3.3. Диаграмма разброса (поле корреляции)

Диаграмма разброса применяется для исследования зависимо­сти (корреляции) между двумя видами данных. Поэтому диаграмму разброса часто называют полем корреляции. Диаграмма разброса используется также для выявления причинно-следственных связей показателей качества и влияющих факторов при анализе причинно-следственной диаграммы.

Так, например, с помощью диаграммы разброса очень удобно наблюдать характер изменения параметров качества во времени при воздействии тех или иных факторов. В этом случае по оси абсцисс откладывают начальные значения изучаемого параметра качества, например обратный ток p-n-перехода однотипных полу­проводниковых структур (Iобр) перед постановкой эксперимента по изучению влияния определенных факторов (например, температу­ры, влажности) на данный параметр качества. В результате будем иметь упорядоченный ряд значений x₁ ,x₂ , х₃ , ..., х_п параметра качества полупроводниковых структур в момент времени t=0, которые наносят на ось абсцисс. Замерив значения параметра качества у тех же самых полупроводниковых структур по окончании экс­перимента, получим ряд значений параметра качества через время t=t_i ,представленных в виде упорядоченного ряда y₁ ,у₂ ,…, у_п ,который наносят соответственно на ось ординат. Тогда значение параметра качества каждого изделия до и после эксперимента будет обозначаться точкой в системе указанных координат. Следователь­но, все п изделий, подвергшихся эксперименту, будут изображаться разбросанными по координатному полю точками. Эта совокуп­ность точек образует диаграмму разброса (поле корреляции) (рис. 3.2). Если разброс значений изучаемого параметра качества состав­ляет несколько порядков, то удобно применять логарифмический масштаб по обеим осям. Если на одну и ту же точку графика попадает несколько значений параметра, то они обозначаются как точка в круге или в нескольких кругах или возле точки проставля­ется число данных.

Рис. 3.2. Диаграмма разброса

Рис. 3.3. Диаграмма разброса данных табл. 3.7

Диаграмма разброса позволяет наглядно показать характер из­менения параметра качества во времени.

Для этого проведем из начала координат биссектрису. Если все точки лягут на биссектрису, то это означает, что значения данного параметра не изменились в процессе эксперимента. Следовательно, рассматриваемый фактор (или факторы) не влияет на параметр качества.

Если основная масса точек лежит под биссектрисой, то это значит, что значения параметра качества за прошедшее время уме­ньшились. Если же точки ложатся выше биссектрисы (как в нашем случае на рис. 3.2), то значения параметра за рассматриваемое время возросли.

Проведя лучи из начала координат, соответствующие уменьше­нию и увеличению параметра на 10, 20, 30, 50, 80%, можно путем подсчета точек между прямыми выяснить частоту значений параме­тра в интервалах 0...10%, 10...20% и т. д.

Пример 5. Требуется выяснить влияние термообработки интегральных микро­схем (ИС) при Т= 120 °С в течение времени t = 24 ч на уменьшение обратного тока р - n-перехода (I_обр).

Для эксперимента было взято 25 интегральных схем (п = 25) и замерены значения I_обр (10^-9 А), которые приведены в табл. 3.7.

1. По таблице находят максимальные и минимальные значения х и у: максимальные значения x=92, y=88; минимальные значения х = 60, у = 57.

2. На графике (рис. 3.3) на оси абсцисс откладывают значения х, на оси ор­динат — значения у. При этом длину осей делают почти равной разности между их максимальными и минимальными значениями и наносят на оси деления шкалы. На вид график приближается к квадрату. Действительно, в рассматриваемом случае разность между максимальными и минимальными значениями равна 92 — 60 = 32 для х и 88 — 57 = 31 для у, поэтому промежутки между делениями шкалы можно делать одинаковыми.

Таблица 3.7

Значения обратного тока р - n-перехода до

и после термообработки ИС

Номер ИС	До термо­обработки, x	После термо­обработки, у	Номер ИС	До термо­обработки, x	После термо­обработки, у
1	68	61	14	75	71
2	71	67	15	73	70
3	65	63	16	69	68
4	78	70	17	73	73
5	75	74	18	73	69
6	85	76	19	83	76
7	86	82	20	70	73
8	84	70	21	68	70
9	74	68	22	79	69
10	65	60	23	78	71
11	78	68	24	78	71
12	92	88	25	73	69
13	60	57

3. На график наносятся данные в порядке измерений и точки диаграммы раз­броса.

4. На графике указываются число данных, цель, наименование изделия, название процесса, исполнитель, дата составления графика и т.д. Желательно также, чтобы при регистрации данных во время измерений приводилась и сопровождающая информация, необходимая для дальнейших исследований и анализа: наименование объекта измерения, характеристики, способ выборки, дата, время измерения, тем­пература, влажность, метод измерения, тип измерительного прибора, имя оператора, проводившего измерения (для данной выборки), и др.

С помощью диаграммы разброса можно сравнительно быстро выяснить, имеется ли между двумя рассматриваемыми парамет­рами корреляционная связь, и, построив методом наименьших ква­дратов кривую, определить вид этой связи.

Рис. 3.4. Прямая корреляция

Рис. 3.5. Легкая прямая корреляция

Рис. 3.6. Обратная (отрицательная) корреляция

Рис. 3.7. Легкая обратная корреляция

Рис. 3.8. Отсутствие корреляции

Рис. 3.9. Криволинейная корреляция

Характер корреляционной зависимости, который определяется видом диаграммы разброса, дает представление о том, каким изме­нениям будет подвержен один из параметров при определенных изменениях другого. Однако если, как, например, в предыдущем случае (рис. 3.2 и 3.3), для выяснения характера изменения значений параметра качества достаточным было бы число данных порядка 10, то в случае выяснения их корреляционной связи число должно быть значительно больше. Если данных мало, четкую зависимость установить трудно, поэтому желательно, чтобы число пар данных было не меньше 30. Так, на диаграмме рис. 3.4 виден не только характер изменений у в зависимости от изменения х, но и определя­ется форма связи рассматриваемых признаков в виде уравнения регрессии. На рис. 3.4 четко просматривается прямая корреляция между х и у. В этом случае при осуществлении контроля за причин­ным фактором х можно управлять значением параметра качества у

На рис. 3.5 приведен пример легкой прямой корреляции. При увеличении х увеличивается также и у, но разброс у велик по отношению к определенному значению х. С помощью контроля причинного фактора х можно до некоторой степени держать под контролем характеристику у, но необходимо также иметь в виду и другие факторы, оказывающие влияние на у.

На рис. 3.6 показан пример обратной (отрицательной) корреля­ции. При увеличении х характеристика у уменьшается. Если причин­ный фактор х находится под контролем, характеристика у остается стабильной.

Рис. 3.7 отражает случай легкой обратной корреляции, когда при увеличении x характеристика у уменьшается, но при этом велик разброс значений у, соответствующих фиксированному значению х.

На рис. 3.8 показан пример отсутствия корреляции, когда ника­кой выраженной зависимости между х и у не наблюдается. В этом случае необходимо продолжить поиск факторов, коррелирующих с у, исключив из этого поиска фактор х.

Рис. 3.10. Криволинейная корреляция разброса

Рис. 3.11. Диаграмма для обратного тока р-n-перехода

Между параметрами х и у возможны также случаи криволиней­ной корреляции (рис. 3.9 и 3.10.). Если при этом диаграмму разброса можно разделить на участки, имеющие прямолинейный характер, то проводят такое разделение и исследуют каждые участок в от­дельности, как прямолинейную корреляцию.

Степень корреляционной связи х и у может быть оценена либо с помощью коэффициента корреляции (в случае прямолинейной корреляции), либо с помощью коррглзгционного отношения (в слу­чае криволинейной корреляции).

Однако на практике часто применяют более простой метод оценки степени корреляционной связи – метод медиан, особенно удобный при исследовании технологического процесса с использованием данных, полученных на рабочем месте. Рассмотрим дей­ствие этого метода на практическом примере, приведенном в табл. 3.7.

1. На диаграмме разброса проводятся вертикальная линия ме­дианы и горизонтальная линия медианы (рис. 3.11). Выше и ниже горизонтальной медианы, справа и слева от вертикальной медианы будет равное число точек. Если число точек окажется нечетным, следует провести линию через центральную точку

2. В каждом из четырех квадратов, получившихся в результате разделения диаграммы разброса вертикальной и горизонтальной медианами, подсчитывают число точек и обозначают их n₁ ,п₂ , n₃, п₄ соответственно Точки, через которые прошла медиана, не учитывают.

3. Отдельно складывают точки в положительных и отрицатель­ных квадратах:

n₍₊₎ = n₁ + n₃ =8 + 9 =17,

n_(-) = n₂ + n₄ = 2 + 2 =4,

n’ = n₍₊₎ + n_(-) = 17 +4 = 21.

Так как четыре точки находятся на медианах, то n’ не равно n = 25.

4. Для определения наличия и степени корреляции по методу медианы используется специальная таблица значений, соответствующих различным коэффициентам риска β (0,01 и 0,05)

Таблица 3.8

Таблица кодовых значений

n'	β			n'		β		n'	β
	0,01		0,05			0,01	0,05			0,01	0,05
8	0		1	38		10	12	68	22		25
9	0		1	39		11	12	69	23		25
10	0		1	40		11	13	70	23		26
11	0	1			41	11	13	71	24		26
12	1	2			42	12	14	72	24		27
13	1	2			43	12	14	73	25		27
14	1	2			44	13	15	74	25		28
15	2	3			45	13	15	75	25		28
16	2	3			46	13	15	76	26		28
17	2	4			47	14	16	77	26		29
18	3	4			48	14	16	78	27		29
19	3	4			49	15	17	79	27		30
20	3	5			50	15	17	80	28		30
21 22	4 4	5 5			51 52	15 16	18 18	81 82	28 28		31 31
23 24	4 5	6 6			53 54	16 17	18 9	83 84	29 29		32 32
25 26	5 б	7 7			55 56	17 17	19 20	85 86	30 30		32 33
27 28	6 6	7 8			57 58	18 18	20 21	87 88	31 31		33 34
29	7	8			59	19	21	89	31		34
30	7	9			60	19	21	90	32		35
31	7	9			61	20	22
32	8	9			62	20	22
33	8	10			63	20	23
34	9	10			64	21	23
35	9	11			65	21	24
36	9	11			66	22	24
37	10	12			67	22	25

Сравнивая меньшее из чисел n₍₊₎ и n_(-) с их кодовым значением из табл. 3.8, соответствующим значению n', делают заключение о наличии и характере корреляции. Если меньшее из чисел n₍₊₎ и n_(-) оказывается равным или меньше табличного кодового значения, то корреляционная зависимость имеет место. В рассмат­риваемом примере табличное кодовое значение при коэффициенте риска β=0,01, соответствующее п'=21, равно 4. Меньшим из чисел n₍₊₎ = 17 и n_(-) =4 является n_(-). Поскольку n_(-), равное 4, оказывается равным кодовому значению 4, можно утверждать, что в данном случае между двумя параметрами существует корреляционная зави­симость. Это утверждение делается с вероятностью ошибиться только в одном случае из ста (β =0,01). Поскольку n₍₊₎>n_(-) ,это свидетельствует о прямой корреляции. В тех случаях, когда n₍₊₎<n_(-), можно говорить об обратной корреляции.

Путем сдвига во времени значений одного параметра относите­льно соответствующих значений другого рассматриваемого пара­метра можно получить более конкретную информацию о воздейст­вующих факторах.

Пример 6. Число рекламаций по месяцам на однотипные изделия А и B, изготовленные различными предприятиями и поступившие на фирму, занимающую­ся сборкой ЭС, приведены в табл. 3.9.

Если построить диаграмму разброса (рассеяния), то она будет иметь вид, приведенный на рис. 3.12.

Расположив соответствующие рекламации в упорядоченные ряды (х: 100, 102, 105, 108, 112, 115, 116, 118, 120, 125, 125, 128; у: 65, 66, 68, 69, 70, 71, 75, 76, 77, 78, 79, 82), нетрудно убедиться, что медианные значения соответственно равны Меx=115, 5 и Меy= 73. Проведя горизонтальную и вертикальную линии медиан, подсчитаем число точек в каждом квадранте.

Таблица 3.9

Число рекламаций по изделиям А и В

Месяц	Число рекламаций на изделие А (х)	Число рекламаций на изделие В (у)
1	105	68
2	102	71
3	100	69
4	108	66
5	112	65
б	115	70
7	118	75
8	116	76
9	120	78
10	125	77
11	125	79
12	128	82

Как видно из рис. 3.12, все точки расположены только в положительных (в первом и третьем) квадрантах, т. е.

n₍₊₎ = n₁ + n₃ =6 + 6 =12,

n_(-) = n₂ + n₄ = 0 + 0 =0,

n’ = n₍₊₎ + n_(-) = 12.

По табл. 3.8 для n'= 12 и β=0,01 кодовое значение равно 1. Так как меньшее из чисел n₍₊₎ и n_(-) является n_(-) =0 и оно меньше кодового значения, то корреляционная зависимость имеет место. Поскольку n₍₊₎>n_(-), это свидетельствует о прямой корреляции. Если подсчитать коэффициент корреляции по формуле (2.64), то можно убедиться, что имеет место довольно высокая корреляция (z=0,81).

При рассмотрении табл. 3.9 становится ясно, что значения х (x₁ ,x₂ , х₃ , ..., х₁₂) соответствуют значениям у (y₁ ,у₂ ,…, у₁₂). При этом мы рассматриваем соответствие (х₁,у₁), .... (x₁₂, y₁₂).

Рис. 3.12 Диаграмма разброса для числа рекламаций по изделиям А и В

Рис. 3.13. Диаграмма разброса с лагом в 1 месяц

Рис. 3.14. Диаграмма разброса с лагом в 2 месяца

Рис. 3.15. Диаграмма разброса с лагом в 3 месяца

А что получится, если это соответствие сдвинуть? Если, например, имеет место смещение на один месяц, т. е. (x_l, y₂), {х_г, у₃),...., (x₁₁, y₁₂) то диаграмма разброса будет иметь вид, приведенный на рис. 3.13.

Подобный временной сдвиг называют временным лагом. Таким образом, диаграмма рис. 3.13 — это диаграмма разброса с временным лагом в 1 месяц.

Если задать временной лаг в 2 и 3 месяца, то получим соответственно диаграммы рис. 3.14 и 3.15.

Из сравнения диаграмм видно, что наивысшая корреляция достигается при временном лаге в 2 месяца (на рис. 3.14 точки группируются более явно около прямой, чем на рис. 3.15). Иными словами, рекламации на изделия В хорошо коррелируют с рекламациями на изделие А, пришедшими за 2 месяца до них. Именно в это время нужно выявлять факторы, влияющие на качество изделий.

При временном лаге может возникнуть проблема определения числа рекламаций в будущем. Так, для временного лага в 2 месяца необходимо определить число рекламаций у₁₃ на изделие В в 13-м месяце. Для этого используют прямую регрессии и формулу (2.62). Если в формуле (2.62) заменить коэффициент регрессии b на коэффициент корреляции r [см. формулу (2.64)], то она приобретает следующий вид:

(3.1)

где s(x) и s(y) определяются по формуле (2.10) соответственно для - значений х и у.

Тогда, если вычислить , , s(x), s(y), r, можно найти пред­сказанные значения (прогноз) у для заданного значения х.

Попробуем предсказать и значения у₁₃ ,числа рекламаций на изделие В в 13-м месяце при временном лаге в 2 месяца, пользуясь данными табл. 3.9.

Коэффициент корреляции при временном лаге в 2 месяца состав­ляет z=0,99, а из расчетов получаем:

=112,1; s(x)= 7.76,

=73,7; s(y)= 5,51.

По формуле прямой регрессии (3.1) получаем

(3.2)

При временном лаге в 2 месяца значение у₁₃ для изделия В (за 13-й месяц) при x₁₁ =125 по формуле (3.2) составит у₁₃ = 82,8.