Методическое пособие 503

Равенство x = ϕ(t ) , t [a,b] − параметрические уравнения фазовой траектории. Интегральная кривая системы изображается в (n + 1) -мерном пространстве

Rx,tn+1 и может быть определена уравнениями

Ясно, что соответствующая фазовая траектория − проекция интегральной кривой на пространство Rx .

На рис. 4.13, а приведено изображение интегральной кривой автономной системы и соответствующей фазовой траектории (рис.4.13, б).

Рис. 4.13. Изображение фазовой траектории автономной системы

Пример № 4.20. Построим интегральную кривую и фазовую траекторию решения задачи Коши

Задачу решим методом исключения:

122

Рис. 4.14. Изображения интегральной и фазовой кривой

4.16. Свойства фазовых траекторий

Рассмотрим автономную систему (4.13) с непрерывно дифференцируемой правой частью. Уравнение x = ϕ(t ) − t [a,b] − параметрическое уравнение

фазовой траектории системы.

Важнейшим свойством решений автономных систем является следующее:

если вектор-функция x = ϕ(t ) − решение автономной системы, то при любой постоянной C вектор-функция x = ϕ(t + C ) тоже является решением системы.

Свойства фазовых траекторий:

1.Две фазовые траектории либо не имеют общих точек, либо совпадают. Это свойство фазовых траекторий означает, что фазовое пространство "расслаивается" на непересекающиеся фазовые траектории;

2.Если a − точка равновесия автономной системы, то x = a − фазовая траектория системы. Положение равновесия называют точкой покоя автономной

системы;

3. Фазовая траектория, отличная от точки − гладкая кривая (в каждой точке этой кривой существует ненулевой касательный вектор);

4. Пусть x(t; x(0)) − решение задачи Коши x '= F ( x) , x(0) = x(0) .

Тогда x (t1 + t2 ; x(0) ) = x (t2 ; x (t1; x(0) )) = x (t1; x (t2 ; x(0) )) и x (−t; x (t; x(0) )) = x(0) .

124

Интегральная кривая системы изображается в 3- мерном пространстве Rx, y,t2 . Она задается уравнением

Соответствующая фазовая траектория – это проекция интегральной кривой на фазовую плоскость.

Изобразив на фазовой плоскости несколько фазовых траекторий так, чтобы можно было убедительно предсказать поведение фазовой траектории, проходящей через любую точку фазовой плоскости (некоторой области фазовой плоскости), получим фазовый портрет автономной системы.

На рис. 4.15 приведено изображение фазовых портретов двух автономных систем. Видно, что траектории представленных систем ведут себя по-разному. На рис. 4.15, а приведен фазовый портрет системы, описывающей колебания математического маятника «без трения», на рис. 4.15, б − колебания математического маятника «с трением».

4.18. Векторное поле автономной системы 2-го порядка

Если в каждой точке области G из пространства Rn задан n-мерный вектор F ( x), x G , то говорят, что в области G задано векторное поле.

Векторное поле непрерывно дифференцируемо, если непрерывно дифференцируема функция F ( x) .

Точки векторного поля, в которых F ( x) = 0 , называют особыми точками

векторного поля.

Точка покоя автономной системы − особая точка векторного поля системы. Автономная система (4.13) полностью определяется векторным полем F ( x) .

Рассмотрим автономную систему второго порядка (4.14). Пусть x = ϕ(t ) − решение автономной системы, определенное на отрезке [a,b] . Фазовая траектория, соответствующая решению системы x = ϕ(t ) , определяется параметри-

126

ческими уравнениями x = ϕ(t ) , t [a,b] . В каждой точке M 0 ( x0 , y0 ) этой гладкой фазовой кривой существует касательный вектор ( x '(t0 ) ,y '( x0 )) = F (M 0 ) .

Иными словами, векторное поле F ( x) автономной системы задаёт в каждой точке направление касательной к фазовой кривой, проходящей через эту точку.

Рис. 4.15. Портреты двух автономных систем

На рис. 4.16 приведены фрагменты векторных полей автономных систем и соответствующих фазовых портретов автономных систем с точками покоя разных типов.

127

Рис. 4.16. Векторные поля и соответствующие фазовые портреты автономных систем с разными точками покоя

128

Пример № 4.21. Найдём в точках (0;1), (1;0) и (1;1) векторное поле автономной системы:

x '= −x + 3y ,y '= −x + y .

Вычислим векторное поле в заданных точках:

На рис. 4.17 изображён фрагмент векторного поля в окрестности точки покоя системы, содержащий среди прочих и вычисленные векторы.

Рис. 4.17. Фрагмент векторного поля в окрестности точки покоя

4.19.Точки покоя линейной автономной системы 2-го порядка

спостоянными коэффициентами

Рассмотрим линейную автономную систему 2-го порядка с постоянными коэффициентами x '= A × x :

Такая система имеет единственную точку покоя x = 0, y = 0 .

Характер точки покоя (её устойчивость, асимптотическую устойчивость,

неустойчивость) можно установить по собственным значениям λ1 , λ2 матрицы системы A.

Если λ1 , λ2 − разные действительные отрицательные числа, то точка

покоя асимптотически устойчива, такая точка покоя называется устойчивый узел.

На рис. 4.18 приведен фрагмент фазового портрета в окрестности устойчивого узла.

Рис. 4.18. Фазовый портрет в окрестности устойчивого узла

Если λ1 , λ2 − разные действительные положительные числа, то точка

покоя неустойчива, такая точка покоя называется неустойчивый узел.

На рис. 4.19 приведен фрагмент фазового портрета в окрестности неустойчивого узла.

Рис. 4.19. Фазовый портрет в окрестности неустойчивого узла

130