12.4. Эллиптический параболоид

Каноническое уравнение эллиптического параболоида:

, (12.5)

где р > 0, q > 0 — параметры эллиптического параболоида.

Из вида уравнения следует, что данная поверхность второго порядка расположена вдоль положительного направления оси Oz.

Как и в предыдущих случаях, исследуем данную поверхность с помощью сечений. Сечения в координатных плоскостях Oxz и Oyz имеют форму парабол с осью симметрии Oz, их уравнения соответственно имеют вид

, .

Вид этой поверхности показан на рис.38.

Сечения данной поверхности плоскостями z=h приводят к эллипсам

,

которые увеличиваются по мере удаления от плоскости Оху, с полуосями . и .

Т очка О (0,0,0) называется вершиной эллиптического параболоида. При р = q уравнение (12.5) определяет параболоид вращения, т.е. поверхность, образованную вращением параболы х² = 2pz вокруг оси Oz.

Рис. 38

12.5. Гиперболический параболоид

Каноническое уравнение гиперболического параболоида:

, (12.6)

где р > 0, q > 0 — параметры гиперболического параболоида.

В сечении этой поверхности координатной плоскостью Oxz получается парабола

,

о

Рис 4

сью симметрии которой является положительная полуось Oz В сече»я ниях у = h, параллельных плоскости Oxz, также получаются направленные ветвями, вверх параболы

,

вершины которых опускаются вниз вдоль оси Oz по мере удаления сечений от плоскости Oxz.

В сечении данной поверхности плоскостью Oyz также получается парабола

,

однако ее ось симметрии - отрицательная полуось Oz, т.е. ветви этой параболы направлены вниз. В сечениях плоскостями, параллельными плоскости Oyz, также получаются параболы, направленные ветвями вниз, вершины которых опускаются вдоль оси Oz по мере удаления сечений от плоскости Oyz.

Наконец, рассмотрим сечения этого параболоида плоскостями, параллельными плоскости Оху (z = h). Из уравнений

,

следует, что при h > 0 в сечениях получаются гиперболы, пересекаю­щие плоскость Oxz; при h < 0 (вдоль отрицательного направления оси Oz) в сечениях получаются гиперболы, пересекающие плоскость Oyz. В самой плоскости Оху (при h = 0) гиперболы вырождаются в пару пересекающихся прямых

.

Таким образом, гиперболический параболоид (рис.39) представляет собой седлообразную поверхность, вершина которого находится в точке О (0,0,0).

Рис. 39.

12.6. Конус второго порядка

Каноническое уравнение конуса второго порядка:

(12.7)

В сечениях этой поверхности плоскостями z — h, параллельными и плоскости Оху, получаем эллипсы

, .

полуоси которых а' = a|h|/c и b' = b|h|/c увеличиваются по мере удаления сечений от плоскости Оху. При h = 0 линия пересечения конуса с плоскостью Оху вырождается в точку О (0, 0, 0).

В сечениях данной поверхности плоскостями Oxz и Oyi получаем по паре пересекающихся прямых, соответствующие уравнения которых имеют вид

.

Поверхность конуса второго порядка показана на рис. 40.

Рис. 40.

Рис. 40.