Методическое пособие 792

ВЫПУСК № 2 (10), 2017

ISSN 2307-177X

общей цели и ее наличие не в коей мере не

Xs = [xij(tk)]N n ,

(1)

является признаком того, что члены группы

не могут конфликтовать по поводу своих по-

позволяющей провести статистический ана-

лезностей. Они могут находиться во взаимо-

лиз

взаимодействий

членов

социальной

отношениях содействия, безразличия или

группы с точки зрения отношений >I, Ic ,

независимости между собой в процессе до-

Iн , используя в качестве критерия наличия

стижения общей цели, а возникающие при

рассматриваемых

отношений

выборочный

этом конфликты, нарушают системное един-

коэффициент корреляции rx i x j

для Xi , Xj

ство в группе.

Xs: rx i x j < 0

Si >I Sj, rx i x j

> 0, Si

c Sj

Предположим, что действия каждого

I

члена направлены

таким

образом, чтобы

, rx

= 0 Si

i

x

j

Iн Sj [3].

максимизировать свою полезность (Xi(t)

Использование

коэффициентов

max) в ограничениях, определяемых рамка-

корреляции

при

анализе

стохастической

ми социальной системы S. Тогда в каждый

системы S

позволяет

с

помощью

метода

момент в соответствии с введенными в [2]

корреляционных

плеяд

выделить

из

S

определениями, можно говорить:

подгруппы людей (назовем их

ядрами )

в

Si >I Sj (Si

конфликтует с Sj ) на Di Dj ,

соответствии

с

рассматриваемыми

если влияние Si

на Sj таково, что с возраста-

отношениями, а именно:

нием функции Xi (t) функция Xj(t) убывает (

1)

корреляционные

плеяды,

в

которых

положительное, с точки зрения своей функ-

связи между

членами

социальной

группы

ции полезности,

действие Si снижает полез-

характеризуются

отрицательными

ность Sj );

коэффициентами корреляции;

содействует Sj ) на Di Dj ,

Si Ic Sj (Si

2)

корреляционные

плеяды,

в

которых

если влияние Si

на Sj таково, что с возраста-

связи между

членами

социальной

группы

нием

функции Xi

(t)

функция Xj(t) также

характеризуются

положительными

возрастает (положительное,

с точки зрения

коэффициентами корреляции;

своей функции полезности,

действие Si по-

3)

подгруппу

членов,

в

которой

вышает полезность Sj );

наблюдается

независимость

случайных

Si Iн Sj ( отношение безразличия или

величин Xi .

независимости ) на Di Dj , если влияние Si

Понятно, что такие построения по

на Sj

таково, что с возрастанием функции Xi

определению

приводят

к

упрощению

(t)

функция Xj(t)

не изменяется ( положи-

рассматриваемой модели, а именно к

тельное, с точки зрения своей функции по-

симметричности

рассматриваемых

лезности, действие Si

не меняет полезность

отношений, однако позволяют эффективно

Sj );

использовать

для

анализа

корреляционные

Будем считать, что функции Xi(t) мо-

плеяды.

гут быть количественно измерены в каждый

Исследование динамики отношений >I,

момент времени t

и СП функционирует в

Ic ,

Iн представляет собой один из этапов

условиях действия на нее случайного поля.

анализа функционирования системы S, кото-

Это приводит к тому, что в интервале време-

рый заключается в сравнении состояний этих

t T необходимо

ни

рассматривать вектор

отношений для различных серий реализаций

случайных функций Xs(t) = (X1(t), X2 (t),…,

функционирования S.

XN(t)), каждая из которых в фиксированный

Для этих целей на множестве случай-

момент времени t = tk

образует так называе-

ных параметров (величин) Xs , а следова-

мое сечение xi1(tk), xi2(tk),…, xin(tk).

тельно и S, t T введем: (t) = ( I, t) -

Это приводит к тому, что действие СП

ядро конфликта; с(t)

= с ( Ic , t) - ядро со-

в целом характеризуется матрицей наблюде-

гласия; н(t) = н ( Iн , t) - ядро безразличия; |

ний

(t)| , | с(t)| , | н(t)| -

мощности ядер соот-

k

ветственно конфликта, согласия и безразли-

тающем конфликте, если для него i (t 2 ) >

i

чия (число ребер exy(t), (x, y Xs) плеяд, для

k

k

k

которых в момент времени

t соответственно

σi (t1 )

и ( или ) | i (t 2 ) > i (t1) (для этого

i

i

i

rxy(t) < 0,

> 0, = 0.).

класса

характерно

увеличение

количества

Эти

обозначения позволяют провести

связей в ядрах между конфликтующими па-

некоторую условную классификацию рас-

раметрами от одной серии реализаций про-

сматриваемых отношений. Не теряя общно-

цесса к другой, увеличение количества ядер

сти, приведем ее для отношения конфликта

конфликта, усиление связей между конфлик-

>I , первоначально предполагая существова-

тующими параметрами).

ние на Xs одного ядра (t).

Наибольший интерес и одновременно

Будем считать, что для t1 и t2 , (t2 > t1, t1,

сложность при анализе вызывает та ситуа-

t2 T) конфликт является усиливающимся,

ция, когда одновременно могут исчезать од-

если конфликт образуют те же самые ребра

ни связи между конфликтующими парамет-

плеяды, | (t)| = const и (t2) = |rxy(t2)| >

рами в ядрах и появляться другие, исчезать

|rxy(t1)| = (t1) по всем exy(t), для которых rxy(t)

одни ядра конфликта, образовываться новые,

< 0; ослабевающим, если конфликт образуют

ослабевать одни связи и усиливаться другие.

те же самые ребра плеяды,

| (t)| =

const и

Нередки также случаи, когда конфликт пол-

(t2) =|

rxy(t2)| < | rxy(t1)|

= (t1)

по всем

ностью исчезает или образуется новый.

exy(t), для которых rxy(t) < 0; не изменяющим-

Понятно, что в процессе функциониро-

вания системы рассматриваемые классы от-

ся, если конфликт образуют те же самые ре-

ношений могут присутствовать одновремен-

бра плеяды, | (t)| = const

и (t2) =| rxy(t2)| =

| rxy(t1)|

= (t1) по всем exy(t), для которых

но для каждого отдельного ядра. Аналогич-

ную классификацию можно привести и для

rxy(t) < 0;

более мощным, если | (t2)| > |

отношений Ic и Iн .

В последнем случае

(t1)|; менее мощным, если | (t2)| <

| (t1)|;

не характерны классы усиления и ослабле-

исчезающим, если 0 = | (t2)| < | (t1)|; возни-

ния, так как здесь rxy(t) = 0.

кающим,

если | (t2)| > | (t1)| = 0.

Изучение выше описанных возможных

Если же на X существуют несколько

классов

состояний

конфликта,

согласия и

ядер конфликта 1(t) ,

2(t) ,…, k(t):

безразличия в процессе функционирования

1(t) 2(t) … k(t) = - то имеем не

стохастической системы S целесообразно с

связный конфликт, 1(t)

2(t) … k(t)

целью :

- то имеем связный конфликт, 1(t)

- определения социальных причин разви-

2(t) … k(t) = (t) – совпадающий кон-

тия рассматриваемых отношений (конфлик-

фликт.

та) в ту или иную сторону;

В целом для t1 и t2 , (t2 > t1, t1, t2 T)

- прогнозирования тенденций изменения

будем говорить: о затухающем конфликте,

рассматриваемых отношений (конфликта);

k

k

- определения комплекса мер по воздей-

если для

него i (t 2 )

<

σi (t1 ) и

(

или )

ствию на процесс для направления развития

i

i

k

k

конфликта в нужную сторону.

| i (t 2 ) < i (t1) (для

этого класса

харак-

Сравнительный

анализ

отношений

i

i

терно уменьшение количества связей в ядрах

предполагает как

качественное

сравнение

между конфликтующими членами СП от од-

классов состояний в различных сериях реа-

ной серии реализации

функционирования

лизаций функционирования S, проиллю-

системы к другой, уменьшение количества

стрированное выше, так и количественное.

ядер конфликта, ослабление связей между

Усиление или ослабление связей между

конфликтующими параметрами); о

возрас-

конфликтующими параметрами можно оце-

нить численно сравнивая ядра

конфликта,

ВЫПУСК № 2 (10), 2017

ISSN 2307-177X

полученные в различных сериях реализаций

многомерного

статистического анализа на

процесса. Говоря о численном сравнении

эквивалентность ядер конфликта можно оце-

ядер конфликта, будем подразумевать срав-

нить значимое

расхождения оценок векто-

нение оценок ядер, полученных в различных

ров средних и оценок ковариационных мат-

сериях реализаций S.

риц. При этом правильнее говорить не о эк-

Сравнивая ядра конфликта в сечениях t

вивалентности, а о квазиэквивалентности.

= tk и t = tl можно говорить об их эквива-

Если производится анализ квазиэкви-

лентности или неэквивалентности в широ-

валентности относительно векторов средних

ком и узком смыслах. Поскольку ядра опре-

при условии, что ковариационные матрицы

деляют статистические ряды (выборки), то

исследуемых сечений равны, но неизвестны,

их сравнение можно провести статистиче-

можно использовать Т2- критерий

Хотел-

скими методами также как это предлагается

линга , так как в нем используются обоб-

в [4].

щенные оценки структуры связей. Вычисля-

Для этих целей по множеству Xs

в со-

ется статистика

ответствии с ядрами (tk) и

(tl) формиру-

T2 =

n1n2

(Mx(tk) - Mx(tl)) S-1(Mx(tk) -

ется статистика в

виде матриц X( (tk)) =

n1 n2

X(tk) = [xij(tk)] размерностью m1 n1 и

X(

(2)

(tl)) = X(tl) = [xij(tl)]

размерностью

m2

n2 ,

- Mx(tl))T,

где mk и ml число случайных функций,

1

( X k X kT + Xl XlT ) - обоб-

участвующих в формировании ядра в сече-

где S =

ниях t = tk и t = tl, а n1 и n2 – объемы соответ-

n1 n2 2

щенная

ковариационная

матрица;

Xk =

ствующих выборок.

В рамках статистического анализа эк-

=[xij(tk)

- x(tk)], i= 1, m ,

j= 1, n1 - матрица

вивалентности в узком смысле предлагается

наблюдений при t = tk в форме отклонений

рассмотреть совокупности оценок математи-

размерностью

m n1; Xl

= [xij(tl) - x(tl)], i=

ческих ожиданий

Mx(t)

= {x1(t),

x 2(t),..., x

1, m , j=1, n 2 - матрица наблюдений при t = tl в

m(t)}и оценок корреляционных матриц K(t) =

форме отклонений размерностью m n2;

[Kij ], i= 1,m ; j=1, m , элементами которых в

Гипотеза

о квазиэвивалентности ядер

общем случае являются взаимные корреля-

(tk)

и (tl)

относительно вектора средних

ционные функции Kij = Kij(tk,tl). Очевидно,

(вектора математических ожиданий ) прини-

что Kij(tk,tl) = Ki(tk,tl) и при k = l Kij(tk,tl) = Kij

мается, если

- оценки

корреляционных

моментов слу-

(n1 n2 2)m

чайных величин Хi

и Хj

в сечении t = tk.

T2 < F( α )

,

(3)

Не теряя общности, здесь и далее пред-

n1 n2 m 1

полагается m1 = m2 = m, что в общем случае

где F( α ) ищется по таблице распределения

не оказывает влияние на дальнейшие рас-

Фишера (F- распределение) с ν 1 = m

и ν 2 =

суждения.

= (n1 + n2 – m - 1) степенями свободы и уров-

С точки зрения установления силы свя-

нем значимости α .

зей между случайными

функциями в раз-

Критерий Т2 целесообразно также при-

личных сечениях представление дают мат-

менять в тех случаях, если предполагается,

рицы оценок коэффициентов корреляции

что корреляционные связи в исследуемых

сечениях различаются несущественно (K(tk)

r = [rij], i=1, m , j=1, m ,

K(tl)). В случае, когда различия корреляци-

где в общем случае rij =

rij(tk,tl);

rij(tk,tl) =

онных матриц существенны и n1 = n2= n, то

ri(tk,tl) и при k = l rij(tk,tl) = rij -

оценка коэф-

проверку гипотезы о равенстве векторов

фициента

корреляции между случайными

средних также можно провести по Т2-

функциями Хi и Хj.

критерию. При этом формула (2) будет отли-

Применяя теперь процедуры проверки

чаться

лишь

сомножителем:

вместо

n1n2/(n1+n2) будет n, а число степеней свобо-

V=

A1

(n1 1) / 2

A2

(n2 1) / 2

.

(4)

(n1 n2 2) / 2

A1 A2 (n1n2 /(n1 n2))(Mx(tk) Mx(tl))(Mx(tk) Mx(tl)) T

При больших объемах выборок n1

и n2

величина

( - 2ρ lnW )

аппроксимируется рас-

пределением 2 с числом степеней свободы =m(m+3)/2, где

(n1 n2 2)m(n1 n2 2) / 2

W =

V и

(n1 1)m(n1 1) / 2 (n2 1)m(n2 1) / 2

ρ 1 [

1

1

1

]

2m2 3m 1

m

.

1

n2 1

n1 n

6(m 3)

(n1 n2 2)(m 3)

n1

2 2

ВЫПУСК № 2 (10), 2017

ISSN 2307-177X

Тогда,

если ( - 2 lnW) < 2

таб( α, ν ), то

) ( α - уровень значимости), то различие оце-

гипотеза принимается, ядра конфликта при-

нок считается статистически незначимым, а

знаются

квазиэквивалентными

одновремен-

ядро конфликта

- квазиэквивалентным от-

но относительно векторов средних и кова-

носительно среднего. В

случае значимого

риационных матриц.

различия оценок

средних

за меру степени

В противном случае следует предпола-

неэквивалентности принимается величина δ

гать отсутствие эквивалентности ядер и в

x = |[x(tk)- x (tl)]/max{ x(tk), x(tl)}|.

качестве меры

расхождения

относительно

Для сравнения оценок дисперсий пред-

средних

можно

предложить

лагается использовать F-критерий (Фишера):

F = σ 2x(tk)/ σ 2x(tl) c ν1 = n1-1 и ν2 = n2-1

δMx

m

(tk) xj

(tl)]2

j -

ωj [xj

,

где

степенями свободы. Если F < Fкр = Fтаб( α , ν1 ,

j 1

ν2 ), то дисперсии считаются равными, и яд-

нормирующий множитель.

ро (t)

признается квазиэквивалентным от-

В общем случае в качестве меры рас-

носительно дисперсии.

хождения двух

ядер

можно

использовать

Так же как и для среднего, в качестве

расстояние Махаланобиса [29]

d

2

= ( Mx(tk) -

меры отклонения в этом случае можно ис-

Mx(tl)) S

-1

T

( Mx(tk) - Mx(tl)) .

пользовать величину

Если проверка на квазиэквивалент-

δσ2 x

|[ σ 2x(tk)

- σ 2x(tl)]/

max{ σ 2x(tk), σ

ность приводит к отрицательному результа-

=

ту, то естественно попытаться выявить при-

2x(tl)}|.

чины такой ситуации ( провести анализ ква-

Статистически значимое различие двух

зиэквивалентности в широком смысле ). Для

оценок

нормированной

корреляционной

этих целей можно предложить провести ана-

функции или нормированной взаимной кор-

логичные статистические проверки для каж-

реляционной функции (коэффициентов rx( τ )

дой из случайных функций, формирующих

и rxy( τ )) при заданном наиболее эффек-

ядро конфликта, проводя попарно их сравне-

тивно проверяется при помощи z - преобра-

ние в рассматриваемых сечениях.

зования Фишера. Для этого вычисляется ста-

Установление существенного различия

тистика

двух средних (оценок математических ожи-

T = ( z1 - z2 ) / Q,

(7)

даний) может быть выполнено при помощи

z1 ={ ln(1+rxy(tk, tk+ ))/(1- rxy(tk,tk+ τ )))}/

t-критерия (критерия Стьюдента) .

где

Если дисперсии в сечениях равны, то

2, z2

= {ln(1+rxy(tl,tl+ τ )) /

(1-rxy(tl,tl+ τ )))}/ 2,

вычисляется статистика

Q 2 = (n1 - 3)-1 + (n2 - 3)-1, k, l ( k l) - номера

[x(tk)] x(tl)](n1 n2 2)1/ 2

сечений при t = tk и t = tl.

t =

(5)

В случае |Т| < Tкр = Tтаб( α ), где Tтаб( α )

(1/ n1 1/ n2)[(n1 1)σ2 x(tk) (n2 1)σ2 x(tl)]2

ищется по таблице стандартного нормально-

с числом степеней свободы ν = n1+n2-2.

го распределения в зависимости от уровня

значимости , различие оценок коэффици-

Если дисперсии

не

равны,

то

можно

ентов корреляции считается незначимым. В

использовать статистику

противоположном случае

rxy(tk,tk+ τ )

x(tk) x(tl)

t =

.

(6)

rxy(tl,tl+ τ ), и мерой расхождения относитель-

(σ 2 x(tk) / n1 σ

2 x(tl) / n2)1/ 2

но нормированной взаимной корреляцион-

При этом число степеней свободы ν -

ной функции может служить величина δ rxy =

|rxy(tk,tk+ τ )- rxy(tk,tk+ τ )|.

наибольшее

число,

не

превосходящее

Аналогичные рассуждения можно про-

(n1 1)(n2 1)[(σ2 x(tk) / n1 σ2 x(tl) / n2)]2

.

вести и

по отношению

к

нормированной

(n1 1)σ2 x(tk) / n1 (n2 1)σ2 x(tl) / n2

корреляционной функции rx( τ ), вычислив

Если в обоих случаях |t| < tкр= tтаб ( α , ν

для нее статистику в виде (7) .

высокое разрешение для

разделения отра-

ES

S Ei .

(2)

женных сигналов от близко работающих по-

движных машин [3,4], а также значительно

При переходе из поляризационного ба-

снизить энергетические затраты, то есть, в

] в другой произвольный поляри-

конечном итоге повысить охват (дальность)

зиса [e1, e2

эффективного управления группой мобиль-

] матрица – столбец

зационный базис [e1

, e2

ных объектов [5,6].

облучающей волны

Ei

подвергается транс-

При решении многих задач строитель-

формации в соответствии с выражением

ства, землеустройства, лесного и сельского

Ei Q Ei ,

хозяйства возникает достаточно проблем,

(3)

связанных с необходимостью

оптимизации

где Q – унитарная матрица преобразова-

управления машинами [7,8].

Существенная

ния базиса, такая что

роль в решении этих проблем может быть

отведена использованию двумерных сигна-

~*

Q

I ,

(4)

лов, обладающих весьма большими инфор-

Q

мационными возможностями по сравнению с

I

1

0

линейно-поляризованными

колебаниями, и

где

– единичная матрица;

1

методов поляризационной

селекции сигна-

0

~ – операция транспонирования;

лов [9,10], обеспечивающих

эффективное

* – комплексное сопряжение.

выделение полезного сигнала на фоне помех

Обратное

преобразование

от

компо-

в виде мешающих отражений. В данной ра-

боте предлагается

использовать простран-

]

к ком-

нент вектора в новом базисе [e1

, e2

ственные эффекты

электромагнитных волн

понентам

в

исходном

базисе

] осу-

[11,12].

[e1,e2

ществляется соответствующими обратными

При приеме волны, отраженной от объ-

матрицами. Для облучающей волны можем

екта радиолокационного наблюдения, про-

записать

исходит потеря части энергии рассеянного

~

поля из-за появления кроссполяризованной

1

Ei Q

Ei Q * E'i ,

(5)

составляющей, что снижает дальность дей-

ствия радиолокационной станции и характе-

а для отраженной волны

ристики обнаружения и идентификации сиг-

(Q*) 1 E'

~

налов от технологических машин.

E

s

s

Q * E'

s

(6)