интегральный признак, исследовать на сходимость ряд:

	∞		1
57)	∑		1			.
57)	∑	n ln		2	n	.
	n=2	n ln			n
	∞		− n			∞	1
59)	∑e			.		60) ∑	1	.
59)	∑e		n	.		60) ∑	(2n −1)2n	.
	n=1		n			n=1	(2n −1)2n

	∞	1
58)	∑	1		.
58)	∑	n ln n ln ln n		.
	n=2	n ln n ln ln n
	∞	1
61)	∑	1	.
61)	∑	3n −2	.
	n=1	3n −2

4.9. Применяя различные признаки сходимости, исследовать сходимость знакоположительных рядов:

∞	1		1		∞	n			∞	1
62) ∑		sin		.	63) ∑			.	64) ∑		.
	3		2			(n +1)	2			n −sin n
n=1	n		n		n=1				n=1

	∞
65)	∑ne−n .
	n=1
	∞	2n −1
68)	∑	2n −1	.
68)	∑	2	.
	n=1	(n +1)

∞		n +1
66) ∑						.
	n	3
n=1		+5
∞			5	+5	1 .
69) ∑ln n
n=1			n

∞	π		∞	1
71) ∑(31n −1)sin		. 72)	∑		.
	n
n=1			n=1	n!

67) ∑∞ lnn5n .

n=1

∑∞ arctgn

70) n=1 10n −n .

73) ∑∞ 3n +1 .

n=1 n!

∞	n +1
74) ∑ln		.

n=1	2n +5

∞

77) ∑n10e− n .

n=1

80)∑∞ lnn!n .n=2

∞	1	1		),
82) ∑(a
	n	−2 +a−	n

n=1

∞

arcsin 1

75) ∑7

. 76) ∑

n ln cos

n=2

n=1

n +1 −

∞

78) ∑n2e−3 n .

79)

∑

ln n

n=1

n=2 e

∞

n +2 −

n −2

81) ∑

n=3

3 n2

1 .

∞

n +1 − n )a arctg

a > 0, a ≠1. 83) ∑(

n=1

∞

cos

∞

n +5 n

∞

84) ∑

85) ∑

86) ∑

arccos

3n −1

n=1

∞

n −

∞

2n +1

∞

2 5 8

...

(

)

87) ∑

88) ∑

. 89)

∑

2 7

12 ... (5n −3)

n=4

n=1

n +3

n=1

∞

n +1 − 4 n2 +n +3).

90) ∑

91)

∑(

n=1

92) ∑

93) ∑(2nn −1)!!

94) ∑n1 .

∞

n=1

n ln (n +1)

n=1

3 n!

n=1

∞

1n3 −1).

95) ∑

96) ∑log2n (1+

97) ∑(n

n=1 2

n=1

n=2

∞

n +1

∞

98) ∑n sin

99) ∑ n ln

100) ∑ cos

n −1

n=1

n=2

n=1

∞

n n +1

101) ∑

102)

∑ arcsin

. 103) ∑

n −ln n

n=2

n=1

n=2

n n n −1

∞

104) ∑ cos

105) ∑ ln

−ln sin

n=1

∞

2n +3 n

∞

ln n

106) ∑ ln

. 107) ∑

108) ∑

n +1

n ln

n=1

n=2

∞

109) ∑e−a

n , a ≠ 0 .

110) ∑

n (3

−1)

111) ∑

ln cos n

n=1

n=2

ln cos

∞

(n!)

112) ∑

113) ∑

n ln n ln

ln n

(

2n +1)!

n=2

n=1

4.10. Применяя признак Лейбница, показать, что данный

ряд сходится

114) ∑(−1)

n−1

115) ∑ (−1)

n−1

2 .

116) ∑(

−1)

n−1

∞

n=1 2n −1

n=1

(3n +5)

n=1

117) ∑(−1)

n .

118) ∑(−1)

ln n

∞

n +20

n=1

n=2

4.11. Исследовать ряд на абсолютную и условную сходимость:

∞	n+1	∞		n		∞		n+1	3	n .
119) ∑	(−1)a	. 120) ∑	(−1)		.	121) ∑	(−1)			n .
n=1	n	n=2	ln n			n=1	n +2

8 n (n +1)

122) ∑∞ (−1)n (n −1).

n=2

∞	n	3n +1		n
124) ∑(−1)
			.
		4n +5
n=0

∞

126) ∑(−1)n+1n10e−n .

n=1

∞	n+1			1
123) ∑(−1)		tg		1		.
123) ∑(−1)		tg		3		.
n=1		n			n
	∞		n+1
	∞	(−n1) .
125) ∑		(−n1) .
	n=1	n
	∞				2n
127) ∑(−1)n+1					2n		.
127) ∑(−1)n+1					3n +2		.
	n=1				3n +2

∞

(−1)

n+1

∞

(−1)

ln n

∞

(−1)

128) ∑

129) ∑

130) ∑

n=1

1000n +1

n=2

n ln n

∞

(

−1)

n+1

∞

n+1

(n2−1)

131) ∑

132) ∑(−1)

2n −arctgn

n=1

∞

n+1

arctgn

∞

ln n

133) ∑(−1)

134) ∑(−1)

n2 +1

n=1

n=2

n n

4.12. Найти область сходимости функционального ряда:

∞

(−1n) .

135) ∑

136)

∑

137) ∑

n=0

n=1 x

n=1

−1

∞ x (x +n)

∞

1+2x n

138) ∑

139) ∑

. 140)

∑

+ x

n=1

n=1 n

1+3x

∞

n −1

141) ∑

. 142) ∑(−1)

n (n +1)

n=1

4 + x

n=2

3x −1

143)	∞	(−1)n+1 2			+3x n
	∑	n	p		.
	n=1			3 + x
	∞		1		1− x	n
	∑
145)					.

	n=1	ln (1+n)			1+ x

	∞		(−1)n		1+ x n
144) ∑						.
		3
	n=2		n −ln n		3 +2x
∞	x	n			∞
146) ∑				. 147)	∑nln x .
	1− x		n
n=1					n=2

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 54 5 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022491.43 Кб3Учебное пособие 604.pdf
#
30.04.2022492.57 Кб4Учебное пособие 605.pdf
#
30.04.2022492.71 Кб3Учебное пособие 606.pdf
#
30.04.2022492.87 Кб10Учебное пособие 607.pdf
#
30.04.2022493.01 Кб4Учебное пособие 608.pdf
#
30.04.2022493.57 Кб4Учебное пособие 609.pdf
#
30.04.2022253.93 Кб4Учебное пособие 61.pdf
#
30.04.2022493.9 Кб11Учебное пособие 610.pdf
#
30.04.2022495.08 Кб3Учебное пособие 611.pdf
#
30.04.2022495.54 Кб3Учебное пособие 612.pdf
#
30.04.2022496.67 Кб2Учебное пособие 613.pdf