ic = C duc dt
и вторым законом Кирхгоффа для схемы по рис. 9.13
e(t) = u R (t) +u C (t),
Определяя u R (t) = ic R, находим что
e(t) = ic R +u 0 = C dudtc R +uc .
Таким образом, дифференциальное уравнение будет иметь вид
RС dudtc +uc = e(t).
9.12. Найти реакцию цепи, состоящей из R и L, когда на вход схемы действует скачок напряжения амплитуды Um
(рис. 9.14)
Решение
Используя компонентное уравнение для индуктивности
uL = L di |
и второй закон Кирхгоффа uВХ = uR +uL , составляем |
dt |
|
дифференциальное уравнение цепи, т.е.
|
|
|
uвх(t) |
|
|
|
||
R |
|
|
Um |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
||
uвх(t) |
L |
|
uвх(t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
Рис. 9.14 |
|
|
|
||
u ВХ |
= i R + L di |
, |
|
|
L di |
+iR = u ВХ . |
||
|
dt |
|
|
|
dt |
|
|
|
Для решения дифференциального уравнения
L dtdi +iR = uВХ
8
составляем характеристическое уравнение и определяем его корни
Lp + R = 0 , |
|
R |
|
|
p = − L . |
||||
|
||||
Ток в цепи образуется из суммы свободного и принуждённого токов
i(t) = iсв +iпр .
Принуждённый ток определяется, когда переходной процесс закончился и t → ∞, т.е.
iпр = uRВХ .
Свободный ток iсв определяется из решения однородного дифференциального уравнения
L dtdi +iR = 0.
Решение этого уравнения ищется в виде
iсв = A e pt = A e−RL t ,
где А – постоянный коэффициент, определяемый из начальных условий, которые для данной задачи iL(0) = iL(0-) = 0. Подставляя начальные условия в выражение для тока i(t), получим, что
iL (t) = |
uВХ |
+ A e−RL t , |
0 |
= |
uВХ |
+ A e−RL 0 |
, |
|||
|
||||||||||
|
|
|
||||||||
|
|
|
R |
|
|
R |
|
|||
0 |
= |
uВХ |
+ A, |
A = |
uВХ |
. |
|
|||
|
|
|
|
|||||||
|
|
R |
|
|
R |
|
||||
С учётом значения величины А ток в цепи будет определяться выражением
iL (t) = − uRВХ − uRВХ e−RL t = uRВХ 1−e−RL t = URm 1−e−RL t .
Принимая во внимание выражение для iL(t), реакцию цепи (напряжение на выходе) определим как
9
u L (t) = L |
di(t) |
Um |
|
Um |
|
− |
R |
t |
′ |
Um |
|
R |
|
− |
R |
t |
|
− |
R |
t |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
= L |
|
− |
|
e |
|
L |
|
= −L |
|
|
− |
|
|
e |
|
L |
= Um e |
|
L |
. |
|||
dt |
R |
R |
R |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
L |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: u L (t) = Um e−RL t .
9.13. Для цепи, изображённой на рис. 9.15, составить дифференциальное уравнение для определения тока в индуктивности L, используя метод контурных токов и теорему об эквивалентном источнике.
Решение
Составим систему уравнений, используя метод контурных токов. В соответствии с выбранными направлениями контурных токов уравнения будут иметь вид
i (R +R)−i |
|
R =e(t) . |
2Ri |
−i R− =e(t) . |
|
1 |
2 |
|
|
1 |
2 |
i2 R +uL −i1 R =0 . |
i2 |
R +uL −i1R =0. |
|||
R
e(t)
R |
L uL |
i1 |
i2 |
Рис. 9.15
Определяя i1 из первого уравнения и подставляя его во второе с учётом, что uL = L didt2 , получим что
i = e(t) +i2 R |
, |
|
1 |
2R |
|
|
|
|
|
10 |
|
i R + L |
di2 |
− |
e(t) +i2 R |
R = 0, L |
di2 |
+ |
i2 R |
= e(t) . |
|
|
|
|
|||||
2 |
dt |
|
2R |
|
dt |
2 |
2 |
|
|
|
|
||||||
Таким образом, получим дифференциальное уравнение относительно тока i2 в виде
2L didt2 +i2 R = e(t).
Теперь составим дифференциальное уравнение, применив теорему об эквивалентном источнике напряжения.
Преобразуем схему рис. 9.15 к виду рис. 9.16.
i(t)= e(t) |
R |
R |
L |
R |
|
|
|
Рис. 9.16 R/2
e(t)
2
i2 L
Рис. 9.17
Используя второй закон Кирхгоффа для схемы рис. 9.17 e(t)/2 = i2R2 + uL и зависимость uL = L didt2 , получим дифференциальное уравнение, аналогичное предыдущему случаю
2L didt2 +i2 R = e(t).
11