Методическое пособие 451
.pdf
Рис. 18.6. Кривая пространственая.
18.3. Ортогональные проекции кривой линии
Задача 18.1.
Дано: кривая в пространстве. Надо: построить ее проекции.
Решение
Спроецируем несколько точек и соединяем их плавной кривой (рис. 18.7).
2
1
Рис. 18.7. Проекции кривой линии
Задача 18. 2.
Дано: проекции кривой.
Надо: определить форму кривой.
Решение
Найдем проекцию какой-либо точки.(рис.18.8).
103
x
Рис. 18.8. Кривая линия Нельзя судить о форме кривой, если не задана хотя бы
одна ее точка.
Задача 18.3.
Дано: две проекции кривой (рис. 18.9). Определить: плоская или пространственная кривая.
Решение
Возьмем т., А, В и С. Заключим кривую в плоскость (A,B,C) . Возьмем произвольную т. К и посмотрим, лежит ли
она в этой плоскости. Т. К не принадлежит (A,B,C) .
B2 K2
A2
C2
A1
C1
B1 |
K1 |
Рис. 18.9. Решение задачи 18.3
104
Ответ: кривая пространственная.
18.4.Классификация точек
1.Кривая,
состоящая из
регулярных точек
называется плавной.
2. |
|
Особая |
|
По ч. стрелке |
|
|
|
|
|
||
точка, |
та, |
где |
|
M |
|
направление движения |
|
|
|
||
или |
поворота |
Против ч. стрелки |
|||
касательной |
|
||||
|
|
|
|
||
изменяются. Это точка |
|
|
|
||
перегиба М. |
|
|
|
|
|
3.Точка |
|
|
nM 2 |
|
|
2 |
|
возврата первого рода |
|
||
|
|
||
или заострения (т. М). |
tM |
M |
|
Две |
ветви |
|
|
располагаются |
по |
|
|
|
|
105 1 |
nM1 |
одну сторону от нормали.
4.Точка возврата второго рода. Две ветви располагаются по одну сторону от нормали и касательной.
5.Угловая точка (точка излома).
Две касательных и две нормали.
6.Узел или многократная точка:
кривая пересекает сама себя.
t1
M
t2
tM 
M
2
1 nM
t1 t2
n2
M
n1
t1 |
t2 |
|
M |
Узловая точка
t1,t2
M
106 t3
Двойная точка |
Тройная точка |
18.5. Кривые линии второго порядка
Кривые линии, которые описываются
алгебраическими уравнениями 2-го порядка – это линии 2-го порядка.
Общее уравнение такого вида:
|
Ax2 |
|
2Bxy Cy2 2Dx 2Ey F 0 . |
||
Частные случаи: |
|
||||
Эллипс: |
|
x2 |
|
y 2 |
1 |
|
a 2 |
|
b2 |
||
|
|
|
|
||
b
a
Окружность: x2 y2 r 2
|
|
|
|
r |
Гипербола: |
x2 |
|
y 2 |
1 |
a 2 |
|
b2 |
||
|
|
|
||
|
|
|
|
107 |
|
|
гипербола |
||
парабола
Парабола: y2 2 px
Рассмотрим, какие фигуры получаются при пересечении фигур плоскостью (рис. 18.10, 18.11)?
эллипс
окружность
эллипс
парабола
гипербола
Эпициклоида (траектория движения сателлита в редукторе)
108
Циклоида |
гипоциклоида |
Рис. 18.10.Кривые линии 2-го порядка
Рис. 18.11. Спираль Архимеда
Спираль Архимеда 
k образуется при равномерном движении точки по радиусу при его равномерном вращении
18.6. Винтовые линии
Из пространственных кривых в технике широкое применение находят винтовые линии. Например6 резьба, червяк и др. Резец при точении оставляет след в виде винтовой линии.
Цилиндрическая винтовая линия.
Винтовая линия образуется при перемещении т. А по поверхности цилиндра по образующей Е при равномерном вращении этой образующей (рис.18.12).
C |
C |
O |
C |
|
|||
|
|
|
|
A12 |
|
|
A0 |
|
109 |
|
|
Ao E |
Ao |
O |
|
|
|
E
E
Рис. 18.12. Винтовая линия Т.А сделав 1 оборот приходит в положение А12.
расстояние АоА12 называется шагом винтовой линии. ОАо – радиус винтовой линии.
ОО
- ось винтовой линии.
|
Фронтальная |
Правая спираль |
|
проекция |
|
|
|
|
|
(синусоида) |
|
x |
Горизонтальная |
Левая спираль |
|
проекция |
|
|
(окружность) |
|
Развертка винтовой линиипрямая. Угол 
- угол подъема винтовой линии (рис.18.13).
O
Рис. 18.13. Развертка винтовой линии
Конические винтовые линии (рис. 18.14).
110
Рис. 18.14. Проекции конической винтовой линии – синусоида с уменьшающейся стороной
испираль Архимеда
18.7.Построение проекций окружности общего положения
Дано: плоскость h f пересекающаяся в центре
окружности радиусом r .
Надо: построить окружность.
Решение
Решение показано на рис.18.15.
Рис. 18.15. Проекции окружности общего положения
18.8. Пересечение конуса плоскостью, заданной следами.
Точки L и P - границы видимости. Для построения сечения воспользуемся фронталью f 
, проходящей через т.
O1 . Построение показано на рис. 18.16.