§9. Физические приложения определенного интеграла: вычисление длины пути, работы переменной силы

и многие другие

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 574.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.5 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Пример 12

y = arcsinx при

Найти объем

тела, полученного вращением

кривой

x [0,1] вокруг оси Oy .

Найдем обратную функцию

x =sin y при

y [0,

]. Тогда по формуле

(2.18) получим

π /2

−

cos2ydy =

π /2

π2

VOy =π ∫

sin2 ydy = π ∫

y −

sin2y

Пример 13

x = a(t −sint),

при

Найти объем тела, полученного вращением циклоиды

= a(1−cost)

0≤t ≤ 2π вокруг оси Ox . Циклоида – это кривая, которая описывает движение точки, зафиксированной надвижущейся по горизонтальной прямойокружности.

По формуле (2.19)

2π

(1−cost)

′

dt = πa

2π

dt =

V =π ∫a

a(t −sint)

∫(1−cost)

=πa3

2∫π (1−3cost + 3cos2 t − cos3 t)dt ,

так как интегралы по длине периода от cost

и cos3 t

обращаются в ноль, то

V =πa

32π

32π 5

dt = 5π

+ cos2t) dt =πa

∫0

= lim N dx

N = lim(lnN −ln1)= ∞.

І. Из физического смысла производной s′(t) = v(t) следует, что если известна скорость v(t) за время от t1 до t2 , то пройденный путь за это время

t2
s = ∫v(t)dt .	(2.21)
t1

Рис. 19

Пример 14

Найти путь тела, падающего под действием силы тяжести (сопротивлением воздуха пренебречь, например, в первые минуты при затяжном парашютном прыжке с большой высоты, пока парашют не раскрыт).

В нашем случае будет равноускоренное движение с ускорением g		м/с2,
поэтому v = gτ , время τ меняется от 0 до t . По формуле (2.21) s = ∫t	gτdτ	= gt2
0		2

. Так легко выводится с помощью интегрирования хорошо известная из школьного курса физики формула равноускоренного движения.

ІІ. Пусть тело движется по прямой под действием непрерывной переменной силы F(x)

при x1 ≤ x ≤ x2 (рис. 19). Воспользуемся диффе-

ренциальным методом: возьмем произвольный x , дадим приращение ∆x и найдем элементарную работу ∆A на этом отрезке. Так как при постоянной силе F работа A = Fl равна произведению силы на путь, а длина пути равна как раз ∆x , поэтому можно считать на этом отрезке, что сила не меняется и равна F(x):dA = F(x)∆x = F(x)dx . Следовательно, сум-

марная работа на всем отрезке [x1,x2] будет равна

x2
A = ∫F(x)dx.	(2.22)
x1
В примере 18 на странице 52 формула (2.22)
используется для нахождения потенциальной энер-
гии, накопленной телом при его удалении с по-
верхности Земли в бесконечность.
ІІІ. Дифференциальный метод позволяет ре-
шить большое количество всевозможных задач.
Пример 15
Найти работу, потраченную на подъем всех		Рис. 20
блоков, из которых сложена пирамида	Хеопса.

В основании четырехугольной правильной пирамиды лежит квадрат со стороной a = 200 м, высота h =140м, удельный вес камня, из которого вырезались

блоки d = 2,5 мт3 .

Для решения воспользуемся дифференциальным методом. Введем ось Ox, направленную по вертикали, для произвольного x [0;140), дадим приращение ∆x и найдем элементарную работу по подъему на высоту x усеченной пира-

миды ( ∆P − её вес, а ∆V −объем):∆A = x ∆P = x d ∆V. Так как высота пирамиды равна ∆x , которая будет в качестве множителя, то заменим усеченную

пирамиду на

параллелепипед

со стороной

основания

a(x),

тогда

dA =

= 2,5 x a2(x)∆x. Чтобы найти

a(x), которая с высотой убывает от 200 до 0,

возьмем вертикальное сечение PAB (рис. 20).Изподобия ∆PMN ∆PAB (рис.21)

MN =

PK ,

a(x)

= h − x

, a(x) = a (h − x) =

200

(140− x) =10

(140− x).

140

Подставив в формулу для дифферен-

циала работы, получим

dA = 2,5 x 100

(140− x)2

∆x . Переходя к

интегралу, получим

A =

140∫ 2,5x100

(140− x)2dx ≈

140

(1402 x − 2 140x2 + x3)dx =

≈ 5

∫

2 x2

140

− 2 140

Рис. 21

=5 140

−

≈

(тм).

При вычислениях мы приближенно заменили

100 ≈ 2,

142

=196≈ 2 102 .

Ответ: A ≈1,67 1011кгм.

Отметим, что вычисленная работа в килограммометрах, а не в джоулях, очень наглядна: если разделить 167 миллиардов кгм на 7 миллиардов человек, то каждый житель Земли должен поднять приближенно пудовую гирю (16 кг) до плеча (1,5 м)!

§10. Несобственные интегралы первого и второго рода

Рассмотрим задачу о вычислении площади S под кривой y = f (x) ( f (x)> 0) на

бесконечном промежутке (рис. 22). Для её вычисления найдем площадь S(N) на конеч-

ном отрезке x [a,N], а затем в пределе получим площадь S

Рис. 22

S = +∞∫	f (x)dx = Nlim→∞ N∫ f (x)dx .	(2.23)
a	a

Интеграл (2.23) называется несобственным интегралом первого рода и

позволяет вычислять для положительных функций площадь S под кривой y = f (x), если она конечна. По определению в этом случае несобственный ин-

теграл называется сходящимся, если же он равен ∞ или не существует (напри-

мер, +∞∫sinxdx ), то говорят, что интеграл (2.23) расходится.

Пример 16

Найти площадь под кривой y = x21+1. Отметим, что данная функция четная, поэтому

S = +∞

= 2+∞

= = 2lim N

= 2limarctgx

N =

−∞∫

x2 +1

∫0 x2 +1

N →∞ ∫0 x2 +1

N →∞

= 2lim(arctgN −arctg0)= 2

=π .

N →∞

Приведем еще один пример из табличных расходящихся интегралов.

Пример 17

Найти площадь под гиперболой y = 1x

при x [1,+∞).

Пример 18

Вычислить вторую космическую скорость – минимальную скорость, при достижении которой ракета «разорвет» силу притяжения Земли. Предположим, что ракета стартует с Земли (рис. 23) и вычислим по формуле (2.22) работу A, которую нужно затратить при движении от поверхности Земли (R −радиус Земли) до бесконечности, в нашем случае по закону тяготения Ньютона

			F(r)=γ	mM	,
Рис. 23				r2
Рис. 23
где m −масса ракеты, а M −масса Земли:
+∞	+∞	mM2 dr = γmM	N				1	N
								N

A = ∫ F(r)dr =	∫γ		Nlim→∞ ∫r−2dr = γmM Nlim→∞			−	r	=
R	R	r	R					R
R	R	r	R					R

		1		1		mM
=γmM lim	−		+		= γ		.
		N				R
N →∞				R

Как известно, при наборе высоты затраченная работа накапливает потенциальную энергию Π , если предположить, что тело падает обратно, то эта по-

тенциальная энергия переходит в кинетическую энергию Τ = mV2 2 . Очевидно,

что ракета преодолевает силу притяжения Земли при A = Π ≤T , а вторая космическая скорость V2 получится в случае равенства этих двух видов энергии:

mV 2

(так как на m

можно сократить, то V

не зависит от массы раке-

=γ

ты!)

и V

2γM

. Заметим, что на поверхности Земли вес ракеты равен силе

тяжести:

=γ mM

, откуда

γM

= gR . Поэтому

V =

= =

2 9,8 6,4 106

м =

103 м ≈11,2

км .

2gR

125,44

с2

Интересно, что она в 2 больше первой космической скорости V1 = gR ≈

≈ 7,9 кмс , чтобы выйти на орбиту вокруг Земли. На практике, если расположить космодром на экваторе, можно за счет скорости его вращения Vэ =ωR ≈ 0,5 кмс уменьшить на эту величину V1 и V2 , поэтому все ракеты стартуют на

восток.

Часто важно знать не количественный, а качественный ответ: сходится данный интеграл, или расходится, например, при применении интегрального признака Коши в теории положительных числовых рядов. В этом случае полез-

ны признаки сравнения.

Пусть

0≤ f (x)≤ f2(x) при x [a,+∞)	(2.24)
(рис. 22 на с.51). Тогда

І. Если несобственный интеграл +∞∫ f2(x)dx от большей функции сходится,

то и несобственный интеграл +∞∫ f (x)dx от меньшей функции тоже сходится;

ІІ. Если вышеприведенный интеграл от меньшей функции f (x) расходится

(а для неотрицательной функции это значит, что он равен ∞), то и от большей функции соответствующий интеграл тоже расходится.

Для доказательства достаточно отметить, что площадь S под кривой y = f (x) меньше площади S2 под кривой y = f2(x).

Для того, чтобы сравнивать исследуемый интеграл со степенными функциями, рассмотрим табличные несобственные интегралы первого рода:

+∞ dx		сходится при p >1,
∫1 x p	−	расходится при p ≤1.	(2.25)

Доказательство. При p =1 в примере 17 мы доказали расходимость соответствующего интеграла. Так как при x ≥1 и p <1, xp ≤ x, то x1p ≥ 1x и по вто-

рому признаку сравнения интегралы тоже расходятся и вторая часть (2.25) доказана.

Пусть теперь p >1, тогда

+∞

dxp

x− pdx = lim

− p+1

∫

= lim

lim

−1

p−1

p −1

N →∞ ∫

N →∞ −p +1

1− p N →∞

Так как при p >1 N	в положительной степени попало в знаменатель и	1	= 0,

		∞

то интегралы при таких p сходятся.

Приведем пару примеров на применение признаков сравнения.

Пример 19

+∞

Исследовать на сходимость ∫1

xdx

x3 +1

Так как при больших значениях

x единица пренебрежимо мала, есте-

ственно, сравнить подынтегральную функцию f (x) =

с табличной функ-

x3 +1

цией f

(x)=

, для которой при

p = 2>1 (пример 18) интеграл сходится.

Следовательно, надо воспользоваться первым признаком сравнения и проверить выполнение неравенств (2.24) при x ≥1: x3x+1≤ x12 . Умножив на x2

(x3 +1)> 0, получим x3 ≤ x3 +1, 0<1−верно. Так как интеграл от большей таб-

личной функции сходится, то по первому признаку сравнения исследуемый интеграл тоже сходится.

Замечание. Если бы мы не знали признака сравнения, то пришлось брать

достаточно сложный интеграл от рациональной дроби x , а затем

(x +1)(x2 − x +1)

еще и считать непростые пределы. А если бы в знаменателе был бы кубический многочлен ax3 +bx2 + cx + d (a > 0)?

Пример 20

+∞ x2

Исследовать на сходимость ∫1 2x3 + x2 +5x +10dx .

Если оставить в знаменателе только первое слагаемое 2x3, которое при x → ∞ растет в бесконечное число раз быстрее остальных, то, кажется, что

надо сравнивать с функцией f (x)= 2xx3 = 21x , для которой табличный интеграл (2.25) при p =1 расходится, и надо воспользоваться вторым признаком сравне-

ния для f2(x)=	x2	; но, очевидно, что так как к 2x3 добавляются
	2x3 + x2 +5x +10

положительные слагаемые, то чем больше знаменатель, тем меньше дробь и наша функция будет, наоборот, меньше табличной (а надо в этом случае подбирать табличную f (x) меньше данной функции). Поэтому уменьшим табличную

функцию, положив в знаменателе вместо коэффициента 2 больший коэффици-

ент,

например,

Тогда

потребуется

доказать

неравенство

. Опять, так как все функции положительны, приведем к

2x3 + x2 +5x +10

дает 2x3 + x2 +5x +10<3x3 ,

или

x2 +5x +10< x3 .

общему знаменателю,

что

Легко подобрать

для

натуральных

значений x ,

что

уже

при

x = 4 верно

16+ 20+10< 64, поэтому требуемое неравенство (2.24) будет заведомо выполнено при x ≥ 4 . Так как исследуемая функция при x ≥ 4 больше табличной, от которой несобственный интеграл расходится, то и данный интеграл тоже расходится.

Несобственные интегралы второго рода

Рассмотрим теперь случай, когда график функции y = f (x) уходит в бесконечность при подходе x

к некоторому конечному числу, то есть у функции в этой точке будет бесконечный разрыв второго рода, а у графика– вертикальная асимптота. Нас будет инте-

Рис. 24	ресовать ∫b	f (x)dx , где функция непрерывна в ин-
	a

тервале (a,b), а вертикальная асимптота будет на левом или правом конце ин-

тервала. Тогда пользоваться формулой Ньютона-Лейбница нельзя (функция должна быть непрерывна на отрезке [a,b]). Возможно два случая (может быть и

оба сразу), они отражены на рис. 24 и рис. 25.

В каждом из них мы будем сдвигаться на некоторое маленькое ε > 0 внутрь отрезка [a,b]:

	∫b	f (x)dx = limε→0	∫b	f (x)dx ,	(2.26)
	a		a+ε
Рис. 25	∫b	f (x)dx = limε→0 b∫−ε		f (x)dx .	(2.27)
	a		a

Формулы (2.26), (2.27) определяют несобственные интегралы второго рода для каждого из случаев. Определение сходимости общее для несобственных интегралов и первого, и второго рода: если соответствующий предел (2.26) или (2.27) равен конечному числу, то интеграл сходится, в противном случае

расходится.

Пример 21

Так как

lim

= +∞, то данный интеграл

x→2−0

4 − x2

– несобственный второго рода (случай б). По формуле

(2.27)

= lim

2−ε

= limarcsin

2−ε

∫

4 − x

ε→0

− x

ε→0

Рис. 26

= limarcsin

2−ε

= arcsin1=

π .

ε→0

Признаки сравнения тоже формулируются (и геометрически поясняются)

одинаково: пусть 0≤ f (x)≤ f2(x)

при x (a,b](или [a,b), или (a,b)

в зависи-

мости от случая а), б), или обоих вместе). Тогда:

І. Если несобственный интеграл ∫b

f2(x)dx

от большей функции сходится,

то несобственный интеграл ∫b

f (x)dx от меньшей функции тоже сходится;

ІІ. Если несобственный ин-

теграл

∫b

f (x)dx от

меньшей

функции расходится, то несоб-

ственный

интеграл

∫b

f2(x)dx от

большей функции и подавно рас-

ходится.

А вот табличные несоб-

ственные интегралы второго рода

с точки зрения сходимости по

сравнению с несобственными ин-

тегралами первого рода формули-

Рис. 27

руются наоборот:

1 dx

сходится при p <1,

∫0

x p =

расходится при p ≥1.

(2.28)

Для доказательства отметим (рис. 27), что если сделать симметрию относительно биссектрисы первого координатного угла y = x , то несобственный

интеграл второго рода	1	dx	станет несобственным интегралом первого рода
	∫0	x1/p

(2.25) (так как при переходе к обратной функции при такой симметрии степен-

ная функция x p переходит в x p ), и поэтому в правой части (2.25) надо поменять в вопросе о сходимости p >1 и p <1 местами, а при p =1 функция y = 1x

переходит сама в себя и расходимость остается (площадь под гиперболой бесконечна (пример 17 на с. 52)).

Пример 22

Вычислить

или доказать его рас-

∫2 (x −3)2

ходимость.

x = 3

Так

как

точке

разрыва

lim

= +∞,

то разрежем отрезок интегриро-

(x −3)2

x→3

вания пополам при x = 3 (рис. 28)

Рис. 28

∫2

= ∫2

+ ∫3

(x −3)2

Из соображений симметрии графика относительно асимптоты x = 3 и симметрии точек a = 2, b = 4 , тогда

∫2

+ ∫3

= 2∫3

(x −3)2

Заменимx −3= z ,

dx = dz ,

z1 = 3−3= 0,

z2 = 4−3=1,

получим

dzz2

2∫3

= 2∫0

= +∞ для табличного интеграла (2.28) при p = 2>1.

(x −3)2

§11. Приближенное вычисление определенных интегралов

Как отмечалось ранее, существуют «неберущиеся» интегралы, кроме того, громадное количество интегралов невозможно практически взять, например, рациональные дроби, степени многочленов которых велики, интегралы с иррациональностями, сложные выражения с тригонометрическими и другими основными элементарными функциями. Поэтому существуют различные методы и формулы для приближенного вычисления определенных интегралов с заданной точностью ε , отметим, что при стремительном увеличении быстродействия ЭВМ можно ограничиться простейшими методами. Итак, мы будем вычислять

∫b f (x)dx c точностью ε .

Метод прямоугольников. Разобьем отрезок [a,b] на n равных частей, то есть выберем шаг

h = b − a	(2.29)
n

и заменим каждую криволинейную трапецию на прямоугольники (рис. 29), это можно сделать двумя способами:

а) брать высоты hk прямоугольников равными значению функции на левом конце разбиения: hk = f (xk ) = yk , тогда

∫b	f (x)dx = S ≈ h y0 + h y1 + + h yk + + h yn−1 ;	(2.30)
a
б) брать высоты hkп на правом конце разбиения
∫b	f (x)dx = S ≈ h y1 + h y2 + + h ykп + + h yn .	(2.31)
a

Отметим, что если, например, функция y = f (x) возрастает на [a,b], то

формула (2.30) дает ответ с недостатком, а формула (2.31) – с избытком. Очевидно, чем больше число n и, соответственно, чем меньше шаг h , тем точнее получится ответ, оценки для точности ε мы приведем в конце этого раздела для всех методов, в случае же строго монотонной функции, сделав зазор между

ответами S1 по формуле (2.30) и S2 по формуле (2.31) меньше 2ε : S1 − S2 < 2ε , можно взять в качестве ответа с точностью ε их среднее арифметическое

∫b f (x)dx

функции

≈ S1 +2S2 . Применив эту формулу для любой непрерывной на [a,b]

f (x), получим

Рис. 30

ниже следующий метод.

ІІ. Метод трапеций. Заменив каждую криволинейную трапецию на обычную трапецию

(см. рис. 30), по формуле Sтрап = yk +2yk+1 h, про-

суммировав по всем k и заметив, что крайние значения y0 и yn встретятся по одному разу, а

все остальные: y1, ,yn−1 дважды (как правая и

левая граница соседних двух трапеций), получим

формулу трапеций

b	b − a y	0	+ y	n
∫ f (x)dx ≈	n				+ y1 + y2	+ + yn−1	,	(2.32)
			2
a

которая точнее формулы прямоугольников.				ІІІ. Формула Симпсона. Будем
				ІІІ. Формула Симпсона. Будем
			заменять			части кривой		y = f (x) на
			параболы			y = Ax2 + Bx +C			(рис. 31).
			Так как парабола однозначно опреде-
			ляется тремя точками (у квадратич-
			ной функции три неизвестных коэф-
			фициентов A, B, C и для их опреде-
			ления надо задать три линейных
			уравнения). Покажем, что площадь
Рис. 31		параболической трапеции S1						для первых
тами y0, y1, y2		трех точек разбиения x0,					x1,	x2	с ордина-
тами y0, y1, y2
S	= h	(y	+ 4y + y		).				(2.33)
1	3	0	1	2
Сдвинем параболическую трапецию так, чтобы точка							a = x0		перешла в

точку x = −h , тогда точка x1 перейдет в начало координат, а точка x2 в точку

x = h . S

∫

Ax2

+ Bx +C dx = 2

∫

Ax2 +C dx , мы воспользовались формулами

−h

(2.5)и(2.6).

+C dx = 2

Ah3

+3Ch

2Ah

+ 6C .

+Cx

= 2

∫

Чтобы выразить полученный ответ через y0,

y1, y2

найдем значения па-

раболы y = Ax2 + Bx +C при x = −h , x = 0,

x = h :

y0 = Ah

− Bh +C,

y1 =C,

+ Bh +C,

y2 = Ah

откуда легко видеть, что 2Ah2 + 6C = y0 + 4y1 + y2 , и, следовательно формула

(2.33) верна.

Так как ключевые точки на графике, где «склеиваются» параболические кусочки идут через одну (y0,y2,y4, ), то необходимо, чтобы общее число раз-

биений n было четным. Для таких n выпишем все площади параболических трапеций

S = h

(y + 4y + y

), S

= h

+ 4y + y

), …, S

= h (y

+ 4y

+ y

1 2

3 4

n−2

n−1

так как

S ≈ S1 + S2 + + Sn , то после приведения подобных членов (сравните

ситуацию для ключевых точек с методом трапеций), получим

S = b − a

[y0 + yn + 2(y2 + y4 + + yn−2)+ 4(y1 + y3

+ + yn−1)],

(2.34)

мы вывели формулу Симсона. Часто её пишут в другом виде, подставив n = 2m.

Пример 23
Вычислить приближенно ∫2	dx	1) по формуле прямоугольников, 2) по
1	x

формуле трапеций, 3) по формуле Симпсона, разбив отрезок интегрирования на десять частей.

Составим таблицу

Таблица

	x	1	1,1	1,2			1,3		1,4	1,5	1,6	1,7	1,8	1,9	2
	k
	yk	1	0,90909	0,83333			0,76923		0,71429	0,66667	0,625	0,58824	0,55556	0,52632	0,5
	1) по формуле (2.30)
				∫2 dx =		2−1		(y0 + y1 + + y9) = 0,1 7,18773= 0,71877;
				1	x	10
по формуле (2.31)
			∫2 dx		= 0,1 (y1 + y2 + + y10) = 0,1 6,68773= 0,66877.
			1	x

Так как функция y = 1x строго убывает на [1,2], то первый ответ будет с

избытком, а второй – с недостатком. 2) по формуле трапеций (2.32)

2	dx		y0	+ y10
∫		= 0,1 (			+ y1	+ + y9)=0,69377.
∫	x	= 0,1 (		2	+ y1	+ + y9)=0,69377.
1	x			2

Проверьте, что этот ответ равен среднеарифметическому двух ответов в п 1). 3) по формуле Симпсона (2.34)

∫2	dx	0,1 (y0 + y10 + 2(y2 + y4 + y6 + y8)+
1	x	3
+4(y1 + y3 + y5 + y7 + y9))= 0,69315.
Для табличного интеграла убедитесь, что ∫2			dx = ln2, затем найдите значение
		1	x

ln2 на калькуляторе или по таблице с точностью до седьмого знака. Убедитесь,

что по сравнению с истинным ответом в соответствии с правилами округления формула прямоугольников дает только один знак после запятой, формула трапеций даёт ошибку в третьем знаке после запятой, а формула Симпсона гарантирует все пять знаков, с которыми она считалась.

В общем случае, максимальная погрешность формул прямоугольников,

трапеций достигает соответственно

(b − a)3

, где

M2 =

′′

−

12n2

24n2

(x)

наибольшее значение второй производной заданной функции на [a,b], а фор-

мулы Симпсона (b − a)5 M4 , где M 4 =

180n4

той производной заданной функции на ственно выгоднее.

f (IV)(x) ̶наибольшее значение четвер- [a,b], то есть формула Симпсона суще-

Замечание. Это свойство формулы Симпсона сохраняется и в том случае, когда у нас нет аналитического задания функции f (x).

Например, чтобы построить плотину на реке (рис. 32), надо оценить

	Рис. 32	площадь поперечного сечения ре-
		ки, выбрав шаг	h , можно замерить

глубину с этим шагом, например, при ширине реки в 1 км и			n =1000 замерять
глубины по	всей ширине реки через каждый метр, а		затем подставить
y0,y1, ,y1000	в формулу Симпсона.

Расчетно-графические задания по теме «Неопределенный и определенный интегралы»

Предлагаемые варианты состоят из 7 заданий: I. Взять неопределенные интегралы.

II.Вычислить определенные интегралы.

III. Вычислить несобственные интегралы или доказать их расходимость. IV. Найти площадь плоской фигуры. В декартовой системе координатсделать чертеж.

V. Вычислить длину дуги кривой.

VI. Найти объём тела, полученный вращением фигуры (лежащей в плоскости xOy и ограниченной заданными линиями) вокруг данной оси.

VII. Решить физическую задачу.

Перечисленные выше задания предназначены для выработки навыков интегрирования и решению задач на приложения определенных интегралов. Он потребуется студентам первого курса всех специальностей как для самостоятельной работы, так и в качестве контрольных заданий вашего варианта (для тех специальностей, где контрольная работа предусмотрена учебным планом). Перед решением задач рекомендуем посмотреть теорию и приведенные примеры, из соответствующего данному примеру, параграфа первой и второй главы. Как показывает опыт, кроме решения примеров предложенного варианта и систематического выполнения домашних заданий, потребуется еще дополнительно решить n -ое количество задач из [4-7] для полного овладения «техникой» интегрирования и применением дифференциального метода в прикладных задачах. Для его лучшего усвоения решите последнюю задачу из других вариантов.

Вариант 1

2)3dx

2tgx

1) ∫sin(1−3x)dx

∫

(3 x

−

∫ cos2 x

4)∫

5) ∫

x −8

8−

2x − x

4 − x

∫

x2 − 4x +5

8) ∫

2x +1

9) ∫x2cos2xdx

7)∫

x3 + x2

x2 + x +1

−1

10)∫arctg2xdx

11)∫

12)∫

x +1)

x2 + 2

13)∫sin3xcos4xdx

14) ∫cos

xsin

xdx

15)∫ctg

xdx

18) ∫e

16) ∫

17)∫

x2 −1

5−3cosx

17)* ∫

x2 + 2x + 2

y(ln y −1)dy

xdx

π /2

sin2 x −3arctgx +3x2

)

∫

3) ∫

3 x +1

∫

−π /2(

III

∞

xdx

1) ∫

2) ∫

3 2− 4x

016x4 +1

1) y = x

, y = 3− 2x

2cos

3)ρ

=9cos

x =

2sin3t.

(0≤ϕ ≤ 2π )

y =

x = cost +t sint,

3) ρ = cosϕ

(−π

π )

1) y

x2 ( 3 ≤ x ≤ 8)

≤ϕ ≤

y = sint −t cost,

0≤t ≤π

1) y = 2x − x2,

y = x (Ox )

x =3sint ,

y = 2cost (Oy )

VII

скорость

прямолинейного

движения

материальной

точки

v =3t2 − 2t +5 м/с. Найти путь, который прошла материальная точка, за первые три секунды.

2)* вычислить силу давления воды на плотину в виде равнобедренного треугольника (вершина смотрит вниз) с основанием 8 м и глубиной 3 м.

Вариант 2

2) ∫ (2x +5)2dx

1) ∫

3) ∫arcsin 2x dx

4x +1

1− x

4) ∫

5)∫

∫

2x −1

− 4x

+ 2x −7

7)∫

− 2x

+ 4

8)∫

4x −7

∫x

sin2xdx

(x −1)

(x − 4)

−3

−1

e3x

10) ∫arсctg2xdx

11)∫

12)∫

x(3 x +1)

ex −1

13)∫sin6xsin7xdx

14)

∫

cos3 x

15)∫tg

xdx

sin

17)∫

16) ∫

− x

18) ∫e

x+1dx

sin2 x + 4cos2 x

17)* ∫

+ 4x +5

π /2

∫ln(x2 +1)dx

∫

cos2 x −5arctg

−5x4

2+ x +1

−π /2

III

xdx

2)∫

1)∫

−1

−6x +9

016x

1) y = x2,

y = 4x −3

x =3sint,

3)ρ =3(1+cosϕ)

(0≤ϕ ≤ 2π )

y = 2cost.

1) y = lncosx , 0≤ x

≤

3) ρ =sinϕ

x = 2(cost +t sint),

(0≤ϕ ≤π)

2(sint −cost)

y =

(0≤t ≤π)

1) y = 2x − x2, y =0 (Ox )

2)x =3cost ,

y = 2cost (Oy )

VII

1) найти работу при движении тела вдоль оси Ox под действием силы

F(x)=3x2 − 4x +5

н при x [1,3]. Найти путь,

который прошла матери-

альная точка, за первые три секунды.

2)* вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение конического

кургана, радиус основания которого

R = 2

м, а высота

H =3

м, из однород-

ного строительного материала плотностью

δ = 2,5

т/м3.

Вариант 3

3)2dx

1) ∫

2)∫ (

−

3)∫

xlnx

4 −9x2

3 x

4) ∫

5) ∫

2x −1

+ 4x +1

∫

x12 − 4

x2 −6x +10

x3 − x2 +3x − 2

4x − 21

9) ∫x2e2xdx

7)∫

+ 2

∫

(x −1)(x + 2)(x −3)

10) ∫arcsin2xdx

11)∫

12)∫

23x

x +1(3 x +1+1)

13)∫sin10xcos12xdx

14) ∫

sin3 x

15)∫(tg4 x −1)dx

cosx

18) ∫sin

16)∫

17)∫

x +1

cos2 x + 25sin2 x

x2 −1

∫

17)*

x2 + 6x +10

(

)

2arcsin

−3x

+ 2x

lnxdx

4 +

∫

2)∫ x

3)∫

−1

III

∞

1/3e3

1) ∫

x dx

16x

∫

, y = 5 x − 2

x =3cost,

3)ρ = 4sin2ϕ

1) y =

y = 2sint.

(0≤ϕ ≤ 2 )

y = lnsinx

3) ρ =1−cosϕ

x = 4cos t,

(0≤ϕ ≤ 2π )

(π

≤

)

y = 4sin3 t

(0≤t ≤ 2π )

1) y = 4x − 2x2,

y =0 (Ox )

2)x = 2cost ,

y =10sint (Oy )

VII

скорость материальной точки, совершающей прямолинейное движе-

ние,

v = 6t2 − 2t + 7

м/сек. Какой путь точка пройдет с 3 сек по 5 сек?

2)*

найти силу давления воды на прямоугольник, вертикально погру-

женный в воду, если известно, что его основание 8 м, высота 12 м,

верхнее основание параллельно поверхности воды и находится на глу-

бине 5 м. Плотность воды δ =1

т/м3.

Вариант 4

−1)

3) ∫x 5− x dx

∫cos2(2x +1)

2)∫

4) ∫

5) ∫

4x +5

x2 −5x + 6

4 + x8

∫ 8− 2x − x2

+ x2 − 2x + 4

8)∫

5x −8

9) ∫ x22x dx

7)∫

(x − 2)2(x − 4)

x2 + 2

10) ∫ xln(x +1)dx

11)∫

12)∫

(

−1)4

x2 − 2

13)∫cosxcos3xdx

14) ∫

sin3 x

15)∫tg3 xdx

cos2 x

16) ∫

17)∫

18) ∫cos x +4dx

4cos

x +

9sin

1+ x

17)*

∫

x2 +8x +17

1) ∫1 (7x6 −2sin7 x +3arctgx)dx

2)∫1 arctgxdx

3)∫5

xdx

2x −1

−1

III

∞∫

xdx

2)∫3

16x

−1

1 3 (3− x)

1) y = x2,

y = 6−5x

x =3cost,

3)ρ = 2(1−cosϕ)

y = 4sint.

1) y =

x3/2, 0≤ x ≤

=5cos

3) ρ =1+cosϕ

y =5sin2 t

(0≤t ≤

)

1) y =5x − x2,

y =0 (Ox )

2)x = 6cost ,

y = 4sint (Oy )

VII

1)скорость движения

материальной

точки

v = 4t e−t2

м/сек.

Какой

путь

пройдет точка от начала движения до момента остановки?

2)* вычислить работу, которую необходимо затратить на сооружение конического кургана, радиус которого R =1,5 м, а высота H = 2,5 м, из однородно-

го материала плотностью δ = 2т/м3.

Вариант 5

∫23x−1dx

2)∫

(

x +1)2

3)∫x4cosx5dx

4) ∫

5) ∫

4x −1

9x2 + 6x +1

9 − x8

∫

x2 +8x +17

7)∫

x3 + 2x2 + x −7

8) ∫

4x −1

∫sin(lnx)dx

(x2 +1)(x + 4)

x −1

10) ∫xarctgxdx

32x

11)∫

x −1

12) ∫

3x +1

x −1

13)∫cos3xcos4xdx

cos

15)∫(ctg

x −1)dx

14) ∫

sinx

17) ∫

16) ∫

144− x

18) ∫3

x dx

4sin2 x +9cos2 x

17)* ∫

x2 +10x + 26

(

7tg9 x −8x5 +

9x8

)

π /8

∫

2) ∫ln(x +1)dx

∫

−4

π /6sin4x

III

xdx

ln(3x −1)

∫

−1

(x2 + 4)

−∞

1/3

1) y = x, y = 4

x = 4cost,

3)ρ = 2(1−cos3ϕ)

≤ϕ ≤ 2π

)

y =3sint.

x =9(t −sint),

3) ρ = 2sinϕ

1) y

= (x +1)3 , x

(0≤ϕ ≤π 2)

y =9(1−cost),

0≤t ≤ 2π

1) y =5cost , y = 2sint

y = arcsin(x 2)

(Ox )

(0≤ x ≤π)(Oy )

VII

найти работу при движении тела вдоль оси

Ox под действием силы

F(x)=9x2 −8x +3при x [4,5].

2)* вычислить силу давления воды на пластинку, имеющую форму параллелограмма с основанием a = 2м и высотой h = 3м, опущенную вертикально вниз на глубину 4 м, если основание параллельно поверхности воды. Плотность воды равна 1 т/м3.

Вариант 6

1) ∫

2)∫

(4x −1)2

3) ∫

25x2 +9

1+ x4

4) ∫

5) ∫

x +1

x8 −1

8− 2x − x2

∫

4x + 4x +1

x5 − 4x +12

5x −9

7)∫

8) ∫

∫e2x cos2xdx

(x −1)(x − 2)(x −3)

x2 + 2

12)

10) ∫ x3lnxdx

11)∫

3 x

∫

+ 3

x3 + 4

13)∫cos7xsin4xdx

14) ∫cossin8 xx dx

15) ∫cossin6 xx dx

18)

16) ∫

1− x

17)

4sinx +cosx +3

∫

∫arctg

x +1dx

∫

17)*

x2 +12x +37

arctgxdx

π /4

∫

−1(

8arctg3 x −3x3

+ 7x6

)

π /6sin2x

∫

III

∞∫

∫1

3 (x

+8)

1/4 20x

−9x +1

1) y

= 2x

y =

x =5cost,

3)ρ = 2ϕ

(0≤ϕ ≤ 2π )

y = 4sint,

y =1−lncosx

x = 7(t −sint),

3) ρ = 2cosϕ

(0≤ x ≤π 6)

(0≤ϕ ≤π 2)

y = 7(1−cost)

(2π ≤t ≤ 4π )

1) y = 3x − x2,

y = 2 (Ox )

2)x = 4cost ,

y =6sint (Oy )

VII

материальная

точка

движется

прямолинейно

со

скоростью

v(t)=3t2 + 2t +1 м/с. Найти путь, пройденный точкой за промежуток времени [0;3] сек.

2)* найти силу давления воды на вертикальный параболический сегмент, основание которого равно 4 м и расположено на поверхности воды, а вершина находится на глубине 4 м.

Вариант 7

1) ∫cos(1−3x)dx

ctgx

(

x + 2)

2)∫

3)∫

sin2 x

4) ∫

5) ∫

x −8

3− 2x − x2

9 − x12

∫

x2 − 4x

+ 6

7) ∫

8) ∫

2x −1

9) ∫x2cos4xdx

x3 + x2

x2 − x +1

10) ∫arctg3xdx

− 2

11)∫

12) ∫

+1)

x2 +3

13)∫sin3xcos2xdx

14) ∫cos

xsin

xdx

15)∫ctg

xdx

18) ∫sin

16) ∫

17) ∫

x2 − 4

xdx

sinx + 2cosx −1

17)*

∫

x2 + 2x +3

π /4

(ln y −1)dy

6 (x +1)dx

sin

x −

3arcsin

+3x

2) ∫

∫

−π∫/4

−1

3 x + 2

III

∞

xdx

1)∫

∫

− x)ln

(1− x)

(16+ x

)

1 4

1/2

1) y =3x2 + x,

y = 4x

x = 4cost,

3)ρ = 4sin2ϕ

5sint.

(0≤ϕ ≤π )

y =

x = 4cost,

1) y =

(x −1)

= 3cos

A(1,0) до т. B(6;5

y =5sint

от т.

≤ϕ ≤π

(0≤ t ≤1)

)

1) y = 2−x , x ≥ 0 (Ox )

x = 6cost,

y =6sint

(Oy )

VII

1) найти путь до полной остановки при движении материальной точки

со скоростью v = 3t2e−t3 м/с.

2)* определить работу A, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из прямого кругового цилиндра. Радиус основания цилиндра r = 2м, высота h = 4 м.

Вариант 8

1) ∫

∫

(2x −5)2dx

∫

arccos5 x dx

3x +1

1− x2

5) ∫

2x +1

∫ x12 + 25dx

x2 + 2x −6

∫

x2 − 4x +3

7)∫

− 2x2 + 4

8) ∫

4x +7

∫x2sin4xdx

(x −1)2(x −4)

x2 −5

10) ∫arcctg3xdx

11)∫

x − 2

12)∫

x(3 x +1)

− 2

13)∫sin6xsin5xdx

cos

15)∫tg

xdx

14) ∫

sin3 x

17) ∫

16) ∫

− x

18) ∫e

x+2dx

sin2 x + 9cos2 x

17)* ∫

x2 + 4x + 6

π /4

∫ln(x2 +1)dx

3)∫

∫

x +5arctg

−5x

33+

x +1

−π /4

III

∞

2/33

xdx

ln(2−3x)dx

1) ∫

∫

2−3x

− 4x +1

x = 2cost,

3)ρ = 2+ cosϕ

1) y =

x5, x = 4

(0≤ϕ ≤ 2π )

y =5sint.

3)ρ = sinϕ

1) y =

x3 , x = 4

= t

−t

(0≤ϕ ≤π )

y =

(0≤ t ≤1)

1) y =

2x , x ≤ 0(Ox )

x = 2cost,

y = 2sint (Oy )

VII

скорость

прямолинейного

движения

материальной

точки

v(t)=12t2 − 4t + 7м/с. Найти путь, который прошла материальная точ-

ка, за первые две секунды.

2)* вычислить работу, необходимую для того, чтобы выкачать воду из

полусферического сосуда, диаметр которого 20 м, если плотность воды δ =1 т/м3.

Вариант 9

3)2

3x2 −1

1) ∫

2)∫

(

3)∫

4 +9x2

3 x

x3 − x

4) ∫

∫

2x −1

+ 4x + 5

x12 −9

∫

x2 + 6x +10

− x

+3x + 2

4x + 21

9) ∫x2e4xdx

∫

(x −1)(x + 2)(x −3)

10) ∫arcsin3xdx

11)

∫

12)∫

+ 2

x + 2(3 x + 2 +1)

13)∫sin10xcos9xdx

sin

15)∫(tg

x −1)dx

14) ∫

cosx

18) ∫sin

16) ∫

17) ∫

x + 2

cos

x +16sin

− 4

17)*

∫

+ 6x +11

x5lnxdx

3+ x dx

1/2

(

2arcsin

x −3x

+ 2x

)dx

∫

3) ∫

∫

−1/2

III

∞

x7dx

xdx

1) −∫1

2) ∫0

x8 +1

1− x4

x =5cost,

3)ρ =

cos2

1) y =

y =

y = 2sint.

(0≤ϕ ≤

4 )

x =5cost,

3ϕ

1) y =

(3− x)

3) ρ =sin

y =5sint

(1≤ x ≤ 2)

(0≤t ≤ 2π )

(0≤ϕ ≤π / 2)

1) y =

3x+1 (x ≤ −1)

(Ox )

x =12cost,

y =12sint (Oy )

VII

1) вычислить путь, пройденный телом за промежуток

[0;3] секунды, ес-

ли тело движется со скоростью v = 2t2 −t +3 м/сек.

2)* найти силу давления на плотину, имеющую форму полукруга радиуса 2 м, диаметр которой находится на поверхности воды.

Вариант 10

1) ∫

∫

− 2)

3)∫x2

5+ x3dx

sin2(2x +1)

4) ∫

5) ∫

4x −5

−5x +1

∫

3+ x8

8− 2x − x2

5x +8

9) ∫x

7)∫

+ x

− 2x − 4

8) ∫

(x − 2)2(x − 4)

+ 2

10) ∫xln(x + 2)dx

11)∫

12)∫

(

− 4)4

−3

13)∫cos2xcos3xdx

14) ∫ sin

x dx

15)∫tg

xdx

cos4 x

18) ∫cos

16) ∫

17)∫

x +3

4cos2 x + 25sin2 x

4 + x2

17)*

∫

x2 +8x +18

xdx

1/2

(

7x6 − 2sin7 x

)

∫

arctgxdx

∫

+3arctgx

5∫

2x −1

−1/2

III

∞

sinxdx

1) ∫

∫

x(1+ ln2 x)

π /2 7 cos2 x

1) y =5x − x2, y = 2x

x = sin3 t,

y = cos3 t,

3)ρ = 2cosϕ

0≤t

≤π

(−π ≤ϕ ≤ π )

1) y =

3 (x −1)

3) ρ = cos

(4≤ x ≤9)

y =t −t3

(−π

≤ϕ

≤

)

(0≤t ≤ 2)

1)x = sinx

, 0≤ x ≤

(Ox )

y =

0≤ x ≤ 2 (Oy )

VII	1) материальная точка движется со скоростью v =3t2 − 2t + 2 м/сек. Какой
	путь она пройдет за первые 3 секунды?
	2)* вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду
	из корыта длиной 2 м, боковая поверхность которого образована параболиче-
	ским цилиндром, при ширине корыта 1 м и глубиной 0,5 м.
	77

Вариант 11

∫53x−1dx

∫x4sinx5dx

∫

(4 x +5)2

4) ∫

5) ∫

4x −1

4 − x8

∫

−

8x +17

7)∫

+ x + 7

8) ∫

4x +1

∫cos(lnx)dx

+1)(x

+ 4)

x −1

10) ∫xarctg3xdx

x −1

11)∫

12)∫

x −1−1

13)∫cos3xcosxdx

14) ∫

cos

15)∫(ctg

x −1)dx

sin3 x

16) ∫

4 − x2

18) ∫6

x dx

4sin

x + 25cos

17)∫

17)*

∫

x2 +10x + 27

(7tg9 x −8x5 +9x8)dx

ln(x + 2)dx

π /6

∫

−3

−1

π /12sin4x

III

∞

xe−3xdx

1/3

1) ∫

∫

9x2 −9x + 2

1) y = x2, y = 2− x

x =t −sint,

3)ρ = 2(1−cos3ϕ)

(0≤ϕ ≤ 2π 3 )

y =1−cost.

ρ = 2cosϕ

y = (x +1)3 , x = 1

x =

9(t −sint),

9(1−cost)

(0≤ϕ ≤

π )

y =

(0≤t ≤ 2π )

1) y = cosx , 0≤ x ≤

(Ox )

y = x2,

0≤ x ≤1

(Oy )

VII 1)

тело

движется

прямолинейно

постоянным

ускорением

a = 2 м/с2 с

начальной скоростью 1 м/с. Найти путь за первые 3 секунды.

2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы растянуть пружину

на 0,05 м, если известно, что сила, растягивающая пружину на

х м, равна:

F(x)= kx,

где k - коэффициент пропорциональности, зависящий от упруго-

сти пружины, и что для растяжения пружины на 0,01 м необходима сила 1 кг.

Вариант 12

2)∫ (4

−3)

1) ∫

3)∫

25x

−9

1− x4

4) ∫

5) ∫

6)∫

x +1

8+ 2x − x2

x8 − 4

4x − 4x +1

+ 4x +12

5x +9

9) ∫e4x sin2xdx

7)∫

+ 2

∫

(x +1)(x − 2)(x −3)

10) ∫x4 lnxdx

11)∫

12)∫

x − 3 x

x3 +3

13)∫cos7xsin2xdx

2xdx

14) ∫ cos10x dx

15)∫tg

sin

18) ∫arctg

16) ∫

17)∫

16− x

x + 4

4sinx +3cosx +1

17)* ∫

x2 +12x + 40

π /3

(

)

−2

8arctg3 x −3x3 + 7x6

π∫/6sin2x

∫

∫ arctgxdx

III

∞

∫

π(6x2

−5x

+1)

5 3− 4x

−1

3/4

= x

2)x = cos

y =sin

3)ρ = 4sin2ϕ

1) y = x,

(0≤t ≤ 2π)

( 2 ≤ϕ ≤π )

3) ρ = 3(1−cosϕ)

y = lnx

(

3 ≤ x ≤ 8)

2)x =

2t3,

y = 2t−3

(0≤t ≤1)

(0≤ϕ ≤ 2π )

1) y = x + 2,

y =1, x = 2

x = 7cost ,

y = 2sint

(Ox )

(Oy )

VII

1) тело движется прямолинейно со скоростью v(t)=10−4t м/с. Найти путь

за первые 2 секунды.

2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из

котла, имеющего форму полушария радиуса R = 4 м. Плотность воды равна 1 т/м3.

Вариант 13

I	1) ∫sin(2−5x)dx			3				3			tg x
I	1) ∫sin(2−5x)dx		(	3	x +		1)	3	3		tg x
		2)∫	(		x +		1)	dx	3			dx
									3)∫
										cos2 x
						x				cos2 x

4) ∫

5) ∫

6)∫

x −7

15− 2x

− x

x2 − 4x +5

− x

7)∫

8) ∫

2x +1

9) ∫x2cos6xdx

x3 − x2

x2 + 4x +5

10) ∫arctg4xdx

11)∫

x −3

12)∫

x +1)

+ 4

13)∫sin2xcos4xdx

14) ∫cos4 xsin5 xdx

15)∫ctg8 xdx

18) ∫cos

16) ∫

17)∫

−

xdx

sinx + 2cosx − 2

17)*

∫

x2 + 2x + 4

y3(ln y −1)dy

(x + 2)dx

π /3

∫

3) ∫

∫

sin3 x −3arcsin

+3x2

−2

3 x +3

−π /3

III

∞ arctg2xdx

cos3xdx

1) ∫

2) ∫

6 (1−sin3x)5

0 π(1+ 4x2)

2) x = 2cos3t,

3)ρ = 2(1+sinϕ)

1) y =

y =

y =3sint

(0≤ϕ ≤ 2π )

(0≤t ≤π

)

1) y = lncosx

x =8cost,

3) ρ

= 2cos

2ϕ

(0≤ x

≤

y =8sint

4 )

(0≤t ≤ 2π )

(0≤ϕ ≤π )

1) y =

+3, y =1, x = 4 (Ox )

x =5cost,

y = 4sint (Oy )

VII

1) определить путь, пройденный телом за 5 секунд от начала движения, если

скорость определяется формулой v = 2− 2t +t2 м/с.

2)* вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из корыта, имеющего форму полуцилиндра с радиусом основания 2 м и длиной

6м.

Вариант 14

1) ∫

(2x +3)2

arcsin6 x

4x +5

2)∫

3)∫

1− x2

4) ∫

5) ∫

6)∫

2x −1

x2 + 2x + 6

x12 +16

+ 4x +3

7)∫

x4 + 2x2 + 4

8) ∫

4x + 7

9) ∫x2sin6xdx

(x −1)2(x

+ 4)

x2 −5

10) ∫arctg4xdx

11)∫

x −3

12)∫

x(3 x +1)

−

13)∫sin6xsin3xdx

14) ∫ cos

x dx

15)∫tg

xdx

sin4 x

18) ∫e

16) ∫

17)∫

25− x2

x+3

sin2 x +16cos2 x

17)* ∫

x2 + 4x + 7

π /6

∫ln(x2 +1)dx

3) ∫

∫

x +5arctg

−5x

x +1

−π /6

III

∞

xdx

1) ∫

∫

4x2 + 4x +5

−1/331+3x

1) y2 =9x,

y =3x

x = cost,

3)ρ =ϕ

(0≤ϕ ≤π )

y = 4sint.

=sin

3) ρ =3sinϕ

1) y

4 x

− 2lnx

(0≤ϕ ≤ 2π )

(0≤ x ≤ e )

y = cos3t

(π ≤t ≤ 2π )

x = cost,

y = 4sint

y =

x ,

y = −x ,

x =1 (Ox )

(Oy )

VII 1)

скорость

тела,

совершающего

прямолинейное

движение,

v =t e−0,5t

м/сек. Какой путь тело пройдет за 2 сек от начала движения?

2)* найти силу давления воды на пластину в форме прямоугольника с основанием 5 м и шириной 4 м, расположенного вертикально, с основанием параллельным поверхности воды на глубине 2 м.

Вариант 15

1) ∫

2)∫ (

x − 4)2dx

3)∫ ex −1dx

1−9x2

ex − x

4) ∫

5) ∫

∫

2x +1

−

− 4x +1

+ 6x +10

− x

+3x − 2

∫

4x − 21

9) ∫x

7)∫

(x −1)(x + 2)(x −3)

10) ∫arcsin4xdx

11)∫

12)

x +3(3 x +3 +1)

∫

13)∫sin10xcos13xdx

14) ∫

sin

15)∫(tg

x +1)dx

cos3 x

18) ∫sin

16) ∫

17)∫

x +3

cos2 x +9sin2 x

x2 −9

17)* ∫

x2 + 6x +12

1/3

(2arcsin3 x −3x7 + 2x2)dx

x dx

∫

2)∫ x5lnxdx

3) ∫

−1/3

III

∞

1) ∫

2) ∫

2 (4+ x2)

π arctg

−

4x +1

1) y = x

= 2− x

x = 4cost,

3)ρ = 4cos

2ϕ

y =sint.

(0≤ϕ ≤

)

1) y

2) x =10cost,

3) ρ = 2(1−cosϕ)

y =10sint

(0≤ϕ ≤ 2π )

(0≤t ≤ 2π )

от т. A(2,−1) до т.B(2,1)

1)x = 2sint ,

y =3cost (Ox )

2) x = 2y − y

, x = 0 (Oy )

VII

1) тело движется прямолинейно

со скоростью v = 4t3 − 2t + 7 м/сек. Найти

путь за первые три секунды.

2)* шар лежит на дне бассейна глубиной 8 м. Определить работу, которую

необходимо затратить, чтобы извлечь шар из воды, если его радиус 2 м и

удельный вес шара и воды равен 1.

Вариант 16

+1)

1) ∫

∫

3)∫x2

3+ x3dx

cos2(3x +1)

4) ∫

5) ∫

∫

4x −5

+5x +6

3− 2x − x2

2+ x

7)∫

x3 + x2 − 2x + 4

8) ∫

5x −8

9) ∫x24x dx

(x −2)2(x

+ 4)

x2 +3

10) ∫xln(x +3)dx

11)∫

12)∫

(

−1)4

x −1

−1

13)∫cos5xcos3xdx

sin3 x

15)∫tg xdx

14) ∫ cos5 x dx

16) ∫

17)∫

18)

∫cos

x + 2dx

4cos2 x + 49sin2 x

9 + x2

17)*

∫

x2 +8x +19

1/3

(7x6 − 2sin7 x +3arctgx)dx

xdx

1/∫

3arctgxdx

∫

3) ∫

2x −1

−1/3

III

∞

1/2

1) ∫

∫

(2x −1)2

x12 +1

3cos

3)ρ =ϕ

1) y

y =

− x

x =

3sin3t

≤ϕ

≤

y =

π )

2 )

(0≤t ≤

1) y = lncosx

x = 5sint,

ρ =5(1+cosϕ)

≤ x ≤

y =5cost

(0≤ϕ ≤ 2π )

(0≤t ≤

)

1) y = 2− x2 2,

x + y = 2 (Ox )

x =3cost,

y = 4sint (Oy )

VII

1) скорость прямолинейного движения материальной точки

v =t 2−0,03t

м/сек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной остановки?

2)* найти силу давления воды на пластину в форме прямоугольника с основанием 3 м и шириной 3 м, расположенного вертикально с основанием, параллельным поверхности воды на глубине 5 м.

Вариант 17

∫24x−1dx

3)∫x3cosx4dx

2)∫

(4 x −1)2

4) ∫

5) ∫

∫

4x +1

−6x +1

16− x

x2 −8x +17

7)∫

+ 2x

+ x −7

8) ∫

4x −1

∫sin(2lnx)dx

+1)(x +3)

x +1

10) ∫xarctg2xdx

x −1

11)∫

12)∫

x −1− 4

13)∫cos3xcos6xdx

cos

15)

14) ∫

∫(ctg6 x +1)dx

sinx

18) ∫5

16) ∫

17)∫

256− x2

4sin2 x + 49cos2 x

17)* ∫

x2 +10x + 28

(7tg9x −8x5 +9x8)dx

−1

ln(x +3)dx

2π

∫

−2

π /2 sinx

III

∞

1/4

1) ∫ xe−3xdx

∫

31−4x

1) y = x2, y =5x −4

x =8cost,

3)ρ =5sin

2ϕ

y =3sint.

π )

(0≤ϕ ≤

3) ρ =3cosϕ

y = lnsinx , (6 ≤ x ≤ 3)

x =8sin

(−

≤ϕ

≤

y =8cos2t

)

π )

(0≤t ≤

y = x − x2, y = 0 (Ox )

= arcsin

(0≤ x ≤π)(Oy )

VII

тело движется прямолинейно со скоростью

v(t)=15t2 − 4

м/с. Найти

пройденный им путь с первой по третью секунды.

2)* определить работу, которую нужно затратить на сооружение кониче-

ского кургана, радиус основания которого R =3м, а высота

H = 4 м,

из

однородного строительного материала плотностью δ =3,5 т/м3.

Вариант 18

1) ∫

(4x +1)2

25x2 + 4

2)∫

3)∫

1+ x8

4) ∫

5) ∫

∫

x −1

3− 2x − x2

x8 −9

4x + 4x +1

7)∫

+ 4x +12

∫

5x −9

9) ∫e

cos4xdx

(x +1)(x −2)(x

−3)

x2 +3

10) ∫x5lnxdx

x + 2

11)∫

12)∫

x + 2 + 3 x

+ 2

13)∫cos7xsin3xdx

14) ∫ cos

x dx

15)∫ctg

2xdx

sin8 x

18)

16) ∫

17)∫

100− x2dx

∫arctg

x +3dx

sinx −cosx +1

17)* ∫

x2 +12x +39

π /2

∫ (8arctg3 x −3x3 + 7x6)dx

2) ∫3 xarctgxdx

3) ∫

−3

π /3sinx

III

∞

xdx

1) ∫

2) ∫

6x2

−5x

4 (16− x2)3

=3sin

3)ρ =3ϕ

1) y =

x, y =

(0≤ϕ ≤ 2π )

y = 2cost,

π )

(0≤t ≤

1) y =1−lncosx

+ 4,

3) ρ = 6sinϕ

x =t

(0≤ϕ ≤ 2π )

(0≤ x ≤

)

y = 4 −t2

(0≤t ≤1)

1)2y = x2, 2x + 2y −3= 0

2) x = 6cost ,

y =3sint (Oy )

(Ox )

VII

найти работу силы F(x)=3x2 + 4x +1

при прямолинейном движении

под её действием от т. A при

x = 2

до т.

при

x = 4.

2)* вычислить силу давления жидкости на прямоугольник, вертикально по-

груженный в жидкость, если известно, что его основание равно 9 м, высота

13 м, верхнее основание параллельно поверхности и находится на глубине

4 м. Плотность жидкости δ =1,5

т/м3.

Вариант 19

1) ∫cos(2−5x)dx

ctgx

(

x −

2)∫

3)∫

sin2 x

4) ∫

5) ∫

x −7

−

25− x12

∫

− 4x + 6

7)∫

8) ∫

2x −1

9)∫x2cos8xdx

x3 − x2

x2 − 4x +5

10) ∫arctg5xdx

11)∫

x − 4

12)∫

x +1)

x2 +1

13)∫sin5xcos4xdx

14) ∫cos3 xsin6 xdx

15)∫ctg2 xdx

18)∫arctg

16) ∫

17)∫

−

xdx

sinx + 2cosx +1

17)*

∫

x2 + 2x +5

+3)dx

π /6

∫ y4(ln y −1)dy

∫ (x

∫

sin3 x

−3arctg

+3x2

−3

3 x + 4

−π /6

III

∞

∫

2) ∫

x(lnx −1)2

3x − x2 − 2

1) y =

, y = 2x

x = 2(t −sint),

3)ρ =

2(1−cost)

π3

y =

(0≤t ≤π )

(π 2 <ϕ <π )

−t

ρ = 4(1−cosϕ)

y =

(1≤ x ≤3)

+ e

x = e

(0≤ϕ ≤ 2π )

y =

(0≤t ≤1)

y = 2

− x

, y = x

(Ox )

x =8cost,

y =sint (Oy )

VII

1) определить путь, пройденный телом за 6 секунд с начала движения, если

скорость определяется формулой v = t3 3 + 2t −1 м/с.

2)* вычислить работу для выкачивания воды из ямы, имеющей форму конуса с вершиной на дне, высота которого 2 м, а радиус основания ‒ 0,3 м.

Вариант 20

1) ∫

(2x −3)2

arccos6 x

2)∫

3)∫

7x +1

1− x2

4) ∫

5) ∫

6)∫

2x +1

x2 + 2x + 6

x12 +9

+ 4x +3

7)∫

x4 + 2x2 + 4

8)∫

4x −7

9) ∫x2sin8xdx

(x −1)2(x + 4)

x2 −3

10) ∫arctg5xdx

11)∫

x − 4

12)∫

x(3 x +1)

− 4

13)∫sin8xsin3xdx

14) ∫ cos

x dx

15)∫tg

xdx

sin5 x

18) ∫e

16) ∫

17)∫

36− x2

x+4

sin2 x + 25cos2 x

17)*

∫

x2 + 4x +8

π /3

2) ∫ln(x2 +1)dx

∫

x +1

∫

x +5arctg

−5x

−π /3

III

∞

1) ∫

2) ∫

x2(x +1)

x3 −1

1) y

= x

−

y =

x =3sint,

3)ρ = −sinϕ

(π ≤ϕ ≤ 2π )

y = 2cost

(0≤t ≤

π )

x = 2t,

3) ρ = 4sinϕ

1) y

(3− x)3 (0≤ x ≤ 2)

(0≤ϕ ≤ 2π )

y = et + e−t

(0≤t ≤1)

1) xy = 4 ,

2x + y −6= 0 (Ox )

x =9cost, y = 2sin

t (Oy )

VII

найти

путь,

прямолинейно

движущегося

тела

со

скоростью

v =12+8t −3t2 м/сек, за первые 2 сек?

2)* определить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жид-

кость из котла, имеющего форму полусферы радиуса

R =3,5м.

Плот-

ность жидкости δ =1,3 т/м3.

Вариант 21

4)2dx

(

x +

1) ∫

∫

3)∫

(1+ x2)arctgx

1+9x2

3 x

2x +1

4) ∫

5) ∫

6)∫

4x2 − 4x +5

x12 − 25

x2 −6x +10

x3 + x2

− 2x − 4

5x +8

9) ∫x25x dx

7)∫

∫

(x −2)2(x + 4)

10) ∫arcsin5xdx

11)

12)∫

∫

2x + 4

x + 4(3 x + 4 +1)

13)∫sin10xcos14xdx

14) ∫

sin

16)

∫

cos3 x

cos2 x + 4sin2 x

15)∫(tg4 x −3tg2 x +2)dx

18) ∫sin

17) ∫

x + 4

17)*

−16

∫

x3dx

+ 6x +13

1/4

(2arcsin

x −

+ 2x

)dx

∫

x6lnxdx

3) ∫

∫

−1/4

III

∞

1) ∫2

x dx

1/2∫

x4 −1

1− 2x

y =

y = −x

2) x = 4sin3 t,

3)ρ = 4

cos2ϕ

y = 2cos3 t ,

−π

≤ϕ ≤

0≤t ≤π

x =12cost,

3ϕ

y =

(x − 2)

(2≤ x ≤3)

3) ρ = cos

y =12sint,

≤

≤ π

(−π ≤ϕ ≤ 0)

1)x =sint ,

y = 2cost

(Ox )

y = x2

, −2≤ x ≤ 0 (Oy )

VII

скорость прямолинейного движения материальной точки

v =t e−0,41

м/сек. Найти путь, пройденный точкой от начала движения до полной

остановки.

2)*

определить силу давления воды на плотину, представляющей собой

прямоугольник с основанием

a = 9

м,

лежащем на поверхности воды и

глубиной

h =4 м.

Вариант 22

(ex

2)3

3)∫x

1) ∫

2)∫

− x

sin2(3x +1)

4) ∫

5) ∫

4x +5

4x2 +5x +1

+ x8

∫

3− 2x − x2

∫

− x

+3x + 2

4x + 21

9) ∫x2e8xdx

x2 + 2

∫

(x +1)(x + 2)(x −3)

10) ∫arcsin5xdx

∫

13)∫

x dx

(

−1)4

x −1

x2 − 4

13)∫cos6xcos3xdx

sin

15)∫tg xdx

14)

∫cos6 x dx

18)∫cos

16) ∫

17)∫

x +1dx

4cos2 x +81sin2 x

16+ x2

17)*

∫

x3dx

+8x + 20

xdx

1/2

(7x

x +3arctgx)dx

2) ∫arctgxdx

3) ∫

∫

−2sin

2x −1

−1/2

III

x2dx

1) −∫∞

2) ∫0

x3 −1

64− x6

1) y = 2x2, y =8x −6

x = −2cost,

ρ = 3+ 2cosϕ

(0≤ϕ ≤ 2π )

y =3sint

(π

≤

ϕ ≤π )

y2 = x3,

x = −2cost,

ρ =8(1−cosϕ)

от т. A(0,0) до т. B(2;−

(0≤ϕ ≤ 2π )

(π

y = 2sint

≤t

≤π )

1) y =8x − 2x2 ,

y = 6x

(Ox )

x = 7cost , y =sint (

Oy )

VII

1) скорость движения тела v = 3t2e−t3

м/с. Какой путь пройдет тело от

начала движения до полной остановки?

2)* вычислить работу, которую нужно затратить на сооружение кониче-

ского кургана,

радиус основания которого R = 2 м, а высота H =3м,

из

однородного строительного материала плотностью δ = 2,5 т/м3.

Вариант 23

∫54x−1dx

3)∫x3sinx4dx

2)∫

(

4 x −5)2

5) ∫

4x +1

4) ∫

−6x + 2

25− x8

∫

x2 +8x +17 dx

7)∫

+ 2x

+ x +7

8) ∫

4x +1

∫cos(2lnx)dx

x +1

+1)(x +3)

10) ∫ xarctg4xdx

x −1

11)∫

12)∫

x −1−9

3x + 4

13)∫cos3xcos7xdx

14.∫(ctg

x −

3ctg

x)dx

15.

∫

cos

sin3 x

64− x2

18) ∫4

16) ∫ 4sin2 x +81cos2 x

17)∫

17)*

∫

x2 +10x + 29

7tg9 x −8x5 +9x8

)

−2

ln(x + 4)dx

π /4

∫

−1(

−3

π /12sin3x

III

∞

+ 2

π /2etg xdx

1) ∫

0∫

0 3 (x2 + 4x +1)4

cos2 x

1) y =3x2,

y =18−15x

x = 3sint,

3)ρ =5cos2ϕ

(0≤ϕ ≤π )

y = −4cost

<ϕ

y = ln

0≤ x ≤π

x = 3sint,

ρ =sin

cosx

y = −3cost

(π

≤t

≤π )

0≤ϕ ≤π 2

1) y = 6x − x2,

y = 0 (Ox )

2)x =9cost ,

y = 2sint (Oy

)

VII

скорость движения тела

v = 5te−t2

м/с. Какой путь пройдет тело от

начала движения до полной остановки?

2)* найти силу давления воды на прямоугольную пластину с основанием a = 20 м, лежащем на поверхности воды, и глубиной h =3 м.

Вариант 24

1) ∫

2)∫ (4

3)∫

25x

−

1− x8

5) ∫

6x +1

∫ x8 −16dx

3+ 2x − x2

∫

4x2 + 4x +1

7)∫

−

4x +12

∫

5x +9

9) ∫e

sin4xdx

(x +1)(x − 2)(x

−3)

x2 +3

10) ∫ x

lnxdx

∫

x + 2

12)

∫

x + 2 − 3 x + 2

x3 +1

13)∫cos7xsinxdx

sin2x

14) ∫

cos10x dx

∫

sin4 x −cos4 x

sin

18)

16) ∫

4 − x2

∫arctg

x + 2dx

−

cosx

17)

∫

5sinx

17)*

∫

x2 +12x +38

(

)

π /3

8arctg3 x −

3x3 + 7x6

∫

arctgxdx

∫

−3

π /4sin2x

III

∞

arctg2x

1) 0∫

2)4∫

1+ 4x2

(x −5)10

1) y = 4x2 + 4,

y = 5x

x =10sint,

3)ρ =5ϕ

(0≤t ≤ 2π )

y = cost

(0≤ϕ ≤ 2π)

−

lnx

x =10sint,

ρ = 9(1+ cosϕ)

y =10cost,

≤ϕ

≤

(0≤ x ≤ e)

0≤t ≤ 2π

1) y =10− x2,

y = x2 (Ox )

2) x =3cost ,

y =sint (

Oy )

VII

найти путь прямолинейно движущегося тела со скоростью

v = e2t м/с

за первые две секунды.

2)* вычислить массу земной атмосферы, полагая,

что её плотность ρ ме-

няется с увеличением высоты по закону ρ = ρ0e−ah где h −расстояние от

поверхности Земли до рассматриваемой точки. (Земля считается шаром

радиуса R ).

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 78 / 98 9 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.2022325.21 Кб5Методическое пособие 57.pdf
#
30.04.20222.46 Mб5Методическое пособие 570.pdf
#
30.04.20222.46 Mб2Методическое пособие 571.pdf
#
30.04.20222.47 Mб3Методическое пособие 572.pdf
#
30.04.20222.5 Mб2Методическое пособие 573.pdf
#
30.04.20222.5 Mб21Методическое пособие 574.pdf
#
30.04.20222.5 Mб4Методическое пособие 575.pdf
#
30.04.20222.51 Mб7Методическое пособие 576.pdf
#
30.04.20222.51 Mб4Методическое пособие 577.pdf
#
30.04.20222.52 Mб6Методическое пособие 578.pdf
#
30.04.20222.53 Mб8Методическое пособие 579.pdf