f (x) − S(x)

≤ 5 M 3h3 , M 3

= max

f '''(x)

.

(3.13)

2

a≤x≤b

Неравенство (3.13) дает завышенную оценку точности

приближения функции сплайном в точке.

Приложение к параграфу 3.2.

Блок-схема построения кубического сплайна

Пусть отрезок

[a,b] разбит на n равных частей и в точках

xi (i = 0,1,2,...n;

xo = a, xb = n) некоторая функция принимает

значения

yi .

Для

переменной x,

принадлежащей

части

разбиения

{xi−1, xi } (i =1,...n), определена функция (кубический

многочлен):

Si (x)

= yi−1

(x − xi )2 (2(x − xi−1 )+ h)

+ yi

(x − xi−1 )2 (2(xi − x)+ h)

+

h3

h3

(x

− xi )2 (x − xi−1 )

(x

− xi−1 )2 (x

− xi )

+ mi−1

+ mi

.

h2

h2

b − a

Здесь

h =

-

шаг

разбиения

отрезка.

Неизвестные

n

mi определяются рекуррентными соотношениями

m0 = A; mn

= B;

mi

= Li mi+1 + M i

(i =1,2,...n −1)

43

L

0

=

0, M

0

= m

0

, L =

−1

, M

i

= L

(M

i−1

−b ) (i =1,2,....n −1),

i

Li−1 + 4

i

i

3(yi+1 − yi−1)

где b

=

.

i

h

функцию

y=f(x),

по

системе

точек,

полагают

A = f '(a), B = f '(b)

(краевые условия I типа).

Выбор

необходимой

формулы

Si (x) для

заданного

значения

i=1,n-1

Bi=3(yy+1-yi-1)/h; li=-1/(li-1+4); mi=li(mi-1- bi)

(x −x

)2 (2(x − x

0

)

+h

(x − x

0

)

2 (2(x

i

− x) +h)

S = yi−1

1

+ yi

+

h3

h3

(x − x

)2 (x − x

)

(x − x

0

)2 (x − x

)

+m

i−1

1

0

+m

i

1

h

2

h2

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

3

1. Методы численного решения уравнений и систем

нелинейных уравнений

4

1.1. Метод итераций для одного уравнения с одним

неизвестным

4

Приложение к параграфу 1.1

12

1.2. Метод итераций для систем двух нелинейных

уравнений

12

Приложение к параграфу 1.2

20

Среднеквадратичное приближение функций. Метод

наименьших квадратов. Эмпирические формулы

21

Приложение к главе 2

28

3. Интерполирование функций

30

3.1. Интерполяционная формула Лагранжа

30

Приложение к параграфу 3.1

35

Приложение к параграфу 3.2

43