Методическое пособие 733

Для централизованных систем водоснабжения применяют несколько трубчатых колодцев, объединяя их в группу водосборных сооружений.

Шахтные колодцы применяют для приема неглубоко (не более 20 м) залегающих вод из безнапорных водоносных пластов.

Горизонтальные водосборы сооружаются при малой глубине (до 5÷8 м) залегания водоносного пласта и небольшой его мощности.

Лучевые водоприемники используются для приема как подрусловых вод, так и вод из русла реки (в водонасыщенных грунтах). При этом вода отбирается горизонтальными трубчатыми дренами, присоединенными радиально к шахтному колодцу. Их используют также для забора подземных вод, не питаемых из открытых водоемов, при расположении водоносных пластов на глубине не более 15÷20 м и относительно небольшой мощности пласта [1].

Добыча подземных вод в основном осуществляется с использованием погружных электронасосов. Менее распространенными способами являются фонтанный, эрлифтный, с помощью глубинных штанговых насосов и др.

Отечественной промышленностью освоено производство скважинных центробежных износоустойчивых электронасосов с подачей до 500÷700 м³/ч и рабочим напором до 500÷450 м соответственно.

До начала откачки уровень воды в колодце находится на высоте Н ст . При

откачке уровень воды понижается до значения Н и вода из водоносного пласта начинает поступать через фильтр в полость колодца. Напорная плоскость на входе в погружной насос приобретает форму депрессионной воронки, с минимальным уровнем линии депрессии на оси колодца, соответствующей Нд. Величина H ст – Нд = Sд называется понижением уровня в колодце.

Малые значения Sд характеризуют недостаточное использование водоносного пласта, большие Sд – вызывают увеличение высоты подъема воды и, как следствие, удорожание эксплуатации установки.

Известна формула Дюпюи для условий установившегося движения воды в полости совершенного (одиночного) трубчатого колодца (скважины) в напорном водоносном пласте. Она устанавливает связь между расходом (дебитом) Q, понижением уровня S и радиусом колодца r 0 при известных

значениях коэффициента фильтрации Kф, мощности водоносного пласта m [1]. В случае отбора воды из пласта несколькими буровыми колодцами дебит

каждого из них может изменяться (снижаться) по сравнению с их дебитом при независимом функционировании.

Степень взаимного влияния зависит от расстояния между ними, мощности и водообильности пласта, условий его питания, характера пласта.

Для учета степени взаимного влияния колодцев вводится коэффициент

взаимодействия; Q' – то же при наличии взаимодействия и при том же понижении уровня воды в колодце. При этом можно записать: Q' 1 Q .

11

Формулы для расчета взаимодействующих колодцев могут быть получены из формул для одиночных колодцев методом суперпозиции фильтрационных течений [1].

Возможны две схемы присоединения ВПС к внешней сети трубопроводов: взаимозависимая схема и независимая схема. В первом случае формируется единая сетевая система «гидрогеологическая скважина – погружной насос – внешняя сеть трубопроводов». При этом изменение режима работы одной из составляющих системы влияет на значения параметров другой, поскольку означенная система работает как единая сеть с глубокими внутренними связями.

Зависимая схема присоединения ВПС создает проблему взаимодействия насосов первого подъема с насосными станциями второго подъема, питающими внешнюю сеть, с необходимостью решения ряда теоретических (оптимизационных) задач по повышению эффективности их совместной работы. Возникают также проблемы организации такого рода объединенных систем, обусловленные довольно высоким порядком блочно-матричных построений математических моделей, вопросы сходимости решений и т.д.

Возможность приведения довольно громоздкой системы нелинейных алгебраических уравнений в составе математической модели совмещенной схемы (даже в квазистационарной постановке) к адекватной алгебраической форме типа AQi2 BQi C 0 [12] представляется маловероятной.

Недостатков, присущих зависимой схеме присоединения ВПС к внешней трубопроводной сети, лишена независимая схема. В этой схеме трубопроводная сеть ВПС ограничена со стороны скважин энергоузлами (отождествляемыми с погружными насосами), в которых сформированы определенные формы граничных условий (ГУ) II рода, а со стороны потребителей (насосных станций второго подъема) – узлом РЧВ с определенными формами ГУ I рода [55, 56]. Последнее обусловлено тем, что РЧВ имеет свободную поверхность под давлением окружающей среды, что исключает взаимосвязь режима работы ВПС с режимами эксплуатации системы подачи и распределения воды. Согласно концепции возмущенного состояния [53] такая гидравлическая сетевая система может функционировать как автономный объект, не зависящий от режимов работы внешней сети, запитываемой от насосных станций второго подъема. Резервуар чистой воды в данном случае выступает как демпфирующий элемент между ВПС и внешней сетью трубопроводов, который поглощает любые режимные возмущения, возникающие с обеих сторон. Формализация задачи управления функционированием ВПС существенно упрощается в силу независимости ее сетевой системы от внешней сети.

В данной монографии рассматривается независимая схема присоединения ВПС к внешней сети трубопроводов, оснащенная скважинными центробежными насосами первого подъема. Насосы второго подъема в составе НС забирают воду из РЧВ и подают в распределительную сеть города.

12

Глава 1. МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОТОКОРАСПРЕДЕЛЕНИЯ

В СИСТЕМАХ ПОДАЧИ И РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВОДЫ

1.1.Формирование математических моделей потокораспределения на основе вариационных принципов аналитической механики

Известно [16], что ключевое место в принципе У. Гамильтона - М.В.Остроградского [14, 13, 73, 77] (другие формы вариационных принципов при решении поставленной задачи пока не использовались [48, 54]) играет функция (Н), представляющая собой разность между потенциальной энергией системы (U), зависящей только от координат, и кинетической энергией (Т), являющейся однородной функцией второго порядка от скоростей. Функцию (Н) Г. Гельмгольц называет кинетическим потенциалом [74, 75].

Для обобщения принципа У. Гамильтона – M.B. Остроградского на различного рода немеханические системы Г. Гельмгольц добавляет к кинетическому потенциалу сумму работ внешних сил, действующих на систему, в результате чего расширенный вариационный принцип наименьшего действия можно записать в виде [16]:

где qi ,Pi – i-я обобщенная координата и действующая вдоль нее сила

соответственно.

Расширенные уравнения движения системы, называемые в механике уравнениями Ж. Лагранжа второго рода [59]:

Для гидравлических систем в качестве переменных при описании их движения (состояния) выбирают расходы транспортируемой среды через произвольное сечение трубопровода. Полагая постоянными диаметр трубопровода и плотность среды (условие несжимаемости), расход можно связать со средней скоростью течения по сечению через уравнение неразрывности.Тогда сделанный выбор макроскопических переменных для описания ГС выглядит вполне естественным, поскольку задание движения среды посредством выражения скоростей частиц от времени и координат пространства, по отношению к которому совершается это движение (то есть задание поля скоростей), принадлежит Л. Эйлеру [43].

Заметим, что на данном этапе вводится только один вид ограничений, выражающий условия сплошности, под которым для сетевых систем принято подразумевать первый закон Г. Кирхгофа [62, 76]. Что касается его второго

13

закона, то он является следствием решения вариационной задачи, поскольку не имеет непосредственного отношения к взаимосвязям между выбранными переменными.

Рассмотрим механизм формирования моделей потокораспределения в ГС на основе расширенного вариационного принципа наименьшего действия (1.1). Для этого будем считать, что исследуемый объект представляет собой некоторый фрагмент полной системы, ограниченный узлами, через которые осуществляется обмен транспортируемой средой между ним и метасистемой (энергоузлы).

В структурный состав исследуемого фрагмента входят: источники, потребители (стоки) и участки, стыкующиеся в узлах. Участки состоят из труб (постоянного диаметра), являющиеся кинематическими связями для потока, определяющими его движение. По участкам (вблизи узлов), а также у источников и стоков размещены местные сопротивления (арматура, регуляторы), коэффициенты гидравлических сопротивлений которых могут считаться в общем случае зависящими от времени. На участках могут располагаться также встроенные в них перекачивающие устройства, не имеющие внешних входов и выходов по расходу жидкости. Фрагмент системы ограничен множеством J J P J q J энергоузлов, содержащим

подмножества: J – источников и J P J q J – стоков (потребителей), связанных между собой системой трубопроводов. В состав фрагмента входит также подмножество J энергетически нейтральных узлов ветвления.

Гидравлические параметры: расходы среды на ветвях Q или отборы в узлах q, потенциалы в узлах Н, изменения напора (давления) на ветвях h - условно можно разделить на искомые и заданные. Последние формируют граничные условия, то есть варьируемые входные данные, к которым (в зависимости от типа решаемой задачи) относятся величины притоков и нагрузок, допустимые диапазоны в значениях гидравлических параметров и т. д. Поскольку все элементы сети обладают однозначными h(Q) характеристиками, задание одного из параметров h или Q для всех элементов системы однозначно определяет ее состояние покоя (стационарный режим), а при задании возмущений, то есть изменений тех или иных параметров от времени (например, изменений коэффициента сопротивления дросселя или характеристики регулятора), устанавливает траекторию движения (нестационарный режим). К параметрам системы в общем случае относится и температура, однако здесь она для транспортируемой и окружающей среды пока предполагается везде одинаковой, и, таким образом, течение считается изотермическим.

На поток среды в любом элементе действуют поверхностные силы:

инерционные).

14

Из (1.6) следует, что неопределенные множители суть узловые потенциалы. Кроме того, отдельно взятое в них соотношение есть уравнение И. Бернулли (если пренебречь изменением скорости потока), которое, таким образом, является экстремалью вариационных задач.

Для формирования модели потокораспределения достаточно исключить неопределенные множители λ узлов с нефиксированным потенциалом. Эта процедура формально выражает переход от принятых переменных (скоростей) к псевдопеременным (псевдоскоростям) или к их линейным комбинациям (линейным формам [15]), причем в частных случаях псевдопеременные могут совпадать с исходными переменными. Физической интерпретацией одного из типов псевдопеременных является контурный расход – хорошо известное понятие в моделировании ГС, используемое в методе контурных расходов [48].

В практике проектирования и эксплуатации гидравлических сетей используется два вида исходной узловой информации. Первый - фиксированные узловые отборы (притоки), то есть заданные значения или

нефиксированных, подлежащих определению, узловых потенциалах); второй – фиксированные узловые напоры, то есть заданные значения или известные

Фундаментальное структурное образование сетевого графа – цепь [8, 9, 54–56], определяемая как связная однократная последовательность участков (включая единственный участок), ограниченная узлами с фиксированными напорами. Контур также является цепью с совпадающими граничными узлами. Поскольку цикломатическое число r полностью исчерпывает кольцевую структуру сети, то образование дополнительного (сверх r) контура между цепями или внутри цепи приводит к вырождению цепи, замыкающей контур, как линейнозависимой. Поэтому условием выделения в сетевом графе системы линейнонезависимых цепей (в дальнейшем просто независимых) является исключение образования в их составе любых контуров. Предельное число независимых цепей р в составе сетевого графа определяется из соотношения,

где е – предельное число узлов с фиксированным потенциалом или заданным законом его изменения, именуемых в дальнейшем фиксированными узлами.

При выделении РФС и формировании на ее границах необходимых граничных условий вполне возможно, что не все ее элементы могут быть охвачены контурами, а следовательно, и не все исходные переменные будут фигурировать в псевдопеременных. В этом случае приходится либо при том же типе псевдопеременных образовывать фиктивные контуры (циклические схемы расчета [46]), либо вводить дополнительный тип псевдопеременных, выражающих потоки среды на цепях [54]. Таким образом, возникает второй вид структурного образования – так называемые независимые цепи, образующие между собой цепной подграф.

Объединяя подсистемы контурных и цепных уравнений, а также дополнив их подсистемой уравнений узловых балансов (условий неразрывности), получаем модель неустановившегося потокораспределения:

где γ, ν – число участков в составе цепи φ и контура ξ соответственно; ε – число участков, инцидентных узлу j; нижние индексы N и K относятся соответственно к начальному и конечному (фиксированному) узлу цепи φ. В подсистеме узловых балансовых уравнений если узел j не является энергоузлом, то q j 0 , q j 0 .

Правило присвоения положительных знаков слагаемым (1.8) – (1.10): sgn(Qi ) 1 при соответствии направления течения участкового потока

положительной ориентации по цепи φ (например, от узла N к узлу K); sgn(Qi ) 1 при совпадении направления участкового потока с положительной

ориентацией по контуру ξ; sgn(Qij ) 1 в случае притока участкового потока к

узлу j. Отрицательные знаки присваиваются в противоположных случаях. Балансовые уравнения для фиксированных узлов в модели (1.8) – (1.10)

18

водоснабжения допущением постоянства уровня заливки воды в резервуаре (водонапорной башне).

Модель установившегося потокораспределения может быть получена из (1.11) – (1.13) посредством исключения составляющих, зависящих от времени. и, кроме того, в этом случае отпадает необходимость внешнего итеративного цикла.

Описание режимов работы систем водоснабжения, базирующееся на модели (1.11) – (1.13), отличается от своего аналога (1.14) – (1.16) присутствием в составе цепных и контурных уравнений динамических (инерционных) слагаемых, определенных без учета упругих свойств системы, то есть для "жесткого удара". По рекомендациям [6] упругие свойства системы не оказывают заметного влияния на параметры процесса, при времени его протекания более четырех фаз удара, в отличие от класса задач, описывающих неустановившееся движение реальной жидкости в трубах [67].

В крупных насосных установках, а также при протекании переходных процессов, обусловленных переменностью режимов потребления и управления это условие, как правило, соблюдается [6]. В силу его выполнения динамический напор определяется формулой

1 dQ L dl hg g dtH 0 F .

Это выражение совпадает с выражением для hин в составе (1.11), (1.12).

1.2. Математическое моделирование невозмущенного состояния системы водоснабжения

Под полноразмерной гидравлической системой (ПГС) подразумевается система, включающая полное число структурообразующих элементов. За редким исключением ПГС являются большими системами (БГС) с точки зрения размерности решаемых задач и информационной обеспеченности. Можно допустить с известной долей условности, что они отображаются бесконечными структурными графами, поскольку имеют непрерывно развивающуюся структуру и помимо уличных сетей включают (по определению) весьма разветвленные и многочисленные внутридомовые и внутрицеховые сети. Это

20