4.2. Определение доверительных интервалов оценок генеральных характеристик

Производя оценку генеральных характеристик, требуется не то­лько выбрать соответствующую оценку и подсчитать ее значение на основании статистического материала, но и определить, к каким ошибкам может привести замена генеральной характеристики ее точечной или интервальной оценкой и с какой степенью уверенности можно ожидать, что эти ошибки не выйдут за известные пределы. Такого рода задачи особенно актуальны при малом числе наблюдений (измерений), когда оценка в значительной мере случай­на и колеблется от выборки к выборке. Приближенная замена генеральной характеристики ее оценкой в этом случае может приве­сти к серьезным ошибкам. Поэтому для каждой статистической характеристики, вычисленной по результатам выборки, следует ука­зывать точность оценки. Эта точность содержится в доверительном интервале. В этом случае замена генеральной характеристики ее оценкой делается с определенной достоверностью (доверительной вероятностью), которая характеризует степень нашего доверия к анализируемым результатам. Обычно достоверность, которую обозначим через Р*, выбирается близко к единице (0,9; 0,95; 0,99).

Строго говоря, достоверность — это вероятность того, что оце­ниваемый параметр лежит между доверительными границами. При этом величина вероятности и величина доверительных границ вза­имосвязаны.

В случае точечной оценки М(х) с помощью для гауссовского закона распределения случайной величины X эта взаимосвязь коли­чественно определяется теоремой Ляпунова, которую можно сфор­мулировать следующим образом: с вероятностью, равной Ф₁(α), можно утверждать, что при наличии в выборке объемом п достаточ­но большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин x_i , которые сравнительно мало отличаются друг от друга, разность между генеральными и выборочными средними арифмети­ческими значениями будет лежать в пределах ε, т. е.

Р{-ε≤ М(х)- ≤+ ε }=Ф₁(α), (4.1)

где ε = α — точность оценки или половина поля допуска; величину подсчитывают по формулам (2.45) или (2.46); Ф₁(α) определяется с помощью (2.37) и табл. 1 Приложения [3] при выбранном α.

Пусть имеется распределенная по закону Гаусса генеральная совокупность с математическим ожиданием М(х) и средним квадратическим отклонением ε. По результатам отобранной из этой совокупности выборки объемом п вычислена средняя арифметичес­кая . Относительно разности М(х)— можно с вероятностью, например, Ф₁(α) = 0,95 утверждать, что она находится в интервале с границами — l,96 и +1,96 ;, где α =1,96 найдено из табл. 1 Приложения [3] для Ф(α) = 0,475.

Согласно (4.1) и (2.46) запишем следующее неравенство:

или

Если вместо доверительной вероятности Р^* = Ф₁(α)=0,95 желатель­на, например, вероятность Р* = 0,99, то коэффициент α, равный 1,96, следует заменить на 2,58.

Для каждого отдельного случая, естественно, неизвестно, попа­дет ли среднее значение действительно в доверительный интервал. Известно только, что если оценка М(х) вычисляется повторно, то она в 95% всех случаев находится в доверительном интервале. Ширина доверительного интервала для математического ожидания, как видно из (4.1), зависит от числа проведенных измерений, от стандартного отклонения σ и от заданной вероятности. Если значе­ние генеральной характеристики σ неизвестно, то при достаточно большом n можно общее стандартное отклонение s_П выборки при­равнять стандартному отклонению σ генеральной совокупности. Таким образом, при больших п доверительный интервал для мате­матического ожидания

Однако при замене интервального оцениваемого параметра σ значением его оценки, полученной на основании выборочного статистического материала, взятого из генеральной совокупности, на практике встает другая задача: по выборочным характеристикам определить вероятность того, что неизвестное значение генераль­ного стандартного отклонения σ будет лежать в заданных пределах ε, т. е. определить доверительные интервалы для σ .

Решение для этой задачи записывается обычно так: вероятность того, что σ будет находиться в пределах s – ε ≤ σ ≤ s + ε равна разности вероятностей следующих событий: s + ε ≥ σ и s – ε ≤ σ, т. е.

Р{s–ε≤σ≤s+ε}= P₁ – P₂, (4.2)

где P₁ и Р₂ — вероятности, определяемые по табл. 2 Приложения соответственно для значений

и (4.3)

и для υ₁ = υ₂ = n – 1.

Пример 1. По 15 случайным независимым наблюдениям над величиной X, имеющей в генеральной совокупности гауссовское распределение, найдено выбороч­ное значение среднего квадратического отклонения, равное 6,7. Спрашивается: с ка­кой вероятностью можно утверждать, что σ заключено между 6,5 и 6,9?

Решение. Имеем ε =0,2; v=n-1=14 Тогда по формуле (4.3) найдем

;

Далее по табл. 2 Приложения для v = 14 и вычисленным значениям χ² найдем значения Р₁ я Р₂. Таблица построена для целых значений χ². Так, для χ² =13 v = 14 Р=0,5265; для χ² = 14 v = 14 Р=0,4497. Для χ²₁=13,20 значение Р₁ лежит между найденными значениями вероятностей. Оно находится таким же приемом интерпо­лирования, какой употребляется в логарифмических вычислениях.

Для χ² = 13 и χ² = 14 значения Р отличаются на 0,5265-0,4497 = 0,0768 Так как с увеличением χ² вероятность Е уменьшается, то значение Р₁ для χ²₁ = 13,20 можно найти, вычитая 0,20 величины 0,0768 из значения Р для χ² = 13, т е P₁ = 0,5265-0,20·0,0768=0,51114.

Аналогично, Р₂= 0,4497-0,87·0,0715 = 0,387495. Тогда Р={6,5≤σ≤6,9} = 0,5111-0,3875=0,1236.

Следовательно, с точностью 0,2 я вероятностью 0,1236 можно записать, что σ≈6,7. Если бы взять меньшую точность (т. е большее значение ε ), то получилось бы соответственно и большее значение вероятности.