3. Приближенное решение нелинейных дифференциальных уравнений

Теоретические сведения

Численное решение дифференциального уравнения вида

в котором mn;

F_i(y)  некоторые нелинейные функции величины y, ;

g  известная функция g(t) независимой переменной t;

y  искомая функция y(t),

можно получить путем приведения его к нормальной форме Коши и последующего применения к полученной системе уравнений первого порядка какого-либо разностного метода приближенного интегрирования.

Для получения нормальной формы Коши следует:

переписать исходное уравнение в виде

;

с помощью процедуры понижения порядка сформировать n новых переменных х, например, для случая m=n,

упростить полученные уравнения, свернув в них выражения для производных переменных х(t)

выразить первые производные переменных x(t) в явном виде

Полученная система уравнений является искомой нормальной формой. Для ее численного решения можно воспользоваться методом Эйлера:

где h  шаг решения по переменной t.

Пример задания.

Построить переходный процесс (t), возникающий в нелинейной системе автоматического регулирования, представленной на рис. 3.1, при подаче на ее вход ступенчатого воздействия g(t)=5. Получить фазовый портрет системы .

Решение.

Составим дифференциальное уравнение, устанавливающее взаимосвязь сигнала (t) на входе нелинейного звена с параметрами системы и входным сигналом g(t).

Для компактности вывода воспользуемся операторной формой записи, и в соответствии со структурной схемой запишем:

 = g – W_л(p)z ,

или

Приведя последнее уравнение к общему знаменателю, придем к выражению

2p² + p + 10F() = 2p²g + pg,

переписав которое в дифференциалах получим искомое дифференциальное уравнение:

Перейдем к нормальной форме Коши:

введем переменные х₁ и х₂,п

0 = 2+ +10F() - 2g- g;

x₁= 2 +  - 2g - g;

x₂ = 2 - 2g,

ерепишем эту систему в виде

и получим нормальную форму

Для численного решения полученной системы составим уравнения Эйлера с шагом h:

Функцию F() зададим путем разбиения области ее определения на интервалы, в которых она описывается элементарными функциями:

Примеры программ на языке Basic и в среде Mathcad, реализующих вычисление (t) с помощью уравнений Эйлера, представлены ниже.

Указание.

В связи с невысокой сложностью рассматриваемой задачи и, соответственно, программы ее решения, выбор языка программирования определяется не алгоритмическими или вычислительными возможностями последнего, а главным образом, удобством его графических средств.

Результаты решения.

На рис. 3.2а показан процесс изменения сигнала (t) системы при подаче на вход задающего воздействия g(t)=5.

Совершив несколько колебаний, система приходит к не

которому установившемуся значению ошибки (_уст-2,7).

Важно отметить, что результат решения существенно зависит от амплитуды задающего воздействия g(t). В этом проявляется принципиальное отличие нелинейных дифференциальных уравнений и систем от линейных.

Более содержательную информацию о переходном процессе дает фазовый портрет (рис. 3.2б), на котором видны моменты переключения нелинейности (изломы фазовой траектории), и из которого становится понятным, что наличие ненулевого значения _уст обусловлено наличием у нелинейного звена значительной зоны нечувствительности.

Варианты заданий.

Для всех вариантов систем автоматического регулирования, изображённых на приведенных рисунках в виде структурных схем,

получить дифференциальное уравнение, связывающее сигнал, поступающий на вход нелинейного звена, с параметрами системы и входным сигналом g(t);

представить полученное дифференциальное уравнение в нормальной форме Коши;

составить программу для численного решения полученной нормальной системы уравнений одним из разностных методов, имея в виду, что при решении нелинейных дифференциальных уравнений методом Эйлера рекомендуется выбирать очень малые шаги интегрирования по времени;

построить переходный процесс и фазовый портрет системы для величины, поступающей на вход нелинейного звена.

Значение входного сигнала g(t), обеспечивающее наглядную форму переходного процесса или фазового портрета, подобрать опытным путем.

Замечание.

Результатом решения нелинейного дифференциального уравнения может быть периодическая функция, которая, в отличие от рассмотренного выше примера, не стремится к некоторому постоянному значению с ростом аргумента t. Физически такое решение соответствует автоколебательному режиму функционирования системы регулирования.