4.5. Выбор в линейных списках

Задан линейный список целых, различных по значению чисел B=<K₁, K₂,…, K_n>, требуется найти элемент, имеющий i-е наибольшее значение в порядке убывания элементов. При i=1 задача эквивалентна поиску максимального элемента, при i=2 - поиску элемента с вторым наибольшим значением.

Поставленная задача может быть получена из задачи поиска j-го минимального значения заменой i=n-j+1 и поиском i-го максимального значения. Особый интерес представляет задача выбора при i=[an], 0<a<1, в частности, задача выбора медианы при a=1/2.

Все варианты задачи выбора легко решаются, если список B полностью отсортирован, тогда просто нужно выбрать i-й элемент. Такой подход к решению задачи требует при самых благоприятных условиях количества действий порядка О(n*log₂n) независимо от значения i. Однако в результате полной сортировки списка B получается больше информации, чем требуется для решения поставленной задачи.

Количество действий можно уменьшить, применяя сортировку выбором только частично до i-го элемента. Это можно сделать, например при помощи функции findi

/* выборпутемчастичнойсортировки */

int findi(int *s, int n, int i)

{

int c,j,k;

for (k=0; k<=i; k++)

for (j=k+1; j<=n; j++)

if (s[k] < s[j])

{

c=s[k];

s[k]=s[j];

s[j]=c;

}

returns[i];}

Эта функция ищет элемент с индексом i, частично сортируя массив s, требуя количества сравнений порядка O((n-m)*(I-m)). Отсюда следует, что функция findi приемлема для решения задачи при малом значении i, и малоэффективна при нахождении медианы при I=(n+m)/2.

Для решения задачи выбора i-того наибольшего значения в списке B=<K₁, K₂,…, K_n> модифицируем алгоритм быстрой сортировки. Список B разбиваем элементом K₁ на подсписки B' и B", такие, что если KB', то КК₁, а если КВ", то К<K₁, и список В реорганизуется в В', <K₁>, B". Если К₁ располагается в списке на j-м месте и j=i, то требуемый элемент уже найден. При j>ii-e наибольшее значение ищется в подсписке B'; при j<i(i-j)-e наибольшее значение – в подсписке В".

Алгоритм выбора на базе быстрой сортировки, в общем, эффективен – для его выполнения требуется количество действий порядка O(N). однако в некоторых случаях он может оказаться неэффективным, поскольку для его реализации потребуется действий порядка O(N²). Это обусловлено тем, что К₁ обычно делит список В на B' и B" неравномерно. Для улучшения алгоритма необходимо уметь находить в списке В элемент М, разбивающий В почти пополам.

Алгоритм ВЫБОР (В,N,i) эффективно решает задачу выбора i-го наибольшего элемента в списке B=<K₁, K₂,…, K_n>, используя элемент М. Алгоритм выполняет определенную работу по шагам и неформально его можно описать следующим образом.

1. Если N<21, то выбрать i-тый наибольший элемент списка B обычной сортировкой.

2. Если N21 разделим список на P=N/7 подсписков по 7 элементов в каждом, кроме последнего в котором mod(N,7) элементов.

3. Определим список W из медиан полученных подсписков (четвертых наибольших значений) и найдем в W его медиану M (рекурсивно при помощи данного алгоритма) т.е. (P/2+1)-й наибольший элемент.

4. С помощью элемента M разобьем список B на два подсписка B' с j элементами большими или равными M, и B" c N-j элементами меньшими M. При j>i повторим процедуру поиска сначала, но только в подсписке B'. При j=i искомый элемент найден, равен M и поиск прекращается. При j < i будем искать (i-j)-й наибольший элемент в списке B".

/* алгоритм выбора делением списка почти пополам */

int search (int *b, int n, int i)

{

int findi(int *, int, int);

int t, m, j, p, *w;

if (n<21) return findi(b, n, i); /* шаг 1 */

p=(int)(n/7);

w=(int*)calloc(p+1,sizeof(int)); /* шаги 2 и 3 */

for (t=0; t < p; t++)

w[t]=findi(b+7*t, 7, 3);

if (n%7!=0)

{

w[p]=findi(b+7*p,n%7,(n%7)/2);

p++;

}

m=search(w, p, p/2);

free(w);

for (j=0, t=0; t < n; t++) /* шаг 4 */

if (b[t]>=m) j++;

if (j>i)

{

for (p=0, t=0; p < n; t++)

if (b[t]>=m)

{

b[p]=b[t]; p++; }

m=search(b, j, i); /* поискв B" */

}

if (j < i)

{

for (p=0, t=0; t < n; t++)

if (b[t] < m)b[p++]=b[t];

m=search(b, n-j, i-j); /* поискв B" */

}

return m;

}

Рекурсивная функция search реализует алгоритм выбора i-го наибольшего значения. Для ее вызова можно использовать следующую программу

#include<stdio.h>

#include <stdlib.h>

void main()

{

int search (int *b, int n, int i);

int *b;

int l, i, k, t;

scanf("%d%d",&l,&i);

printf ("\nВыбор %d максимального элемента из %d штук",i,l);

b=(int *)(calloc(100,sizeof(int)));

for (k=0; k<100; k++)

b[k]=k; /* заполнение массива */

for (k=1; k<l/4; k++)

{

t=b[k]; /* перемешивание */

b[k]=b[l-k]; /* массива */

b[l-k]=t;

}

k=search(b,l,i); /* выборэлемента */

printf ("\nвыбранэлементравный %d\n\n",k);

return;

}

Используя метод математической индукции, можно доказать, что для функции search требуется выполнить в самом неблагоприятном случае 28*N сравнений.

Действительно, если N<21, то выполнение функции findi потребует сравнений порядка N*(N-1)/2, т.е. меньше чем 28*N. Предположим, что для любого T<N количество сравнений при выполнении функции search не более 28*T и подсчитаем, сколько сравнений потребуется функции search при произвольном значении N. Для поиска медианы в каждом из подсписков функцией findi требуется не более 7*(7-1)/2=21 сравнений, а для формирования массива W в целом не более 21*(N/7)=3*N сравнений. По предположению индукции для поиска медианы в массиве W длины N/7 требуется 28*(N/7)=4*N сравнений. После удаления из B части элементов с помощью медианы в B' (или в B") останется не более N*5/7 элементов, и для удаления ненужных элементов необходимо количество сравнений порядка N. Для поиска в оставшейся части массива (в B' или B") по предположению индукции требуется не более 28*(N*5/7)=20*N сравнений. Таким образом, всего потребуется 3*N+4*N+N+20*N=28*N сравнений, т.е. выдвинутое предположение доказано.