Добавил:

mihail1000 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Воронежский государственный технический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

Методическое пособие 503

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

30.04.2022

Размер:

1.94 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Колебания решений около нуля соответствуют периодам спада и подъема в экономике.

На рис. 1.2 приведены графики решений дифференциального уравнения 2-го порядка

y′′ + 0, 2 y′ + 0,25 y = 0, k = 0, 2; ω2 = 0, 25,

для различных начальных условий, которые отмечены на каждом рис. 1.2.

Рис. 1.2. Решение дифференциального уравнения с различными начальными условиями

Уравнения такого вида при различных значениях k ³ 0 и ω описывают затухающие колебания.

1.2. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ). Основные понятия

Системой ОДУ n-го порядка называется совокупность ДУ каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные:

F (x, y , y′, y′′,..., y(k1 ) , y

, y′ , y′′,..., y

(k2 ) ,..., y

, y′

, y′′,..., y(kn ) ) = 0,

1 1 1

2 2

n n

F (x, y , y′, y′′,..., y(k1 )

, y

, y′

, y′′,..., y(k2 )

,..., y

, y′

, y′′

,..., y(kn ) ) = 0,

1 1 1

2 2

......................................F (x, y , y′, y′′,..., y(k1 )

............................................................

, y

, y′

, y′′,..., y(k2 )

,..., y

, y′

, y′′

,..., y(kn ) ) = 0,

1 1 1

2 2

система (1.4) может быть записана в канонической форме:

(k1 )

f (x, y , y′, y′′,..., y(k1 −1) , y

, y′ , y′′,..., y(k2 −1) ,..., y

, y′

, y′′,..., y(kn −1) ),

1 1 1

2 2

n n

(k1 )

(x, y , y′, y′′,..., y(k1 −1)

, y

, y′ , y′′

,..., y(k2 −1)

,..., y

, y′ , y′′

,..., y(kn −1) ),

1 1 1

2 2

n n

...,

)

(x, y , y′, y′′,..., y

(k −1)

, y

, y′ , y′′,..., y

−1)

,..., y

, y′ , y′′,..., y

n − ),

1 1 1

2 2

n n

в нормальной форме:

dy1

= f (x, y , y

,..., y

dy2 =

f2 (x, y1, y2 ,..., yn ),

...,

	dyn	= f		(x, y , y		,..., y		),
			n		2		n
				1
dx

или в векторной форме:

(1.4)

(1.5)

(1.6)

					dY		= F (x,Y ) или Y ′ = F (x,Y ).															(1.7)
							= F (x,Y ) или Y ′ = F (x,Y ).															(1.7)
					dx
Здесь
y				y′					f (x,Y )				f (x, y , y			2		,..., y	n		)
1				1					1				1		1	2			n
y	2		dY	y′					f	2	(x,Y )		f	2	(x, y , y		2	,..., y		n	)
Y =	2	,	dY	= 2		,		F =		2		=		2	1		2			n		.
Y =		,	dx	= 2		,		F =				=			...							.
...			dx	...				...							...
y	n			y′					f	n	(x,Y )		f	n	(x, y , y		2	,..., y		n	)
	n			n						n				n	1		2			n

При описании систем дифференциальных уравнений удобнее пользоваться векторной формой записи (1.7).

Решением системы (1.7) обыкновенных дифференциальных уравнений называется вектор-функция Y (x) = Φ(x), которая определена и непрерывно

дифференцируема на промежутке (a,b) и удовлетворяет системе (1.7) на этом промежутке.

Задачей Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений называется следующая задача: найти решение Y (x) системы (1.7)

			y1	(x0 )

такое, что Y (x ) = Y , где Y = y2				(x0 ) .
0	0	0	...
0	0	0

			yn	(x0 )

Частным решением системы дифференциальных уравнений называется решение какой-нибудь ее задачи Коши.

Вектор-функция Y = Y (x,C) = Y (x,C1 ,C2 ,...,Cn ), зависящая от n произволь-

ных постоянных C1 ,C2 ,...,Cn называется общим решением системы дифферен- циальных уравнений на отрезке [a,b] , если:

–	при любых	допустимых значениях		постоянных C1 ,C2 ,...,Cn			функция
Y (x,C) является решением системы (1.7) на отрезке [a,b] ;
–	какова бы ни была начальная точка (x0 ,Y0 ) из области определения правой
части системы, существуют такие значения C ,C					,...,C постоянных	C ,C		,...,C	n	,
			1	2	n	1	2		n
что функция Y (x,C ,C ,...,C ) является решением задачи Коши Y (x ) = Y .
	1	2	n		0	0
Пусть Y (x) = Φ(x) − решение системы (1.7),					определенное на [a,b] . Тогда
множество точек {Φ(x)} ,			x [a,b] − кривая в пространстве R n .

Эту кривую называют фазовой траекторией или просто траекторией системы, а пространство Rn , в котором расположены фазовые траектории, фазовым пространством системы.

Пусть Y (x) = Φ(x) − решение системы (1.7), определенное на отрезке [a,b] . Интегральная кривая системы определяется уравнением Y (x) = Φ(x) и изображается в (n + 1) − мерном пространстве R n +1. Фазовая траектория – проекция интегральной кривой на пространство R n .

Пример № 1.6. Задана задача Коши для системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка в нормальной форме:

dy			= y2 ,
	1				y1 (0) = 0,5,

dx
						(0)	= 0,5.
dy2		2			y2	(0)	= 0,5.
			= − y1 − 0,1y2 ( y1	− 1),
			= − y1 − 0,1y2 ( y1	− 1),
dx

В векторной форме эта задача записывается следующим образом:

0,5

− 1)

Y (0) =

0,5

− y1 − 0,1y2 ( y1

или

= F (x,Y ),

Y (x ) = Y , где

Y =

Y (0)

0,5

= 0.

F (x,Y ) =

− y1

−

− 1)

0,1y2 ( y1

0,5

На рис. 1.3 а, изображена интегральная кривая, а на рис. 1.3 б, фазовая траектория решения задачи Коши для исходной системы обыкновенных дифференциальных уравнений 2-го порядка.

а)

б)

Рис. 1.3. Интегральная кривая (а) и фазовая траектория (б) частного решения системы ОДУ

1.3.Связь ОДУ высших порядков и систем ОДУ

Задача Коши для любого дифференциального уравнения n-го порядка,

записанного в нормальной форме, может быть сведена к решению задаче Коши для системы дифференциальных уравнений n– го порядка.

Рассмотрим дифференциальное уравнение n-го порядка:

y(n) = F (x, y, y′, y′′,..., y(n−1) ) = 0,

(1.8)

заданными

начальными

условиями

(1.3).

Обозначим

через

z (x) = y(x),

(x) = y′(x), z (x) = y′′(x),...,

(x) = y( n−1)

(x).

Тогда

F (x, y, y′, y′′,..., y(n−1) ) ≡ F (x, z , z

, z ,..., z

)

и задача Коши

для

уравнения записывается в виде задачи Коши для системы

dz			= z2 ,
	1

dx
	dz2		= z ,
			= z ,
dx			3


........
	dzn−1			= z
	dzn−1				n	,
						,
	dx
	dx
dz		n	= F (x, z1 , z2 ,..., zn ),
		n

dx

z (x ) = y ,
1		0	0
z2 (x0 ) = y1 ,

...........
		(x ) = y
z	n	(x ) = y		n−1	.
	n	0		n−1

Эта задача в векторной форме записывается в виде

= Φ(x, Z ),

Z (x ) = Z

, где Z = ...

zn−1

dz1

dz2

= .....

, Φ(x, Z ) = Φ(x, z , z

,..., z

) =

...

dzn−1

F (x, z1 , z2 ,..., zn )

		y0

		y1
Z	0	= ...	.
	0

yn−2

n−1

Пример № 1.7. Движение материальной точки массы m под действием силы F описывается вторым законом Ньютона ma = F.

Пусть точка движется по оси OX и x(t) − ее абсцисса в момент времени t . Тогда функция x(t) является решением дифференциального уравнения 2-го порядка

m d x = F (x,t). dt 2

Чтобы определить положение материальной точки, движущейся по некоторому закону во все моменты времени t , достаточно знать ее положение x0

и скорость v0 в некоторый начальный момент времени t0 . Иными словами, чтобы выделить единственное решение уравнения движения материальной точки,

достаточно задать два начальных условия x(t0 ) = x0 ,

x′(t0 ) = v0 .

В нормальной форме соответствующая задача Коши записывается в виде

d 2 x

F (x,t),

x(t

) = x , x′(t

) = v .

dt2 m

Сформулируем

эквивалентную

задачу

Коши

для

системы

дифференциальных уравнений второго порядка. Будем использовать принятые в

механике обозначения: x(t) –	абсцисса точки в момент времени t , v(t) – скорость
точки в момент времени t , x0	и v0 –			абсцисса и скорость точки в момент времени
t0 . Тогда
dx		= v(t),

dt					x(t0 ) = x0 ,

			1
dv		=		F (x,t),	v(t0 ) = v0 .
			m
dt

Имеем задачу Коши для системы дифференциальных уравнений второго порядка.

Задачи и упражнения

1.1.Найти уравнение линии, проходящей через точку (1;3) и имеющей касательную, угловой коэффициент которой равен 2x − 3.

1.2.Скорость тела, выходящего из состояния покоя, равна 5t2 м/с по истечении t секунд. Определить путь, который пройдет тело за 3 с.

1.3.Сосуд вместимостью 100 л наполнен рассолом, содержащим 10 кг

растворенной соли. За одну минуту в него втекает 3 л воды и столько же смеси перекачивается в другой сосуд той же вместимости, первоначально наполненной водой, из которого избыток жидкости выливается. В какой момент времени количество соли в обоих сосудах окажется одинаковым.

2. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 1-ГО ПОРЯДКА

2.1. Основные понятия. Методы решения

Дифференциальное уравнение

F (x, y, y′) = 0,	(2.1)
где y = y(x) − неизвестная, непрерывно дифференцируема на интервале	(a,b)

функция, называется обыкновенным дифференциальным уравнением 1-го порядка.

	Функция	y = y(x) называется решением дифференциального	уравнения
(2.1),	если	она непрерывно дифференцируема на интервале	(a,b) и
F (x, y(x), y′(x)) ≡ 0 для всех x из интервала (a,b) .

Уравнение (2.1), разрешенное относительно производной, называют ДУ первого порядка, разрешенным относительно производной, и записывают в виде

	dy	= f (x, y) или y′ = f (x, y).	(2.2)

	dx
График его решения называют интегральной кривой дифференциального
уравнения.
Дифференциальное уравнение 1-го порядка имеет бесконечно			много

решений. Для того чтобы выделить единственное решение, нужно задать дополнительные (начальные) условия.

Задача отыскания решения y = y(x) уравнения (2.2), удовлетворяющего условию y(x0 ) = y0 , называется задачей Коши (или начальной задачей).

Условие y(x0 ) = y0 называютначальным условием и записывают в виде

y(x0 ) = y0 или y	x= x0	= y0 .	(2.3)

Любое конкретное решение y = y(x) (решение задачи Коши) уравнения (2.2)

называется частным решением уравнения.

Общее решение уравнения (2.1), записанное в неявной форме Φ(x, y) = C,

называется общим интегралом уравнения.

Частное решение уравнения (2.1), записанное в неявной форме Φ(x, y) = 0,

называется частным интегралом уравнения.

Дифференциальное уравнение первого порядка, разрешенное относительно производной, можно записать в дифференциальной форме:

P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0,

(2.4)

где P(x, y) и переменные x виде y = y(x) ,

Q(x, y) − известные функции.	Уравнение (2.4) удобно тем, что
и y в нем равноправны, т.е.	решение может быть найдено как в
так и в виде x = x( y).

Пример № 2.1. Решением уравнения	dy	=	y	-	2	при всех x ¹ 0 является

	dx x x2

функция y = 1 + Cx. Действительно, подставив выражение для y(x) в левую часть

уравнения

+ Cx = -

+ C

и в правую часть уравнения

dx x

+ Cx

+ C -

= -

+ C,

x x

получили тождественное

равенство -

+ C º -

+ C,

справедливое при

всех

x ¹ 0 и при произвольных значениях константы C.

Пример № 2.2.

Решением

задачи

Коши

y(1) =1,

x ¹ 0

dx x

является функция y =

. Действительно, подставив выражение для y(x) в левую и

в правую части уравнения, получим тождественное равенство:

d 1

1 1

= -

;

= -

;

º -

, x ¹ 0.

dx dx x

x x

Начальное условие тоже, очевидно, выполнено:

y(1) = y(x)

x=1 =

=1.

x=1 1

(x - y)5

Пример № 2.3.

Равенство

= C

определяет при всех x ¹ 1 общий

(x -1)3

интеграл уравнения

2x + 3y − 5

Действительно, продифференцировав

5x - 5

равенство для общего интеграла по x и вычислив производную искомого решения y(x) по x , получим тождественное равенство, справедливое при всех x ¹ 1 и при

произвольных значениях константы C :

d	5		dC		d	5
	(x - y)	=		, x ¹ 1,		(x - y)	= 0, x ¹ 1,
	3					3
dx	(x -1)		dx		dx	(x -1)

((x - y)5 ) × (x -1)3 - (x - y)5 ×

((x -1)3 )

(x - y)

(x -1)

dx (x -1)

-5(x - y)

1 -

× (x -1)

- 3(x - y)

× (x -1)

= 0,

(x -

1)6

(x - y)

1 -

× (x -1)

+ 3(x - y)

= 0,

(x -1)4

5 1 -

× (x -1) + 3(x - y) = 0, x ¹ y, x ¹ 1,

=1 -

3(x − y)

2x + 3y − 5

5(x -1)

5x - 5

Пример № 2.4. Равенство

(x - y)5

=12 определяет при всех x ¹ 1 частный

(x -1)3

интеграл задачи Коши

2x + 3y − 5

y(0) =1,

x ¹ 1.

5x - 5

Продифференцировав

исходное

равенство

для

частного интеграла

по x и

вычислив производную искомого решения

y(x)

по x , получим тождественное

равенство, справедливое при всех x ¹ 1:

(x - y)

d12

x ¹ 1,

(x - y)

= 0, x ¹ 1.

dx (x -1)

Рассуждаем так же,

как

в примере 2.3.

Условия Коши тоже,

очевидно,

выполнены:

(x - y)5

(0 -1)5

=1.

(x -1)3

x = 0, y =1

(0 -1)3

2.2. Уравнения с разделяющимися переменными

Уравнением с разделенными переменными называется дифференциаль-

ное уравнение вида

f (x)dx + g( y)dy = 0

(2.5)

с непрерывными функциями f (x) и g( y) . Равенство

∫ f (x)dx + ∫ g( y)dy = C,

где C – произвольная постоянная, определяет общий интеграл уравнения (2.5). Начальное условие для уравнения (2.5) можно задавать в виде y(x0 ) = y0 или

x( y0 ) = x0 .

Уравнением с разделяющимися переменными называется дифференци-

альное уравнение вида


	f1 (x) × g1 ( y)dx + f2 (x) × g2 ( y)dy = 0.						(2.6)
Функции f1 (x),	f2 (x), g1 ( y),			g2 ( y) непрерывны в своих областях опре-
деления и g1 (x) × f2 (x) ¹ 0.							g1 (x) × f2 (x) ¹ 0 ,
Разделив обе	части уравнения			(2.6) на произведение			g1 (x) × f2 (x) ¹ 0 ,
получим уравнение с разделенными переменными:
		f1 (x)	dx +		g2 ( y)	dy = 0.
			dx +			dy = 0.
		f2 (x)			g1 ( y)

Общий интеграл этого уравнения имеет вид

<<< < Предыдущая 12 / 152 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
30.04.20227.69 Mб5Методическое пособие 50.doc
#
30.04.2022314.43 Кб6Методическое пособие 50.pdf
#
30.04.20221.93 Mб16Методическое пособие 500.pdf
#
30.04.20221.93 Mб2Методическое пособие 501.pdf
#
30.04.20221.93 Mб4Методическое пособие 502.pdf
#
30.04.20221.94 Mб6Методическое пособие 503.pdf
#
30.04.20221.94 Mб4Методическое пособие 504.pdf
#
30.04.20221.94 Mб3Методическое пособие 505.pdf
#
30.04.20221.95 Mб7Методическое пособие 506.pdf
#
30.04.20221.95 Mб12Методическое пособие 507.pdf
#
30.04.20221.95 Mб21Методическое пособие 508.pdf