4.3. Линейная зависимость и линейная независимость векторов на плоскости и в пространстве

Линейной комбинацией n векторов , , …, будем называть сумму произведений этих векторов на произвольные вещественные числа, т.е.

_, (4.1)

где - любые вещественные числа.

Определение. Векторы , , …, называются линейно зависимыми, если найдутся такие вещественные числа из которых хотя бы одно отлично от нуля, что линейная комбинация векторов , , …, с указанными числами обращается в нуль, т.е.

_.

Определение. Векторы , , …, называются линейно независимыми, если равенство нулю их линейной комбинации (1) возможно лишь в случае, когда все числа равны нулю.

Имеют место следующие утверждения.

Теорема. Если хотя бы один из векторов , , …, является нулевым, то эти векторы линейно зависимы.

Теорема. Если среди n векторов какие-либо (n-1) векторы линейно зависимы, то все n векторов линейно зависимы.

Теорема. Необходимым и достаточным условием линейной зависимости двух векторов является их коллинеарность.

Следствие 1. Если векторы и не коллинеарны, то они линейно независимы.

Следствие 2. Среди двух линейно независимых векторов не может быть нулевого вектора (иначе они оказались бы линейно зависимыми).

Теорема . Необходимым и достаточным условием линейной зависимости трех векторов является их компланарность.

4.4. Базис на плоскости и в пространстве. Разложение по базису. Проекция вектора на ось и ее свойства

Определение. Три линейно независимых вектора , , образуют в пространстве базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов , , , т.е. для любого найдутся такие вещественные числа , , , что справедливо равенство:

(4.2)

– разложение вектора по базису , , , где , , - координаты относительно базиса , , .

Определение. Два линейно независимых вектора и образуют на плоскости базис, если любой вектор может быть представлен в виде некоторой линейной комбинации векторов и , т.е. для любого вектора найдутся такие вещественные числа , , что имеет место равенство:

(4.3)

Справедливы следующие утверждения:

1. Любая тройка некомпланарных векторов , и образует базис в пространстве.

2. Любая пара лежащих на плоскости неколлинеарных векторов и образуют базис на этой плоскости.

3. Каждый вектор может быть единственным способом разложен по базису , , или координаты каждого вектора относительно базиса , , определяются однозначно.

В чем необходимость базиса?

При задании базиса линейные операции над векторами становятся обычными линейными операциями над числами-координатами этих векторов, а именно:

Теорема 1. При сложении двух векторов и их координаты относительно любого базиса , , складываются. При умножении вектора на любое число все его координаты умножаются на это число.

Пусть ; .

; .

Тогда в силу свойств линейных операций над векторами:

.

.

В дальнейшем нам потребуются понятия: проекция вектора на ось и угол наклона вектора. Введем эти понятия.

Определение. Проекцией вектора на ось называется величина направленного отрезка оси u. Проекцию на ось u будем обозначать .

Определение. Угол наклона вектора к оси u – это угол между двумя выходящими из точки А лучами, один из которых имеет направление, совпадающее с направлением , а другой - с осью u.

Теорема 2. Проекция вектора на ось u равна длине вектора , умноженной на косинус угла наклона к оси u (видно из чертежа).

.