5. Разложение в ряд Фурье

Теоретические сведения

Пусть f(x) периодическая функция с периодом 2 кусочно монотонная и ограниченная на отрезке [-,].

Тригонометрический ряд, сходящийся к заданной функции в интервале (-,) называется рядом Фурье:

или

в котором коэффициенты

называются коэффициентами Фурье функции f(x), а В_n и _n являются амплитудой и фазой n-ой гармоники ряда:

a_n =B_nsin(_n); b_n = B_ncos(_n);

Если f(x) является нечетной функцией, то а₀=0, а_n=0; для четной функции f(x) коэффициенты b_n=0.

Пример задания.

В системе автоматического регулирования на вход нелинейного звена со статической характеристикой, представленной на рис.1, поступает гармонический сигнал

x(t)=Asin(t),

где  круговая частота, А  амплитуда колебаний.

Найти амплитуду В₁ и фазу ₁ первой гармоники

y₁(t)=В₁sin(t+₁)

сигнала y(t) на выходе нелинейности.

Решение.

Способ решения основан на аналитическом описании сигнала y(t) на выходе нелинейного звена, последующем разложении y(t) в ряд Фурье и использовании из этого ряда выражения для первой гармоники.

В соответствии с рис.1 выходной сигнал y(t) представляет собою периодическую кусочно монотонную и ограниченную функцию, следовательно для нее существует ряд Фурье.

Функция y(t) имеет вид разнополярных прямоугольных импульсов с амплитудой z и моментами переключения t_a и t_b, определяемыми решениями уравнений:

(1)

или

Найдем интересующие нас коэффициенты Фурье для y(t).

Или, с учетом (1), и для исходных данных a=6, b=10, z=5, A=12 получим

Представив первую гармонику выходного сигнала в виде

y₁(t)=B₁sin(t+₁)=a₁cos(t)+b₁sin(t),

найдем искомые величины

Результат решения.

А мплитуда первой гармоники сигнала на выходе нелинейности В₁ = 3,48; фаза  = -0,31 радиана.

Варианты заданий:

Для всех вариантов нелинейных звеньев найти амплитуду и фазу первой гармоники сигнала на выходе звена при входном воздействии x(t)=Asin(t). Результаты решения, полученного расчётным путём, иллюстрировать графически.

Дополнительные вопросы.

1. Дискретное преобразование Фурье.

2. Косинус и синус-преобразование Фурье.

3. Ряды Фурье в комплексной форме и их применение.

4. Интеграл Фурье и его применение.

5. Применение рядов Фурье в операционном исчислении.

6. Решение дифференциальных уравнений

с частными производными методом конечных разностей

Теоретические сведения

Рассмотрим дифференциальное уравнение с частными производными для функции двух переменных

,

которым описывается, например, процесс передачи тепла в слое неподвижной жидкости путем теплопроводности, т.е. в результате микродвижения ее молекул. Для этого примера принятые обозначения имеют следующий физический смысл:

T(y,t)  температура жидкости в координате y в момент времени t (рассматривается передача тепла вдоль одной пространственной координаты);

a коэффициент температуропроводности

,

  коэффициент теплопроводности жидкости, ;

с  ее теплоемкость, ;

  плотность, , -

а само уравнение называют уравнением теплопроводности.

Для численного решения этого уравнения перепишем его в разностной форме с шагом h по координате y и шагом  по времени t. Для этого функцию T(y,t) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки (y_i, t_j), рис. 6.1:

и далее

в результате сложения последних двух выражений:

В итоге получаем разностное уравнение теплопроводности на сетке с ячейкой h:

Координаты (y_i, t_j) сетки заменим на номера ее узлов (рис. 6.2) в виде двойного индекса; тогда разностное уравнение перепишется в виде:

Из этого уравнения следует, что если известны температуры в точках (i-1,j), (i,j), (i+1,j), то можно вычислить неизвестную температуру в новой точке (i,j+1):

Это уравнение называется явной разностной схемой Эйлера (T_i,j+1 явно выражено через известные величины).

Процесс расчета функции T(y,t) в узлах сетки по этой схеме устойчив при выполнении условия Куранта:

Для начала процесса решения необходимо задаться начальным условием  температурой в нулевой момент времени T_i,0 , i = 0,1,2,…, n, по всей толщине Н слоя жидкости, где

Тогда, как следует из рис.3, с помощью разностной схемы по начальному условию можно найти температуру во всех точках первого временнόго слоя жидкости T_i,1 за исключением граничных точек (0,1) и (n,1). Поэтому, для продолжения решения температура в указанных точках должна быть определена из так называемых граничных условий  известных значений температур Т_0,j и Т_n,j на геометрических границах жидкости для всего времени исследования процесса 0  t  t_м, т.е. для j=0, 1,2,…, m, где

Определив температуры в точках первого слоя по t, можно переходить ко второму слою и т.д., до последнего слоя m, соответствующего времени t_м завершения исследования процесса.

Пример задания.

Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м и начальной температурой T(y,0)=20C, 0yH, заключенного между горизонтальными пластинами, на которых поддерживается постоянная температура: на нижней пластине T(0,t)=100C, на верхней T(Н,t)=20C, рис. 6.4, где 0  t  t_м. Рекомендуемое время изучения процесса t_м = 180 с.

_{Коэффициент теплопроводности воды} ; _{теплоемкость} ; _{плотность} .

Решение.

Для численного решения задачи воспользуемся явной разностной схемой Эйлера для уравнения теплопроводности:

;

начальным условием T_i,0=20C,

граничными условиями T_0,j = 100C, T_n,j = 20C, ,

где h=0,0005м; =0,5с; коэффициент температуропроводности

;

.

Для выбранных значений h и  условие Куранта

выполняется, и можно приступать к составлению программы.

Текст программы, реализующей вычисления по указанной схеме в математическом пакете Mathcad, представлен ниже.

Результаты решения.

_{Р езультаты решения представлены на рис.5а,б, иллюстрирующем различные сечения процесса.}

_{На рис. 6.5а показано распределение температуры в подогреваемом слое в моменты времени 0, 15, 60, 120 и 180 с.}

_{Координата y представлена номерами i узлов сетки и изменяется от 0 до 20; аналогично по оси времени номера узлов изменяются от 0 до 360.}

_{На рис. 6.5б для наглядности дано трехмерное изображение процесса.}

_{Рисунок показывает, что по истечении 180 с процесс нагревания жидкости практически завершается, и в слое устанавливается линейное распределение температуры: от 100С у нижней границы до 20С у верхней.}

Варианты заданий.

1. Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, заключенного между горизонтальными пластинами, на которых поддерживается постоянная температура: на нижней пластине T(0,t)=100C, на верхней T(Н,t)=25C, где t – время. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 15С.

Указание: начальное условие представить в виде функции

.

2. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=500 Вт/м².

Температура верхней границы слоя поддерживается постоянной T(Н,t)=20C. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для нижней границы слоя определяется из выражения для плотности проходящего через нее теплового потока:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для нижней поверхности

3. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=100C, причем на верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =50 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

Указание: граничное условие для верхней поверхности жидкости определяется из выражения для плотности теплового потока, уходящего с нее во внешнюю среду:

Переходя к разностной форме записи

получим искомое граничное условие для верхней поверхности

4. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=1000 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=25C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =100 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

5. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, отдающей тепло во внешнюю среду, температура которой равна T_вн=20C, с коэффициентом теплоотдачи =500 Вт/м²К. Нижняя поверхность слоя представляет собою теплоизолятор. Начальная температура жидкости T(y,0)=100C, 0yH.

Указание: отсутствие теплового потока через нижнюю границу соответствует выражению

6. Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,05м, заключенного между двумя горизонтальными пластинами: на нижней поддерживается постоянная температура T(0,t)=150C, а верхняя является теплоизолятором. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 15C до 35С.

7. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=500 Вт/м².

Температура верхней границы слоя поддерживается постоянной T(Н,t)=20C. Начальная температура в слое распределена линейно снизу вверх от 15С до 20С.

8. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=80C, причем верхняя поверхность слоя ограничена теплоизолятором. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

9. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м. Верхняя поверхность слоя отдаёт тепло во внешнюю среду, температура которой равна T_вн=20C; коэффициент теплоотдачи =500 Вт/м²К. На нижней поверхности также происходит теплообмен с внешней средой, температура которой T_вн=10C; коэффициент теплоотдачи =80 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=100C, 0yH.

10. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,06м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=2000 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=30C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =200 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH. Посередине между нижней и верхней поверхностями слоя расположена пластина-теплоизолятор.

11. Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,03м, заключенного между горизонтальными пластинами: на верхней поддерживается постоянная температура T(Н,t)=25C, а через нижнюю пластину осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой T_вн=5C; коэффициент теплоотдачи =70 Вт/м²К. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 15С.

12. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока q=200 Вт/м². Верхняя поверхность слоя ограничена теплоизолятором. Начальная температура жидкости T(y,0)=20C, 0yH.

13. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,02м, подогреваемой снизу источником тепла с постоянной температурой T(0,t)=100C, причем на верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =50 Вт/м²К. Начальная температура жидкости распределена линейно снизу вверх от 100С до 20С.

14. Исследовать процесс передачи тепла в неподвижном слое воды высотой Н=0,05м, заключенного между горизонтальными пластинами, являющимися теплоизоляторами. Начальная температура T(y,0), 0yH, распределена в слое линейно снизу вверх от 10C до 90С.

15. Исследовать процесс теплопередачи в неподвижном горизонтальном слое воды высотой Н=0,01м, подогреваемой снизу источником тепла с плотностью теплового потока, линейно уменьшающимся в течении 10 минут с 1000 Вт/м² до 0 Вт/м². На верхней поверхности слоя осуществляется теплообмен с внешней средой, температура которой равна T_вн=20C. Коэффициент теплоотдачи во внешнюю среду =150 Вт/м²К. Начальная температура жидкости T(y,0)=25C, 0yH.

16. Приближённое решение краевой задачи для линейного дифференциального уравнения.

17. Приближённое решение краевой задачи для уравнений эллиптического типа.

18. Приближённое решение краевой задачи для уравнений гиперболического типа.

19. Приближённое решение краевой задачи с помощью формулы Грина.