в итоге, поделив на два, приходим к ответу:

∫xx22+1dx = 12(xx2 +1+ln x + x2 +1 +C).

§8. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций

I.Интегралы от произведения тригонометрических функций синусов

икосинусов:

∫sinnxcosmxdx , ∫sinnxsinmxdx , ∫cosnxcosmxdx

берутся с помощью известных тригонометрических формул

sinα cosβ = 12(sin(α + β)+sin(α − β)), sinαsinβ = 12(cos(α − β)−cos(α + β)),

II. Интегралы от произведения в различных степенях sinx и cosx

∫sinn xcosm xdx

а) если среди n,m есть нечетное число, то ту функцию, которая в нечетной

степени, вносят под знак дифференциала (если обе степени нечетные, то проще вносить ту, которая обладает меньшим положительным показателем);

б) если оба показателя четные, то перейти к двойному углу по формулам

sin2 x = 12(1−cos2x), cos2 x = 12(1+cos2x), sinxcosx = 12sin2x,

так как при этом степень уменьшается в два раза, то или сразу, или после нескольких шагов, появится нечетная степень и полученный интеграл сведется к случаю I).

Пример 26

∫sin2019 xcos3 xdx = ∫sin2019 xcos2 xcosxdx =

=∫sin2019 x(1−sin2 x)d(sinx) = ∫(sin2019 x −sin2021 x)d(sinx) =

=∫sin2019 xd(sinx)− ∫sin2021 xd(sinx) = 20201 sin2020 x − 20221 sin2022 x +C.

Пример 27

∫sin4 xcos2 xdx = ∫(sinxcosx)2 sin2 xdx =

27

III. Интегралы ∫tgn xdx или ∫ctgn xdx (n ,n >1) берутся спомощью фор-

мул tg2 x = cos12 x −1 или ctg2 x = sin12 x −1, так как (tg x)′ = cos12 x и (ctgx)′ =

= −sin12 x , то можно понизить степени на две единицы; например,

∫tgn xdx = ∫tgn−2 x tg2 xdx = ∫tgn−2 x cos12 x −1 dx =

= ∫tgn−2 x (tgx)′dx − −∫tgn−2 xdx = tgnn−−11x − ∫tgn−2 xdx и так далее.

Пример 28

∫ctg3 xdx = ∫ctgx ctg2 xdx = ∫ctgx sin12 x −1 dx =

=∫ctgx(−ctgx)′dx −∫ctgxdx = −∫ctgxd(ctgx)− ∫cossinxx dx =

Замечание. В случае нечетной степени, как в примере 28, можно перейти к синусам и косинусам ( II а).

Если же показатель степени четное число, то остается только III способ.

§9. Тригонометрические и универсальная тригонометрическая подстановки

Рассмотрим еще три стандартных замены, когда под квадратным корнем есть алгебраическая сумма x2 и константы:

1) ∫ f (x,a2 − x2 )dx . В этом случае делается замена

28

Пример 30

∫6x − x2 −5dx = ∫4−(x −3)2dx .

Сделаем замену

x −3= 2sint , 4−(x −3)2 = 2cost (1.15), dx = 2costdt ,

Замечание. Можно вернуться к корням во втором слагаемом по формулам:

sin(2arcsina)= 2sin(arcsina)cos(arcsina)= 2a1− a2 .

Универсальная тригонометрическая подстановка использует тригоно-

интегралы от тригонометрических функций к рациональным дробям с помощью замены

Если попробовать применить эту подстановку в примере 27, то получится рациональная дробь, у которой в знаменателе будет многочлен 14-ой степени

(1+t2)7. Так как dx всегда в числителе, а знаменатели всех дробей в (1.18) оди-

наковы, то выгодно, когда sinx и cosx встречаются в первой степени в алгебраической сумме в знаменателе, а именно, стандартное применение универ-

30