Пример. Решить неравенство

Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 528.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

2.07 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Отсюда x < −1; 12 < x <1; x > 2.

г) обе части неравенства положительны при любых значениях x . Прологарифмируем обе части неравенства по основанию 3, получим неравенство

2x −1 < (log3 11)(3 − x),

равносильное исходному. После равносильных преобразований неравенство примет вид:

(2 + log3 11) x <1+ 3log3 11.

Учитывая, что 2 + log3 11 > 0, находим все решения исходного неравенства

					x <	1+3log3 11
							.
						2 + log3 11	.
	−∞;	6			x ‒ любое действительное число;
Ответ: а) x	−∞;	7	; б)		x ‒ любое действительное число;
		7
в) x (−∞; −1) 1		;1		(2;				−∞;	1+3log3 11
в) x (−∞; −1) 1		;1		(2;	+∞); г) x			−∞;	1+3log3 11	.
	2								2 +log3 11

Итак, для приведения показательных уравнений и показательных неравенств к выделенным выше видам были применены приёмы сведения уравнения (неравенства) к одному основанию, логарифмирование, деление (умножение) уравнения (неравенства) на выражение, содержащее одну из степеней, переход к одному показателю степени. При этом были использованы свойства степеней, определение степени с целым показателем, свойства показательной функции.

							1	3x−8,5			1	.
Пример. Решить неравенство							2		<

											2
											2
Решение: Так как	1			1	12	,	то данное неравенство примет вид
		=		2
		=
	2
						1	3x−8,5			1	12		.
						2			<	2			.
						2				2
Так как основание			1 <1,				то последнее неравенство равносильно

неравенству

3x −8,5 > 0,5.

Откуда x >3.

Ответ: x (3; + ∞).

Пример. Решить неравенство 0,6x2 −2x ≤ 0,63x−6.

Решение: Так как 0 < 0,6 <1, то данное неравенство равносильно неравенству

x2 −2x ≥ 3x −6.

Решая последнее неравенство методом интервалов, получим x ≤ 2, x ≥3.

Ответ: x (−∞; 2] [3; + ∞).

4.5.Логарифмические уравнения и неравенства

Влогарифмических уравнениях (неравенствах) выражения, содержащие неизвестное, находятся под знаком логарифма. При решении логарифмических уравнений (неравенств) исходя из определения логарифма, необходимо учитывать условия существования входящих в них логарифмических выражений и отражать их при нахождении области определения уравнения (неравенства), когда это необходимо.

Решение логарифмических уравнений (неравенств) основано на

свойствах логарифмической функции y = loga x, a > 0, a ≠1:

Рассмотрим простейшие логарифмические уравнения (неравенства) и подходы к их решению.

Пример. Решите уравнение: log3 (5x −1) = 2.

Решение. По определению логарифма данное уравнение равносильно уравнению

5x −1 = 32 .

Решая линейное уравнение, получим:

5x −1 = 9 5x =10 x = 2.

Ответ: x = 2 .
Неравенство loga f (x) < b (по свойству 30			логарифмической функции)
	b
равносильно: системе неравенств f (x) < a	b	, при	a >1; неравенству f (x) > ab
равносильно: системе неравенств f (x) < a		, при	a >1; неравенству f (x) > ab
f (x) > 0

при 0 < a <1.	Аналогично	рассматриваются и			другие		соответствующие
неравенства.
Пример. Решите неравенство: log5 (x + 2)≤ 3.
Решение.	Учитывая,	что	3 = log5 53 ,	переходим			к равносильному
неравенству		log5 (x + 2)≤ log5 53 .
		log5 (x + 2)≤ log5 53 .
Так как основание логарифмической функции y = log5 t							равно 5>1, то она
возрастает на своей области определения (при t > 0). Тогда получаем:
log5 (x		x + 2 > 0;		x > −2;		−2	< x ≤123.
log5 (x	+ 2)≤ log5 53				123;	−2	< x ≤123.
		x + 2 ≤125;		x ≤	123;

Ответ: x (−2;123].

Пример. Решите уравнение: lg(x2 − 2) = lg x . Решение. Исходное уравнение равносильно системе

x2 −2 > 0;x > 0;

x2 −2 = x.

Но одно из условий области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу равенства логарифмируемых выражений. Тогда получим:

x2 − 2 > 0;x > 0;

x2 − 2 = x

Ответ: x = 2 .

x > 0;		x = −1;
x > 0;			x = 2.
	= x	x = 2;	x = 2.
x2 − 2	= x	x > 0
		x > 0

Можно предложить второй способ решения уравнения

lg(x2 − 2) = lg x

(как и любого другого логарифмического уравнения) без нахождения его области определения. При этом способе решение логарифмического уравнения должно заканчиваться проверкой, удовлетворяют ли найденные корни исходному уравнению. Например, выполняя проверку полученных в ходе

решения уравнения lg(x2 −2) = lg x корней x1 = −1, x2 = 2 , получаем, что при

подстановке в исходное уравнение x = −1 в обеих частях появляется выражение lg(−1) , которое не имеет смысла, т.е. x = −1 не является корнем исходного

уравнения; при подстановке x = 2 получаем верное числовое равенство lg 2 = lg 2 , т.е. x = 2 является корнем исходного уравнения.

Но указанный способ не всегда удобен, например, если полученные корни являются иррациональными числами (см. пример далее). Поэтому не будем подробно останавливаться на этом способе решения, тем более что неравенства таким способом решать нельзя.

Пример. Решите уравнение: logx 4x = 2 .

Решение. Исходное уравнение равносильно системе

4x > 0;

x > 0;x ≠1;

x2 = 4x.

Но условие 4x > 0 области определения можно опустить, т.к. оно будет автоматически учитываться в силу присутствия других условий системы. Тогда получаем:

4x > 0;

x > 0;x ≠1;

x2 = 4x

Ответ: x = 4 .

x > 0;

x ≠1;x2 = 4x

x = 0;

x = 4;

x > 0; x = 4.x ≠1

Пример. Решите уравнение: logx2 −1 (3x −1)= logx2 −1 x2 .

Решение. Исходное уравнение равносильно системе

3x −1 > 0;

x2 > 0;

x2 −1 > 0;x2 −1 ≠1;3x −1 = x2 .

Одно из

условий 3x −1 > 0

или

x2 > 0

области определения

можно

опустить, т.к. оно

будет

автоматически

учитываться

силу равенства

3x −1 = x2 . Тогда получаем:

> 0;

x ≠ 0;

x >1;

2 >1

x < −1;

−1 > 0;

3 + 5

2 ≠ 2;

x ≠ ± 2; x

x2 −1 ≠1;

3 ±

−1

= x

−3x +1 = 0

x =

3 +

Ответ: x =

Пример. Решите неравенство: log2 (2 −5x)< −2 .

Решение. ОДЗ:

2 −5x > 0

x < 2 .

Учитывая, что

2 −2

−2 = log2

переходим к равносильному неравенству

−2

log2 (2 −5x)< log2

Так как

основание

a = 2 <1,

то

она

убывает

на

своей области

определения (при

t > 0). Тогда получим:

−2

−5x >

−5x > 0,25 x < −0,05.

log2 (2 −5x)< log2

3 3

Ответ: x < −0,05 .

Пример. Решите неравенство: log3(5 −4x) < log3 (x −1).

Решение. Так как основание логарифмической функции

y = log3 t

равно

3>1, то она возрастает на

своей

области

определения

(при t > 0).

Тогда

исходное неравенство равносильно системе неравенств

x −1 > 0;5 −4x > 0;

5 −4x < x −1;

Ответ: x (1,2; 1,25).

	1;
x >	1;
	5		6		5
	5	;	6	< x <	5	.
x <	4	;	5	< x <	4	.
	4		5		4
	6	;
x >	5	;
	5

Пример. Решите неравенство: log1 (x +1)≤ log1 (3x −5).

5	1		5
Решение. Так как основание a =	1	<1,	то логарифмическая функция
	5

убывает на своей области определения. Тогда исходное неравенство равносильно системе неравенств

		x +1 > 0;			x > −1;
		x +1 > 0;				5		5
			5 >	0;		5	;	5	< x ≤ 3.
		3x −	5 >	0;	x >	3	;	3	< x ≤ 3.
						3		3
		x +1 ≥ 3x −5;			x ≤	3;

5
Ответ: x	3	; 3 .
	3

Пример. Решите неравенство: logx2 +4(4x +7) ≥1.

Решение. ОДЗ: 4x +7 > 0 x > − 74 . Исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств

	2	+ 4 >1;				2	> −3;
x		+ 4 >1;			x		> −3;
			2	1		2	− 4x −3 ≤ 0;
4x + 7 ≥ (x				+ 4) ;	x		− 4x −3 ≤ 0;


x	2 + 4 > 0;				x	2	> −4;
	2 + 4 <1;						< −3;
x	2 + 4 <1;				x	2	< −3;
4x + 7 > 0;					4x > −7;
4x + 7 ≤ (x2 + 4)1					x2 − 4x −3 ≥ 0.

Вторая система совокупности не имеет решений, т.к. не имеет решений неравенство x2 < −3. Первая система равносильна неравенству x2 − 4x −3 ≤ 0, решением которого является отрезок 2 − 7 ≤ x ≤ 2 + 7 .

Ответ: x 2 −7; 2 + 7 .

Пример. Решите неравенство: logx2 −3 (4x +7)< 0 .

Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности систем неравенств

	2 −3 >1;
x	2 −3 >1;
			> 0;
4x +7			> 0;
			<	(	x	2	)	0 ;
				(			)
4x +7							−3
	2 −3		> 0;
x	2 −3		> 0;
	2	−3	<1;
x		−3	<1;
			> (x			2	−3)	0
								0

4x +7

	2 > 4;					x > 2;
x	2 > 4;
			7			x < −2;
	> −		7	;			7			3
x	> −		4	;			7	< x < −		3	;
			4		−			< x < −			;
			3				4			2
x	< −		2	;		x >			3;
			2
					x < −				3;
x2 > 3;
	2	< 4;			−2 < x < 2;
x		< 4;
			3		x > − 3 .
x	> −		3					2
								2
			2
			2

Первая система не имеет решений. Решение второй системы: 3 < x < 2.

Ответ: x (3; 2).

Пример. Решите неравенство: logx2 −1 (3x −1)< logx2 −1 x2 .

Решение. Исходное неравенство равносильно совокупности систем

	x2		> 0;		x2 > 2;
		2	−1 >1;						1
	x	2	−1 >1;						1	;
			−1 > 0;		x		>		3	;
3x			−1 > 0;				2		3
			−1< x2;				2	−3x
	3x		−1< x2;		x			−3x
							2
	x2		−1 > 0;			x	2		>1;
	x2		−1 > 0;			x			>1;
							2 < 2;
		2	−1<1;		x		2 < 2;
	x		−1<1;				2 ≠ 0;
		2	> 0;		x		2 ≠ 0;
	x		> 0;
				2			2	−3x
					x			−3x
	3x		−1 > x ;

+1 > 0;

+1< 0;



	x >
	x >				2;


	x < −				2;

		1
		1		;
x >		3		;
		3
			3		+		5	;
	x >				2			;
					2
			3		−	5		;
	x <				2			;
					2
	x >1;
	x >1;

	x < −1;



− 2 < x < 2;
x ≠ 0;

	3 −			5					3 +	5
	3 −			5	< x <				3 +	5	.
	2				< x <				2		.
	2								2

Решение первой системы: x >	3 +	5	. Решение второй системы:
Решение первой системы: x >	2		. Решение второй системы:
	2

1 < x < 2 .

Ответ: x (1; 2 ) 3 +25 ; +∞ .

4.6. Системы показательных и логарифмических уравнений

При решении показательных и логарифмических систем уравнений используются методы и подходы, как и при решении показательных и логарифмических уравнений. Необходимо учитывать условия существования входящих в систему уравнений логарифмических выражений, следить за равносильностью преобразований.

2x 3y =12,

Пример. Решить систему уравнений

2y 3x =18.

Решение. Перемножив почленно левые и правые части системы, получим

2x+y 3x+y =12 18 или 6x+y = 63

x + y = 3.

Решая полученное уравнение с одним из уравнений системы, получим

равносильную систему:

=12,

12,

x + y = 3,

y = 3 − x.

Решим первое уравнение системы:

2x 33−x =12 или

2x 27

=12, 2

= 12

, 2

x =

4 ,

откуда x = 2, тогда y = 3 − 2 =1.

Ответ: (2;1).

log3 x +log3 y = 2 +log3 2,

Пример. Решить систему уравнений

(x + y)=

log27

Решение. Область определения системы

x > 0 ,

y > 0 . Так как log3 9 = 2,

то первое уравнение системы примет вид

log3 (x y)= log3 (9 2)

=> xy =18 .

Из второго уравнения системы по определению логарифма получим

x + y = 273 или x + y = 9 . Тогда получим равносильную систему уравнений:

x + y = 9,

xy =18.

Ответ: (3;6), (6;3).

2 3

x+y

= 56,

Пример. Решить систему уравнений

3 2x +3x+y+1 =87.

Решение. Преобразуем второе уравнение, получим

+2 3

x+y

= 56,

x+y

= 56,

3 =87;

+3x+y = 29.

3 2x +3x+y

Вычитая из первого уравнения второе, получим

2 3x+y −3x+y = 27 или 3x+y = 27 , откуда x + y = 3 . Тогда второе уравнение последней системы примет вид

2x +33 = 29 или 2x = 2 => x =1.

Так как x + y = 3 и x =1, то y = 3 −1 = 2 .

Ответ: (1;2).

x y−2 = 4,

Пример. Решить систему уравнений

x2x−3 = 64.

Решение. Область определения x > 0 . Прологарифмировав обе части каждого из уравнений системы по основанию 2, получим систему уравнений

y−2

= log

(y −2)log

x = 2,

log

2 y−3

или

x = 6.

= log

64;

(2 y −3)log

log

Разделив первое уравнение последней системы на второе, получим

			y − 2	= 1	или 3y −6 = 2y −3 , =>				y = 3.
			2y −3	= 1	или 3y −6 = 2y −3 , =>				y = 3.
			2y −3	3
Подставив	значение			y = 3 в одно		из уравнений последней системы,
например в первое, получим
		(3 −2)log2 x = 2 или log2 x = 2 , т.е. x = 4 .
Ответ: (4;3).
						xlg y =100,
Пример. Решить систему уравнений
Пример. Решить систему уравнений
							x	=10.
								=10.
						y
Решение.	Область			определения системы					уравнений x > 0 , y > 0 .
Логарифмируем первое уравнение по основанию 10, получим
			lg x lg y = lg100 или lg x lg y = 2 .
Получим равносильную систему уравнений:
	lg x lg y = 2,				lg x lg y = 2,		lg(10y) lg y = 2,
					lg x lg y = 2,		lg(10y) lg y = 2,
	x		=10;
					x =10y;		x =10y.
					x =10y;		x =10y.
	y

Упростим первое уравнение полученной системы:

(lg10 + lg y)lg y = 2 , (1+ lg y)lg y = 2 или lg2 y +lg y −2 = 0 ,

откуда, решив последнее уравнение, как квадратное, имеем

lg y = −2 и lg y =1,
y	=10−2 , y	2	=10.
1		2
Так как x =10y , то x1 = 0,1;	x2 =100.
Ответ: (0,1;0,01), (100;10).
				1−lg(3x−y)		= 2,
Пример. Решить систему уравнений		10				= 2,
Пример. Решить систему уравнений
		4x2			− y −15 = 0.

Решение. Область определения системы 3x − y > 0. Упростим первое уравнение системы, используя основное логарифмическое тождество:

10 10−lg(3x−y) = 2 или 10lg(3x−y)−1 = 15 .

Откуда 3x − y = 5 , тогда получим равносильную систему уравнений

4x2 − y =15,

3x − y = 5.

Вычитая из первого уравнения второе, получим

							4x2 −3x −10 = 0,
находим x	= 2	, x = − 5 ,			тогда y =3x −5 y =1;			y	2	= −35	, обе пары
1		2	4				1		2	4
			4							4
удовлетворяют условию 3x − y > 0.
			−	5	;−	35
Ответ: (2;1),			−	4	;−	4	.
				4		4

4.7.Задания для самостоятельного решения

4.1.Найти логарифмы чисел по основанию 2:

1)	2.		2)	1.						3)	4.						4)	8.								5)	64.
6)	81.		7)	12 .						8)		1		.			9)	1			.					10)
												1						1												2.
												16						64												2.
11) 3			12)			1		.		13) 2 3							14)		1						.	15)		4				.
		2.				1									2.				1									4

					3 2														25					2				4 8
					3 2														25					2				4 8
		4.2. Найти логарифмы чисел по основанию 5:
1)	25.		2)	125.						3)	0,2.						4)	0,04.								5)	625.
						1					5							5										7
			7)						.	8)						.	9)					5									5
																						5									5
6)	5 5.																						.			10)							.
				25							3
				25			5				3		25					5		5									625

<<< < Предыдущая 1 2 3 45 / 65 6 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20222.03 Mб1Методическое пособие 523.pdf
#
30.04.20222.03 Mб18Методическое пособие 524.pdf
#
30.04.20222.04 Mб4Методическое пособие 525.pdf
#
30.04.20222.05 Mб3Методическое пособие 526.pdf
#
30.04.20222.05 Mб4Методическое пособие 527.pdf
#
30.04.20222.07 Mб16Методическое пособие 528.pdf
#
30.04.20222.08 Mб5Методическое пособие 529.pdf
#
30.04.2022611.33 Кб21Методическое пособие 53.doc
#
30.04.2022319.44 Кб1Методическое пособие 53.pdf
#
30.04.20222.08 Mб12Методическое пособие 530.pdf
#
30.04.20222.1 Mб3Методическое пособие 531.pdf