Методическое пособие 801

Выпуск № 1 (49), 2018 ISSN 2541-7592

Сопротивление бетона растяжению не учитывается (σbt = 0).

Будем различать полное сечение, включающее бетон в пределах его геометрических размеров, растянутую и сжатую арматуру, и его работающую часть без растянутой зоны, гдеσbt= 0.

Задачи об одноосном (плоском) или двухосном (косом) внецентренном (относительно двух осей инерции) сжатии решаются как обратные при помощи перебора решений, каждому из которых соответствует сочетание продольной силы и моментов относительно осей сечения.

2. Плоское внецентренное сжатие. Исследуемое сечение разбивается на элементарные полосовые отрезки с размерами bz×dz, в которых фиксируются значения относительных деформаций ε, определяемые в зависимости от управляющих деформаций нижней (εТ1) и верхней (εТ2)граней с координатами z = −z1 и z = z2 (рис. 2).

Управляющие деформации εТ1 и εТ2 принимаются в качестве независимых переменных и меняют свои значения в интервале от εb2 до εs2 с заданным шагом dε.

Каждое из множества перебираемых решений плоской обратной задачи содержит следующие параметры расчета, определяемые в зависимости от заданной плоскости распределения относительных деформаций по высоте сечения:

продольную силу N, момент М, приложенные в центре тяжести полного сечения;

распределение по высоте сечения напряжений в бетоне и арматуре;

приведенные геометрические характеристики работающей части сечения. Распределение относительных деформаций ε по высоте сечения (εb в бетоне сжатой

части сечения, εs, εsc в растянутой и сжатой арматуре) принимается линейным в зависимости от εТ1 и εТ2 в соответствии со схемой и обозначениями на рис. 2:

Сжимающие напряжения в бетоне σb, в растянутой и сжатой арматуре σs, σsc определяются в зависимости от относительных деформаций в соответствии с диаграммами на рис. 1. Равнодействующие напряжений в бетоне сжатой части сечения Fb, сжатой и растянутой арматуре Fs, Fsc определяются по формулам:

где А, dA — площадь работающей (сжатой) части бетонного сечения и ее элементарный полосовой отрезок с размерами bz×dz; Аs, А´s — площади сечения растянутой и сжатой арматуры; х —высота сжатой зоны сечения.

Рис. 2. Схема, система обозначений, координат и размеров железобетонного сечения (а), распределение относительных деформаций 1 и напряжений 2 при плоском внецентренном сжатии (б)

111

Научный журнал строительства и архитектуры

Усилия N и МY для каждой пары переменных εТ1, εТ2 определяются как равнодействующие сил Fb, Fs,Fsc (с соответствующими знаками) и их моментов относительно оси сечения:

где z — координата полосового отрезка dA; d, h0 — геометрические размеры на рис. 2: расстояния от верхней (сжатой) грани сечения до центра тяжести полного сечения и до центра тяжести сжатой арматуры.

Приведенные геометрические характеристики работающей части сечения: площадь Ared, статический момент SYred относительно оси OY, момент инерции IYred определяются по следующим формулам:

где п = Es /Eb — отношение модулей упругости арматуры и бетона;

Ared

Приведенный момент инерции работающей части сечения относительно геометрического центра тяжести полного сечения:

По окончании расчета производится сортировка полученных решений в зависимости от значений управляющих деформаций, после чего строятся диаграммы зависимостей N−MY и поверхности соответствующих им геометрических характеристик сечения. Полученные результаты распределяют на пять групп в зависимости от значений управляющих деформаций:

1:управляющие деформации находятся в границах εТ1,2 [0; εb1], между которыми

σ= εE;

2:εТ1,2 [εs0; εb1], относительные деформации в растянутой арматуре находятся в границах упругого состояния, образование трещин в растянутой части железобетонного сечения;

3:εТ1,2 [εs0; εb0], пластические деформации в сжатой зоне железобетонного сечения;

4:εТ1,2 [εs0; εb2], пластическое течение в сжатой зоне железобетонного сечения, относительные деформации в растянутой арматуре находятся в границах упругого состояния;

5:относительные деформации εТ1,2 находятся в границах несущей способности сечения εТ1,2 [εs2; εb2], нелинейная работа железобетонного сечения, образование трещин.

Диаграммы, изображающие границы указанных выше групп результатов расчета, показаны на рис. 3 и 4 на примере сечения диаметром 60 см с армированием 16Ø18А400.

Использование деформационной модели позволяет скорректировать расчет раскрытия трещин железобетонных конструкций с обычным армированием по формулам п. 8.2.15

СП 63.13330.2012 и п. 7.105 СП 35.13330.2011. Соотношение σs /Es, выражающее в этих фор-

112

мулах относительную деформацию растянутой арматуры, следует заменить на εs по приведенному выше выражению (3).

2.1. Пример. На рис. 3а показано поперечное сечение железобетонной сваи диаметром d = 60 см с армированием 16Ø18А400 (общая площадь армирования Atot = 40,6 см2). Расчетные характеристики бетона (класс В30): Eb = 32500 МПа, Rb = 15,5 МПа, арматуры:

Es = 200000 МПа, Rs = 350 МПа.

На рис. 3б показаны диаграммы соотношений моментов МY и продольных сил N в зависимости от значений управляющих деформаций. На рис. 4 представлены области значений

Ared = f1(MY, N), IYred = f2(MY, N).

Рис. 3. Поперечное сечение железобетонной сваи (а); пограничные диаграммы зависимостей N−MY (б):

1 — εT1,2 [0; εb1]; 2 — εT1,2 [εs0; εb1]; 3 — εT1,2 [εs0; εb0]; 4 — εT1,2 [εs0; εb2]; 5 — εT1,2 [εs2; εb2];

диаграммы зависимостей IYred – MY (в) при: 6 — N = 800 кН;

7 — N = 1200 кН

На рис. 5а показана расчетная схема железобетонной сваи, заделанной на части длины в основание из полутвердого суглинка. К верхнему концу сваи приложена горизонтальная сила Н = 25 кН, а вертикальная нагрузка прикладывалась в двух вариантах: Р = 800 кН и Р = 1200 кН. Описание силового взаимодействия сваи с грунтом основания принято в соответствии с прил. В СП 24.13330.2011 по расчетной модели метода местных упругих деформаций с коэффициентом постели, распределенным по уравнению Cz = Kz/γcz, где K = 16500 кН/м4 — коэффициент пропорциональности по табл. В.1; γcz = 3 — коэффициент условий работы; Z — вертикальная координата, отсчитываемая от поверхности основания.

Сопротивление грунта горизонтальным перемещениям сваи учтено путем замены треугольной эпюры коэффициента постели дискретными пружинами [12] с шагом t = 0,5 м. Жесткость пружин Вz = Czbzt, где bz = 1,5d+0,5 м = 1,4 м — ширина условной плоской стенки, заменяющей сваю, учитывающая пространственные условия решаемой контактной задачи.

Обычный расчет сваи с постоянным (начальным) моментом инерции сечения IYred = 0,00701 м4 (диаграмма 4 на рис. 5а), зависящий только от горизонтальной нагрузки, выполнен один раз, так как в этом случае вертикальная сила не влияет на распределение усилий и горизонтальные перемещения.

113

Научный журнал строительства и архитектуры

Рис. 4. Области размеров геометрических характеристик железобетонного сечения

Ared = f1(MY, N) (а); IYred = f2(MY, N) (б): 1 — Ared = 0,179 м2, IYred = 2,16·10−3 м4 при N = 800 кН, MY = 155,4 кН·м; 2 — Ared = 0,241 м2, IYred = 3,67·10−3 м4 при N = 1200 кН, MY = 156,9 кН·м

Рис. 5. Схема и результаты деформационного расчета железобетонной сваи: а) сечение сваи и основания; б) расчетная схема железобетонной сваи;

в) результаты расчета; 1 — железобетонная свая; 2 — основание из полутвердого суглинка;

3 — распределение коэффициента постели Сz = Kz/γcz,; 4, 5, 6 — эпюры распределения изгибной жесткости ЕbIYred сечений железобетонной сваи для трех вариантов расчета; 7, 8, 9 — эпюры МY изгибающих моментов; 10, 11, 12 — эпюры горизонтальных перемещений для трех вариантов расчета:

ЕbIYred = const (обычный расчет сваи), ЕbIYred, МY, при N = 800 кН, N = 1200 кН;

1 , 2 , i , i 1 — номера конечных элементов.

114

Результаты расчета (эпюры моментов 7 и горизонтальных перемещений 10) показаны на рис. 5в. Там же показаны результаты деформационного расчета при двух значениях Р = 800 и 1200 кН: распределения IYred (5, 6), моментов (8, 9) и горизонтальных переме-

щений (11, 12).

Так как заделанная в основание часть сваи является статически неопределимой, деформационные расчеты потребовалось выполнить по нелинейной процедуре, учитывая два вида физической нелинейности:

деформирование сечений сваи в соответствии с диаграммами на рис. 1 и уравнениями (1), (2) состояния бетона и арматуры;

перераспределение усилий в условных пружинах, моделирующих сопротивление грунта горизонтальным перемещениям сваи.

Результаты расчетов по более строгой деформационной модели в соответствии с СП 63.13330.2012 показывают незначительное изменение распределения изгибающих моментов и существенное увеличение горизонтальных перемещений свай по сравнению с обычным расчетом при постоянной (начальной) изгибной жесткости сечений сваи.

Расчет раскрытия трещин в сечении сваи с наибольшим изгибающим моментом М = 155,4 кНм при N = Р = 800 кН выполнен по формулам п. 8.2.15 СП 63.13330.2012 c заменой соотношения σs /Es в формуле 8.128 на εs = εT1–(as / h)(εT1–εT2). Получено εT1 = 0,00037, εT2 = –0,00031, εs = 0,00031, acr = 0,0023 см.

3. Косое внецентренное сжатие (общий случай). Под косым внецентренным сжатием понимается сжатие с эксцентриситетами относительно обеих главных осей инерции OY и OZ

(рис. 6).

Рис. 6. Расчетная схема нормального сечения железобетонного элемента при косом внецентренном сжатии

Железобетонное сечение, помещенное в систему координат YOZ, разбивается на элементарные площадки dy×dz.

В качестве независимых переменных принимаются значения управляющих деформаций εТ1, εТ2, εТ3 трех точек 1, 2, 3 с координатами y1, z1; y2, z2; y3, z3 (рис. 6). Перебор значений εТ1, εТ2, εТ3 производится с заданным шагом dε в интервале от εb2 до εs2.

На каждом шаге перебора по трем точкам производится построение плоскости относительных деформаций точек сечения. В центрах элементарных площадок фиксируются значения относительных деформаций ε, определяемых как неизвестные в уравнении, приведенном к матричной форме:

115

Научный журнал строительства и архитектуры

Для каждой из множества плоскостей относительных деформаций ε = f (y, z) при помощи диаграмм на рис. 1 и соотношений (1), (2) строится поверхность напряжений σb, σs, σsc. После сортировки полученных данных строятся диаграммы зависимостей N−MY−MZ.

В зависимости от управляющих деформаций описываются поля сочетаний N−MY−MZ. Для каждого такого сочетания может быть определено положение нейтральной оси и построены эпюры и поля напряжений в сжатой части сечения, растянутой и сжатой арматуре.

3.1. Пример. На рис. 7—10 показаны прямоугольное сечение с размерами 40×60 см железобетонной стойки (бетон класса В30), схема армирования, диаграммы зависимостей N−MY (MZ = 0), MY−MZ (при N = 1000 кН), области геометрических характеристик Ared, IYred, IZred по результатам расчета в общем случае внецентренного сжатия.

Рис. 7. Поперечное сечение железобетонной стойки (а)

и диаграммы предельных соотношений

N−MY (MZ = 0) (б), MY –MZ при N = 1000 кН (в): 1 — εT1,2 [0; εb1]; 2 — εT1,2 [εs0; εb1];

3 — εT1,2 [εs0; εb0];

4 — εT1,2 [εs0; εb2]; 5 — εT1,2 [εs2; εb2]

Рис. 8. Области размеров геометрических характеристик железобетонного сечения при MZ = 0:

а) Ared = f1(MY, N); б) IYred = f2(MY, N)

116

Рис. 9. Области размеров геометрических характеристик железобетонного сечения при N = 1000 кН:

а) IYred = f2(My, Mz, N); б) IZred = f3(My, Mz, N); 1 — N = 1000 кН, My = Mz = 125 кН м

Рис. 10. Эпюра напряжений и положение нейтральной линии в железобетонном сечении при N = 1000 кН;

MY = MZ = 125 кН м;

εT1 = 0,000175; εT2 = –0,0012; εT3 = –0,000286; acr = 0,011 см

4. Программное обеспечение деформационного расчета железобетонных свай и стоек разработано по версии плоского внецентренно сжатия, которая представлена ниже, и по версии косого внецентренного сжатия, описание которой выходит за пределы настоящей статьи. Расчет включает две последовательно работающих программы.

В первой программе происходит считывание и обработка исходных данных деформационного расчета, создание полей приведенных характеристик сечений железобетонного элемента Ared = f1(MY, N), IYred = f2(MY, N) в соответствии с формулами (7), (9) и вывод полученных зависимостей.

Во второй программе выполняется плоский деформационный расчет внецентренно сжатых стержней методом конечных элементов (МКЭ). Исходные данные, необходимые для решения задачи МКЭ, содержат следующую информацию:

номера конечных элементов (КЭ) с номерами узлов в начале и конце КЭ;

начальные жесткостные характеристики КЭ;

номера и координаты узлов;

граничные условия для расчетной схемы;

нагрузки на узлы и элементы;

диаграммы зависимостей N−MY области соответствующих им приведенных геометрических характеристик сечения Ared, IYred.

Расчетная схема представляет собой плоскую конечно-элементную систему, состоящую из стержневых конечных элементов, моделирующих сваи или стойки, и (для свай) дискретных «стержней-пружин», моделирующих силовой отпор грунта горизонтальным перемещениям сваи.

117

Научный журнал строительства и архитектуры

Деформационный расчет статически неопределимых систем производят методом последовательных приближений с использованием переменных параметров упругости КЭ [3]. В первом приближении решается обычная линейно-упругая задача, определяются вектор узловых перемещений конструкции в общей системе координат (ОСК) {Z0} и вектор внутренних узловых сил КЭ в МСК {Sr}. По величине максимальных усилий в конечных элементах N, MY вычисляют приведенные жесткостные характеристики элементов Ared, i, IYred, i, где i — номер КЭ, после чего вычисляют «приведенные» матрицы жесткости КЭ в МСК [Kri, j], где j — порядковый номер ступени итерации. Процесс повторяется до тех пор, пока не будет достигнута принятая точность сходимости приближений согласно выражению

j

где j — максимальные узловые перемещения в конструкции на j-м приближении. Блок-схема деформационного расчета представлена на рис. 11.

Рис. 11. Блок-схема алгоритма деформационного расчета внецентренно сжатых стержней.

Выводы

1.Разработан инженерный метод (алгоритм и программа) нелинейного деформационного расчета по модели, принятой в нормах СП 63.13330.2012, плоско и косо внецентренно сжатых железобетонных конструкций с обычным армированием (стоек, свай). Алгоритм расчета не содержит упрощений, снижающих теоретическую строгость, кроме допущений, принятых в расчетной модели: гипотезы плоских сечений, трех- и двухлинейной диаграммы состояния бетона и арматуры в соответствии с рис. 1 и соотношениями (1), (2).

2.Вычислительная основа метода расчета построена на решении обратной задачи, в которой напряжения определяются по заданным (управляющим) деформациям двух краевых точек в случае плоского и трех точек в общем случае внецентренного сжатия. Особенностью разработанного метода является получение и последующее использование в расчете переменных приведенных геометрических характеристик сечения (площади и момента инерции)

взависимости от внешних осевой силы и изгибающего момента.

3.Использование нелинейной деформационной модели ведет к существенному изменению (в сторону увеличения) расчетных поперечных перемещений внецентренно сжатых железобетонных элементов и перераспределению усилий в статически неопределимых системах.

118

Библиографический список

1.Аксенов, В. Н. К расчету колонн из высокопрочного бетона по недеформированной схеме / В. Н. Аксенов // Бетон и железобетон. — 2009. — № 1. — С. 24—26.

2.Байков, В. Н. Построение зависимости между напряжениями и деформациями сжатого бетона по системе нормируемых показателей / В. Н. Байков, С. В. Горбатов, З. А. Димитров // Известия вузов. Строительство и архитектура. — 1977. — № 616. — С. 15—18.

3.Биргер, И. А. Сопротивление материалов / И. А. Биргер, Р. Р. Мавлютов. — М.: Наука, гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 560 с.

5.Горбатов, С. В. Расчет прочности внецентренно сжатых железобетонных элементов прямоугольного сечения на основе нелинейной деформационной модели / С. В. Горбатов, С. Г. Смирнов // Вестник МГСУ. — 2011. — № 2. — С. 72—76.

6.Карпенко, Н. И. К расчетупрочности нормальных сечений изгибаемых элементов / Н. И. Карпенко, Т. А. Мухамедиев // Бетон и железобетон. — 1983. — № 4. — С. 11.

7.Катембо, А. Л. Расчет несущей способности внецентренно сжатого стержня из железобетона с использованием деформационной модели / А. Л. Катембо, В. С. Сафронов // Строительная механика и конструкции. — 2016. — № 1 (12). — С. 64—74.

8.Маилян, Д. Р. К методике расчета железобетонных внецентренно сжатых колонн [Электронный ресурс] / Д. Р. Маилян, В. А. Мурадян // Инженерный вестник Дона. — 2012. — № 4. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n4p2y2012/1333.

9. Маилян, Д. Р. Расчет двухслойных предварительно напряженных железобетонных панелей / Д. Р. Маилян, Р. А. Хунагов // Вестник Майкопского государственного технического университета. — 2011. —

№4. — С. 22—27.

10.Мурадян, В. А. Степень реализации диаграммы деформирования бетона во внецентренно сжатых стойках [Электронный ресурс] / В. А. Мурадян // Инженерный вестник Дона. — 2013. — № 3. — Режим доступа: http://www.ivdon.ru/magazine/archive/n3y2013/1847.

11.Улупов, А. С. Проблемы расчета железобетонных элементов мостов / А. С. Улупов // Институт Гипростроймост. — 2008. — № 26. — С. 56—68.

12.Шапиро, Д. М. Теория и расчетные модели оснований и объектов геотехники / Д. М. Шапиро. — М.: АСВ, 2016. — 180 с.

13.Шапиро, Д. М. Деформационный нелинейный расчет изгибаемых железобетонных балок в составе плитно-ребристых систем / Д. М. Шапиро, А. П. Тютин // Бетон и железобетон. — 2011. — № 6. — С. 19—23.

14.Шапиро, Д. М. Нелинейный деформационный пространственный расчет железобетонных пролетных строений автодорожных мостов / Д. М. Шапиро, А. П. Тютин // Строительная механика и конструкции. — 2013. — № 1 (5). — С. 102—108.

15.Шапиро, Д. М. Нелинейный пространственный расчет изгибаемых плитно-балочных систем из железобетонных балок со смешанным армированием / Д. М. Шапиро, А. П. Тютин // Бетон и железобетон. — 2014. — № 6. — С. 12—17.

16.Шапиро, Д. М. Расчет и проектирование балочных железобетонных предварительно напряженных пролетных строений автодорожных мостов / Д. М. Шапиро, А. П. Тютин // Строительная механика и конструкции. — 2012. — № 2 (5). — С. 60—68.

17.Бамбура, А. М. Визначення стійкості залізобетонних гнучких позацентрово стиснутих елементів за спрощеною методикою / А. М. Бамбура, В. В. Гічко // Будівельні конструкції: міжвідомчий наук.-тех. зб. — 2013. — № 78, кн. 2. — С. 64—71.

18.Гічко, В. В. Несуча здатність гнучких позацентрово стиснутих стійок деформаційним методом / В. В. Гічко // Будівельні конструкції: міжвідомчий наук.-тех. зб. — 2011. — № 74, кн. 1. — С. 623—628.

19. Mkrtchyan, A. M. Experimental study of reinforced concrete columns of high-strength concrete / A. M. Mkrtchyan, D. R. Mailyan, V. N. Aksenov // Applied Sciences and technologies in the United States and Europe: common challenges and scientific findings: Papers of the 2nd International Scientific Conference, September 9—10, 2013. — New York, USA: Cibunet Publishing, 2013. — P. 130—134.

20. Mkrtchyan, A. M. Experimental study of the structural properties of high-strength concrete / A. M. Mkrtchyan, D. R. Mailyan, V. N. Aksenov // European Applied Sciences: modern approaches in scientific researches: Papers of the 5th International Scientific Conference, August 26—27, 2013. — Stuttgart, Germany, 2013. —

P.81—87.

21.Sheikh, S. A. Analytic Model for Concrete Confinement in Tied Columns / S. A. Sheikh, S. M. Uzumcri // Journal of the Structural Division. ASCE. — 1982. — Vol. 108, № 12. — P. 2703—2722.

119

Научный журнал строительства и архитектуры

DEFORMATION NON-LINEAR CALCUALTION

OF NON-CENTRAL COMPRESSED FERROCONCRETE STRUCTURES

D. M. Shapiro1, A. A. Tarasov2

Voronezh State Technical University1

Russia, Voronezh

Ltd. «Mostdorproyekt»2

Russia, Voronezh

1D. Sc. in Engineering, Prof. of the Dept. of Construction Mechanics, tel.: +7-910-344-73-34, e-mail: davshap@mail.ru

2Leading engineer

Statement of the problem. There are currently no studies into the issue where practical tasks are applied to practice and the influence of a deformation model on the results of calculations of non-central compressed ferroconcrete structures is shown.

Results. A description is provided of an algorithm and software of a non-linear deformation calculation of flat and skew non-central compressed ferroconcrete structures with the use of a calculation model accepted in the Health and Safety Regulations (СБ) 63.13330.2012. A feature of a developed calculation method is obtaining and then using the variable specified geometric characteristics of a section (area and moment of inertia) depending on an external axial force and bending moment. There are examples of calculations using a deformation model of non-central compressed ferroconcrete piles and posts showing the differences between the results and ways of testing for strength and crack-opening compared to traditional methods.

Conclusions. The algorithms and the software set forth in the article allow technical capacities of a progressive theoretically rigid non-linear deformation model of non-central compressed ferroconcrete elements to be implemented.

Keywords: ferroconcrete structures, non-central compression, deformation model.

120