3. ИНТЕРПОЛИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ
3.1. Интерполяционная формула Лагранжа
Пусть функция y = f (x) определена таблицей
|
xi |
x0 |
x1 |
………. |
|
xn |
|
|
yi |
y0 |
y1 |
………. |
|
yn |
|
Значения аргументов |
{xi } (i = 0, 1,...., n) |
будем называть |
|||||
узлами интерполяции.
Задачей интерполяции является построение многочлена L(x) , значения которого в узлах интерполяции xi равны
соответствующим значениям заданной функции, т.е.
L(xi ) = yi (i = 0, 1,...., n) .
29
|
Интерполяционной |
формулой |
Лагранжа называется |
||||||
формула, представляющая многочлен L(x) в виде |
|||||||||
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
L(x) = |
∑ yi pi |
(x), |
|
(3.1) |
||
|
|
|
|
|
i=0 |
|
|
|
|
где |
pi (x) |
- многочлен степени n, |
принимающий значение, |
||||||
равное единице |
в узле |
xi |
и нулю |
в |
остальных узлах |
||||
xk |
(k ≠ i) |
(i, k = 0, 1,...., n) , и имеющий вид |
|
|
|||||
|
pi (x) = |
(x − x0 )(x − x1)...(x − xi−1)(x − xi |
+1)...(x − xn ) |
|
|||||
|
(xi − x0 )(xi − x1)...(xi − xi−1)(xi − xi+1)...(xi − xn ) |
||||||||
|
|
||||||||
|
Многочлен |
L(x) |
называют |
интерполяционным |
|||||
многочленом Лагранжа. Заметим, что степень многочлена Лагранжа не превышает числа n.
Пример 1. Пользуясь интерполяционной формулой Лагранжа, составить уравнение прямой, проходящей через
точки P0 (x0 , y0 ) и P1(x1, y1) , если
x0 = −1, y0 = −3, x1 = 2, y1 = 4 .
Решение. В данном случае многочлен Лагранжа примет вид
L(x) = y |
|
x − x1 |
+ y |
x − x0 |
= −3 |
x − 2 |
+ 4 |
x +1 |
= 7 x − 2 . |
|||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
0 x |
0 |
− x |
1 x − x |
0 |
|
−1− 2 |
2 +1 |
3 |
3 |
||||
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Уравнение искомой прямой есть y = 7 x − |
2 . |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
y = f (x) |
|
|
3 |
3 |
|
|
[x0 , xn ]. |
||
Пусть функция |
определена на отрезке |
|||||||||||||
Возьмем на этом отрезке множество точек {xi } (i = 0, 1,...., n) |
||||||||||||||
и выберем их в качестве узлов интерполяции. Построив многочлен Лагранжа L(x) для системы узлов {xi }, положим
30
f (x) ≈ L(x) x [x0 , xn ].
При этом в узлах интерполяции имеем
f (xi ) = L(xi ) (i = 0, 1,...., n).
Если функция f (x) на отрезке [x0 , xn ] имеет непрерывные
производные до (n+1) – го порядка включительно, то погрешность интерполяционной формулы в каждой точке этого отрезка оценивается неравенством
|
|
|
|
|
|
f (x) − L(x) |
|
|
≤ |
|
M n+1 |
|
|
Пn+1(x) |
|
, |
|
(3.2) |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
где |
|
|
|
|
|
|
(n +1)! |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
M |
n+1 |
= |
max |
|
f (n+1) |
(x) |
|
, П |
n+1 |
(x) = (x − x |
0 |
)(x − x )...(x − x |
n |
). |
|
||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||
|
|
|
x0≤x≤xn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. Построить многочлен Лагранжа второй степени, |
||||||||||||||||||||||||||
аппроксимирующий |
функцию |
|
y = sin x |
на |
отрезке |
|
π |
, |
|||||||||||||||||||
|
0, |
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
если заданы значения функции в трех узлах интерполяции:
|
x |
x0 |
= 0 |
x1 =π / 6 = 0,523598 |
x2 =π / 4 = 0,7853982 |
|
||
|
y = sin x |
y0 = 0 |
y1 = 0,5 |
|
y2 = 0,7071068 |
|
||
|
С помощью интерполяционной формулы вычислить |
|||||||
приближенное |
значение sin |
π |
и |
оценить погрешность |
||||
|
||||||||
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
результата вычислений.
Решение. Многочлен Лагранжа для трех узлов интерполяции запишется так:
31
L(x) = y |
|
(x − x1)(x − x2 ) |
|
+ y |
(x − x0 )(x − x2 ) |
|
+ |
|||||||||||
|
|
) |
|
) |
||||||||||||||
|
0 (x |
0 |
− x |
)(x |
0 |
− x |
2 |
1 (x |
− x |
0 |
)(x |
− x |
2 |
|
||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ y2 |
(x − x0 )(x − x1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(x |
2 |
− x |
0 |
)(x |
2 |
|
− x ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x(x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
L(x) = 0,5 |
|
− |
|
4 ) |
|
+ |
0,707 |
|
|
− |
6 ) |
|
|
= −2,064 |
x2 |
+ 3,344 |
x |
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
π |
|
π |
|
|
|
π |
|
π |
|
|
|
|
π |
|
|
π |
|
|
π 2 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
π |
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
( 6 |
|
− |
4 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
( |
4 |
|
− |
|
6 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
При x = |
|
|
π |
|
= 0,2617994 получим L( |
π |
) |
= 0,264298. |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
С помощью неравенства (3.2) находим оценку |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
погрешности. Имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin( |
π |
) |
− L( |
π |
) |
|
|
≤ |
|
|
П3 ( |
π |
) |
|
, |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
3! |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
где |
|
|
П |
3 |
(x) |
= (x − x |
0 |
)(x − x |
)(x − x |
2 |
) = x(x − π )(x − π ) |
|
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
4 |
|
|
||||||||||||||
|
|
π |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
π |
)(−π ) = 2( |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
П3 |
( |
) = |
|
|
|
|
(− |
|
)3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
Так как |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
f (x) =sin x, |
|
f '(x) = cos x, |
|
f "(x) = −sin x, f '''(x) = −cos x , |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
M 3 = max |
|
|
f '''(x) |
|
= max |
|
−cos x |
|
=1 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤x≤π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤x≤ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
и, следовательно,
32
sin(12π ) − L(12π ) ≤ 13 (12π )3 ≈ 0,006.
Итак, sin 12π ≈ 0,264 ± 0,006. Заметим, что это значение с
шестью верными цифрами есть sin |
π |
= 0,258819 . |
|
|
|||||||||
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
Замечание. В процессе решения задачи 1 могут |
||||||||||||
возникнуть |
трудности |
при |
оценке |
величины |
|||||||||
M 3 = max |
|
f '''(x) |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0≤x≤ |
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проведем эту оценку в задаче 1а, где f (x) = cos x2 . |
|
|||||||||||
Строгое |
вычисление величины |
max |
|
f '''(x) |
|
требует |
|||||||
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0≤x≤π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
f '''(x) на |
|
||
нахождение |
точек экстремума функции |
|
отрезке |
||||||||||
|
π |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0, |
, вычисления значений функции в точках экстремума и |
||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на концах отрезка и, наконец, выбор необходимого значения
M 3 .
Для этого вычислим производные функции f (x) вплоть до четвертого порядка:
f '(x) = −2x sin x2 , f "(x) = −2(sin x2 + 2x2 cos x2 ), f '''(x) = = −4x(3cos x2 − 2x2 sin x2 ),
f (4) (x) = −4(3cos x2 − 4x4 cos x2 −12x2 sin x2 ) .
33