4.2. Определение логарифма и его свойства
Определение. Логарифмом от числа b по данному основанию a
называется показатель степени c , в который надо возвести основание |
a , |
|||||
чтобы получить заданное (логарифмируемое) число |
b. |
|
|
|||
Логарифм обозначается |
так: loga b = c, где |
а −основание логарифма, |
||||
b −заданное (логарифмируемое) число (a > 0, |
b > 0, |
a ≠1). |
|
|
||
Из определения логарифма можно записать показательное уравнение |
|
|||||
|
|
ac = b. |
|
|
|
|
Заметим, что каждая из функций y = ax |
и y = loga x (a > 0, a ≠1) |
является |
||||
обратной по отношению к другой. |
|
|
|
|
||
Логарифмы чисел по основанию 10 принято обозначать, lg x и называют |
||||||
десятичными |
логарифмами. |
А логарифмы чисел по основанию |
e , |
где |
||
e = 2,7182K , |
принято обозначать ln x −их |
называют натуральными |
||||
логарифмами. |
Таким образом, log10 x = lg x, |
loge x = ln x. |
|
|
||
Пример. Записать с помощью знака логарифма:
|
|
|
|
а) 52 |
= 25; |
б) 8−3 = |
1 |
. |
|
Решение. |
|
|
512 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
а) Т.к. |
основание |
степени |
есть 5, показатель степени |
||||||
(логарифм) равен 2, а степень равна 25, то log5 25 = 2 . |
|||||||||
б) Основание степени есть 8, показатель степени (логарифм) равен −3, а |
|||||||||
степень равна |
|
1 |
, то log |
|
1 |
= −3. |
|
|
|
512 |
8 512 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
||||
Пример. Найти логарифмы данных чисел по известным основаниям: a) log2 16; б) log6 36; в) log8 1.
Решение. а) здесь нужно найти такой показатель степени x , что 2x =16.
Решая это уравнение, получаем |
2x = 24, откуда x = 4 . Итак, log2 16 = 4. |
|
б) из уравнения 6x = 36 |
находим, 6x = 62, |
то есть x = 2 . Значит, |
log6 36 = 2. |
|
|
в) в данном случае имеем уравнение 8x =1. |
Это возможно только при |
|
условии, что x = 0, откуда log8 1 = 0. |
|
|
Пример. Определить x по заданным условиям:
62
a) log4 x = −3; б) logx |
1 |
= |
3 . |
|
8 |
|
2 |
Решение. а) по определению логарифма, запишем x = 4−3, откуда x = 641 .
б) согласно определению логарифма получаем уравнение x3
2 = 81.
Так как 18 = 2−3 и x3
2 = 
x3 ,то оно примет вид 
x3 = 2−3. Возведем обе части последнего равенства в квадрат:
|
|
|
2 |
|
( |
|
−3 |
) |
2 |
|
3 |
−6 |
|
|
−2 |
|
1 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
= |
2 |
|
|
|
x = 2 |
|
|
x = 2 |
|
x = |
4 |
. |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
Свойства логарифмов |
(x > 0, |
a > 0, |
a ≠1) |
|
|
||||||||||||
1º. Логарифм единицы равен нулю: loga 1 = 0.
2º. Логарифм основания равен единице: loga a =1, (loga an = n).
3º. Основное логарифмическое тождество: aloga x = x. 4º. Формула для логарифма произведения:
loga (x1 x2 ) = loga x1 +loga x2, x1 > 0, x2 > 0.
5º. Формула для логарифма частного:
|
|
log |
|
|
x1 |
= log |
a |
x −log |
x |
|
, |
x > 0, |
||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
a x |
|
|
1 |
a 2 |
|
1 |
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6º. Формула для логарифма степени: |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
loga x p = p loga x, |
p R . |
||||||||
7º. log |
a |
m x = |
loga x, |
m R, |
|
|
|
|
||||||||
m |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
log |
a |
m x p = |
loga x, |
log |
a |
m xm = loga |
||||||||
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
||||
8º. Формула перехода к новому основанию:
loga x = |
logb x |
, |
b > 0, b ≠1. |
|
logb a |
||||
|
|
|
x2
x,
>0.
m, p R.
63
9º. loga x = log1x a .
4.3.Тождественные преобразования показательных
илогарифмических выражений
Преобразование показательных и логарифмических выражений основаны на применении основных свойств соответствующих функций, показателя степени и свойств логарифмов.
Пример. Вычислить: 4−2log4 3 .
Решение. Используя свойства степеней и основные логарифмические тождества, получим
4−2log4 3 = (4log4 3)−2 = 3−2 = 19.
3
Пример. Вычислить: (3
5)log2 5 .
Решение. Используя свойства логарифмов (3º, 9º), получим
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
log2 |
5 |
|
|
log |
|
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
log |
|
5 |
|
|
||||||||||
( |
3 |
5)log2 |
5 |
|
|
53 |
|
|
=5 |
|
|
= 2. |
|||||||
|
= |
|
|
|
|
2 |
|
=5 |
5 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Вычислить: log3(log2 (lg100)).
Решение. По свойствам логарифмов (6º, 1º) lg100 можно записать так
lg100 = lg102 = 2lg10 = 2.
Тогда получим
log3(log2 2) = log31 = 0.
Пример. Вычислить log49 16 , если log14 28 = a. Решение. Используя свойство 7º логарифмов, получим
log49 16 = log72 42 = log7 4 = log7 22 = 2log7 2.
Пусть log7 2 = x, тогда log49 16 = 2x . Далее имеем
64
log |
|
28 = log7 28 = log7 |
(4 |
7) = log7 4 |
+log7 7 |
= 2x +1. |
|
|||
14 |
log7 14 log7 |
(2 |
7) |
log7 2 |
+log7 7 |
x +1 |
|
|||
|
|
|
||||||||
По условию log14 28 = a, тогда получим уравнение |
|
|
|
|||||||
2x +1 |
= a, 2x +1 = ax + a, (2 − a)x = a −1, x = |
a −1 |
, |
|||||||
x +1 |
2 − a |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
тогда |
|
|
|
|
2(a −1) |
|
|
|
|
|
|
|
log49 16 = 2x = |
. |
|
|
|
||||
|
|
2 −a |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Часто приходится логарифмировать обе части данного выражения или, напротив, потенцировать. Логарифмирование – это преобразование, при котором логарифм выражения с переменными приводится к сумме или разности логарифмов переменных. Потенцирование – это действие, обратное логарифмированию.
Пример. Дано x = 3 |
|
|
: |
2b |
|
, a > 0, |
b > 0, c > 0. |
Найти lg x. |
|||||||||||||||
|
ac |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a2c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Логарифмируя обе части равенства, получим |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
a2c |
|
|
|
|
a2c |
|
|||||
lg x = lg |
3 ac : |
|
3 ac |
= lg 3 ac |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
= lg |
|
+lg |
|
= |
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2b |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
c |
|
|
|
|
|
2b |
|
|
|
|
|
|||||
=lg(ac) 13 +lg(a2c) −lg(2b) = 13 lg ac +lg a2 +lg c −(lg2 +lgb) =
=13 lg a + 13 lg c +2lg a +lg c −lg2 −lgb = 73 lg a + 43 lg c −lg2 −lgb.
Пример. Найти x |
по данному его логарифму: lg x = |
3 lg a − |
4 lgb, a > 0, |
|
|
2 |
3 |
b >0.
Решение. Воспользовавшись свойствами логарифмов и потенцируя обе части равенства, получим
|
|
|
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
a |
|
|
a3 |
|
|
a |
|
|
a |
|
|
||||
lg x = lg a |
2 |
−lgb |
3 |
= lg |
= lg |
|
|
= lg |
a |
x = |
a |
. |
||||||||||
|
|
|
4 |
|
|
|
|
b3 |
|
|
b3 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
b |
3 |
|
3 b4 |
|
|
b |
|
b |
|
||||||
65