Методическое пособие 451
.pdf
Рис. 15.3. Изометрия куба
Окружность вписывают в виде эллипсов. Вместо эллипсов упрощенно вычерчиваются овалы. Окружность на фронтальной плоскости приближенно вычерчивается без искажения.
Проще всего использовать упрощенную прямоугольную диметрию.
16. МНОГОГРАННИКИ
Вопрос. Какие многогранники вы знаете?
Различные детали машин, здания, крыши, кристаллы и т.д. при конструировании инженерных сооружений их форму аппроксимируют близкими по форме гранными поверхностями.
Многогранник - замкнутая пространственная фигура, ограниченная плоскими многоугольниками.
Вершины и стороны многоугольников являются
ребрами и гранями многогранника.
Многогранник является выпуклым, если все его вершины находятся на одну от плоскости любой его грани.
Наибольший практический интерес представляют призмы, пирамиды и выпуклые многогранники (тела Платона).
Пирамида – многогранник, одна сторона которого многоугольник, а остальные – треугольники.
Пирамида бывает правильной, если в основании находится правильный многоугольник и высота проходит через его центр.
Пирамида бывает усеченной.
Призма: это многогранник, у которого две грани – равные и параллельные многоугольники, а остальные грани – параллелограммы. 
Призма бывает правильной, если ребра перпендикулярны основанию.
Если стороны – прямоугольники, то призма называется
параллелепипед.
Призматоид. Если основания параллельны, но не равны. Грани представляют из себя треугольники и трапеции.
Антипризма. Призматоид, у которого в основании два равных и параллельных многоугольника, но развернутые на
угол |
180 |
. n – число сторон многоугольика. |
|
n |
|||
|
|
16.1. Тела Платона
Правильный многогранник: все грани равные и правильные многоугольники. Существует 5 типов правильных многоугольгиков, которые были описанв Платоном и поэтому носят его имя.
1.Тетраэдр. 4-х гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в тетраэдр.
2.Гексаэдр. 6-гранник. Грань – квадрат. Вписывается в
октаэдр.
3.Октаэдр. 8-гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в гексаэдр (куб).
4.Додекаэдр. 12-гранник. Грань – правильный пятиугольние. Вписывается в икосаэдр.
5.Икосаэдр. 20-гранник. Грань - равносторонний треугольгик. Вписывается в додекаэдр.
Какая закономерность здесь наблюдается?
Каждому правильному многоганнику соответствует другой с числом граней равному числу вершин данного многогранника. Число ребер у обоих многогранников одинаково.
Правило Эйлера. Число граней (Г), вершин (В) и ребер (Р) тел Платона связаны соотношением:
ГВ Р 2 .
Правильные выпукло-вогнутые многогранники называются звездчатыми.
16.2. Пересечение многогранника плоскостью
При пересечении многогранника плоскостью в сечении получается плоская фигура (называется сечением).
Построение сечения необходимо начинать с характерных точек, произвольные точки строят в последнюю очередь.
Задачу по определению сечения многогранника сводят к задаче пересечения прямой с плоскостью (способ граней) или к задаче пересечения прямых (способ ребер).
Задача 16.1. Построить пересечение четырехгранной призмы с плоскостью a // b .
Решение
1.Заключим ребра призмы в горизонтально-
проецирующие плоскости h 1, h 2 , h 3, h 4 (рис. 16.1).
86
2. Найдем точки пересечения h 1, h 2 , h 3, h 4 с плоскостью a // b .
3.Найдем точки пересечения этих прямых с ребрами на фронтальной проекции.
4.Соединим эти точки и получим сечение на фронтальной проекции призмы.
5.Построим горизонтальную проекцию сечения.
Рис. 16.1. Решение задачи 16.1
Задача 16.2. Определить сечение трехгранной призмы SABC горизонтально-проецирующей плоскостью , заданной следами ho .
Решение
M1 
ho
S1A1 ;
87
N1 |
ho |
S1B1 ; |
K1 |
ho |
S1C1 ; |
Построили точки M 2 , N2, K2 .
Соединив их получим искомое сечение (рис. 16.2).
S2 |
|
|
N2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M2 |
|
|
|
B2 |
||
|
A2 |
|
|
K2 |
||
|
|
|
|
|||
ho |
|
|
|
C2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
||
|
A1 |
|
|
|
|
|
M1 |
|
|
|
B |
||
S1 N1 |
|
|
1 |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
K1 |
|
C |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
1 |
|
|
Рис. 16.2. Решение задачи 16.2
Задача 16.3. Определить сечение 5-гранной призмы
ABCDE , ребра которой |
x секущей плоскостью |
h f |
(рис.16.3). |
|
|
|
Решение |
|
88
Так как |
ребра |
призмы |
|
оси |
x , то точки их |
|||
пересечения |
с |
h |
f |
совпадают |
с |
горизонтальными |
||
проекциями ребер ( A1, B1,C1, D1, E1). |
|
|
|
|||||
Решение сводится к нахождению недостающей |
||||||||
проекции точки |
h |
f . |
|
|
|
|
||
|
|
A2 |
|
B2 E2 |
D2 C2 |
|
||
|
|
|
|
|
52 |
|
|
|
|
|
12 |
|
22 |
|
|
42 |
X |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
32 |
|
|
|
|
|
|
B1 |
51 |
|
|
|
C1 41
A |
1 |
D1 31 |
1 |
1 |
|
E1 21
Рис. 16.3. решение задачи 16.3
16.3. Пересечение многогранника прямой
89
Задача пересечения многогранника прямой сводится к известной схеме пересечения прямой плоскостью.
Если многогранник выпуклый, то прямая пересекает многогранник в двух точках.
Задача 16.4. Найти точки пересечения прямой l с призмой.
Решение
Проведем косоугольное проецирование (параллельно
ребрам призмы). Проекция |
призмы на |
1 совпадает с |
проекцией основания призмы (рис.16.4). |
|
|
Проекция прямой l1 |
l1. |
|
l1, l1 // ребрам призмы.
A, B - точки пересечения прямой призмы. Определяем видимость прямой.
l |
2 |
C2 |
|
A2
x
A1
A1 |
C |
|
1 |
C1 |
l1 |
90 |
l1
Рис. 16.4. Решение задачи 16.4
16.4. Пересечение многогранников Задача 16.5. Построить пересечение прямой призмы и
наклонногой пирамиды.
|
|
|
Решение |
|
|
|
|
|
1. Точки 1, 2, |
3 находим как пересечение ребер с |
|||||
гранью призы. Получим сечение 123 (рис.16.5). |
|
||||||
|
B2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
72 |
|
|
|
|
62 |
|
|
|
22 |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
82 |
52 |
|
|
D2 |
|||
|
|
|
|
|
32 |
|
|
|
C2 |
|
|
12 |
|||
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
A2 |
|
|
|
|
|
|
|
B1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
71 |
|
|
21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
61 |
81 |
|
|
11 |
D1 |
||
|
A1 |
41 |
|
31 |
|
||
|
51 |
|
|||||
|
|
C1 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
91 |
|
|
|
|
Рис.16.5. решение задачи 16.5
2.Для построения сечение 45678 необходимо провести вспомогательную горизонтально-проецирующую плоскость через крайнее левое ребро призмы. Находим точкипересечения этой плоскости с гранями пирамиды (т. 6 и т. 8). Точки 4, 5, 6, 7 получим на пересечении ребер пирамиды
сгранями призмы.
3.Определим видимость призмы и пирамиды.
Вопросы для самопроверки:
1.Какие аксономитрические проекции вы знаете?
2.Что такое многогранник? Приведите примеры.
3.Что такое тела Платона?
4.Как построить пересечение многогранника плоскостью?
5.Как построить пересечение многогранника прямой?
6.Как построить пересечение многогранников?
17.СПОСОБЫ ПОСТРОЕНИЯ РАЗВЕРТОК
Развертка – плоская фигура, составленная из граней поверхностей, совмещенных с одной плоскостью.
Существует много способов построения разверток. Мы рассмотрим три:
1.способ нормального сечения;
2.способ раскатки;
3.способ треугольников (триангуляции).
1 и 2 способы применяются для построения разверток призм, третий – для развертки пирамид.
17.1. Способ нормального сечения
92