ДО ЗМІСТУ ПОСІБНИКА

14. Метод скінченних елементів для стержневих систем

14.1.Основні положення методу скінченних елементів

14.2. Приклад розрахунку плоскої рами

14.3. Розрахунок шарнірно-стержневої системи методом скінченних елементів

14.4. Схеми для самостійного розв’язування

14. Метод скінченних елементів для стержневих систем

14.1.Основні положення методу скінченних елементів

Основна ідея методу скінченних елементів полягає в тім що конструкція представляється на бором окремих фрагментів – скінченних елементів які взаємодіють між собою в скінченній кіль кості точок – вузлах

Пружно-деформований стан скінченно-елементної дискретної моделі конструкції характери зується переміщеннями та реакціями визначеними у вузлах Зусилля і переміщення у будь-якій точці визначаються як функції вузлових переміщень

Скінченно-елементна модель стержневої системи

Перший етап розрахунку стержневої системи за методом скінченних елементів полягає в дис кретизації тобто в переході від її розрахункової схеми до дискретної моделі Вихідна розрахун кова схема розбивається на окремі стержні скінченні елементи і вузли Скінченні елементи по винні являти собою прямолінійні стержні постійної жорсткості на яких може бути розташоване рівномірно розподілене зовнішнє навантаження Криволінійні стержні апроксимуються декілько ма прямолінійними елементами Аналогічно апроксимуються стержні що мають змінну жорст кість або ті до яких прикладено нерівномірно розподілене навантаження Така схема споруди на зивається її дискретною або скінченно-елементною моделлю (СЕМ .

Вузлами дискретної моделі вважають точки поєднання двох або більше окремих стержнів ступінчатої зміни жорсткості стержнів

прикладення зосереджених зовнішніх сил або моментів ступінчатої зміни інтенсивності розподіленого навантаження опорні вузли

Перехід від розрахункової схеми до дискретної моделі показано на рис 14. Розрахункова схема рами рис 14.1.а перетворена на СЕМ рис 14.1,б Вузли дискретної моделі в даному прикладі пронумеровані в довільному порядку Для позначення будь-якого скінченного елемента до статньо вказати номери вузлів які він поєднує

2

ною або глобальною.

езпосередньо з кожним стержнем пов’язується його власна система координат x’y’ якою зру чно користуватися для аналізу напружено-деформованого стану стержня Така система координат

називається місцевою або локальною Початок місцевої системи координат пов’язується з тим вузлом що має менший номер ю точку називають початком стержня а точку яка розташована на протилежному кінці стержня його кінцем Вісь x’ спрямовують вздовж стержня від його по чатку до кінця а вісь y’ перпендикулярно до стержня причому прямий кут відкладається від осі

x’ проти ходу годинникової стрілки рис 14. На рисунку початок стержня позначено літерою а кінець літерою j Такі позначення будуть застосовуватися і надалі

Довжина стержня обчислюється через координати вузлів на початку і на кінці за формулою

У плоскій дискретній моделі можна виділити чотири типи скінченних елементів які відрізня ються граничними умовами тобто способами примикання до вузлів

жорсткі вузли на початку і на кінці стержня рис 14.3,а);

жорсткий вузол на початку і шарнірний вузол на кінці стержня рис 14.3,б);

шарнірний вузол на початку і жорсткий вузол на кінці стержня рис 14.3,в);

шарнірні вузли на початку і на кінці стержня рис 14.3,г).

При розв’язанні практичних задач компоненти зазначених векторів також мають наскрізну нумерацію яка відповідає нумерації вузлових переміщень

На шарнірний вузол вузол ферми можуть діяти дві компоненти зовнішніх навантажень які дорівнюють проекціям зовнішніх сил прикладених до вузла Отже для шарнірного вузла сукуп ність зосереджених дій у вузлі i може бути записана у вигляді вектора

ржнями виникають реакції взаємодії що зумовлені тільки переміщеннями вузлів Сумарні реакції всіх стержнів які приєднуються до вузла i зобразимо у вигляді двох зосереджених сил що орієн товані вздовж осей глобальної системи координат всієї моделі і зосередженого моменту Позна

напрямами вузлових переміщень Тоді реакції які передаються на вузли з боку стержнів будуть спрямовані у протилежних напрямах рис 14.6).

6

Рис 14.6

Сукупність реакцій для жорсткого вузла i можна записати у вигляді вектора

Ri {Rxi Ryi R i}T .

кщо вузол шарнірний то вектор вузлових реакцій має дві компоненти

Ri Rxi Ryi T

Вузлові реакції всієї дискретної моделі утворюють вектор вузлових реакцій

R {R1 R2 ... Rn}T .

При розв’язанні практичних задач використовується наскрізна нумерація реакцій причому їх ні номери повинні збігатися з номерами відповідних переміщень

R {R1 R2 R3 R4 R5 R6 R7 R8 R9 R10 R11 R12 R13 R14}T .

Матриця жорсткості дискретної моделі

У лінійно деформованих об’єктах між вузловими реакціями і вузловими переміщеннями що їх зумовлюють існує лінійна залежність Так для дискретної моделі з n ступенями свободи

або в матричній формі

удь-який елемент Ki, j матриці – це вузлова реакція Ri яка зумовлюється вузловим перемі

щенням j 1 за умови що всі інші вузлові переміщення дорівнюють нулю Зазначимо що голо

10

Кінцеві переміщення і кінцеві реакції в глобальній системі координат можуть бути представ лені у вигляді векторів

для стержня жорстко прикріпленого до вузлів

для стержня прикріпленого до вузлів шарнірно

Рис 14.10

Крім кінцевих переміщень на стержневий скінченний елемент можуть діяти рівномірно роз поділені навантаження які орієнтуються за осями або локальної рис 14.10,а або глобальної рис 14.10,б системи координат Зв’язок між цими двома системами навантажень встановлюється співвідношеннями

11

Так само за локальними рис 14.11,а або за глобальними координатними осями рис 14.11,б) орієнтуються вантажні реакції які зумовлюються розподіленими вздовж стержня навантаження ми

Рис 14.11

Нумерація вантажних реакцій також суворо визначена Вантажні реакції в локальній і в глобальній системі координат також можуть бути представле

ні у вигляді векторів

Для стержня що має на кінцях шарніри

ілком очевидно що в разі відсутності розподілених навантажень ці вектори є нульовими При наявності розподілених навантажень значення елементів векторів вантажних реакцій зале жать від граничних умов по кінцям стержня Так для скінченного елементу першого типу рис 14.3,а тобто для елемента що має жорсткі вузли на обох кінцях

12

Матриці жорсткості і вектори вантажних реакцій для скінченних елементів інших типів наве дено в Додатках 3.

Між кінцевими характеристиками в глобальній та в локальній системах координат може бути встановлений формальний зв’язок

Квадратна матриця Te називається матрицею перетворення стержневого елемента e.

Для стержня с шарнірами на кінцях матриця перетворення набуває вигляду

Матриці жорсткості стержневих скінченних елементів

Між кінцевими реакціями і кінцевими переміщеннями існує зв’язок який у глобальній систе мі координат може бути записаний у формі

де ke – матриця жорсткості елемента e в глобальній системі координат Для стержневого скінче ного елемента першого типу матриця має вигляд

Елементи матриці жорсткості – це реакції на кінцях тобто кінцеві реакції стержневого скін ченного елемента які зумовлюються його кінцевими переміщеннями Перший індекс характери зує номер кінцевої реакції а другий – номер кінцевого переміщення яке цю реакцію викликало Наприклад елемент k25 – це кінцева реакція r2 див рис 14.9,б від дії примусового переміщення

5 1 див рис 14.9,а за умови що всі інші кінцеві переміщення дорівнюють нулю Величини ре акцій залежать від типу скінченного елемента Так для скінченного стержневого елемента що має

де l – довжина EI – жорсткість стержня на згин, EA – жорсткість стержня на поздовжні деформа ції

14

Для стержневого скінченого елементу четвертого типу шарнірне приєднання з обох сторін матриця жорсткості в глобальній системі координат набуває вигляду

Таким чином стають відомими переміщення всіх вузлів дискретної моделі Внаслідок нероз ривності деформацій кінці стержнів які приєднуються до вузлів матимуть такі ж самі переміщення що й вузли Отже для кожного стержня дискретної моделі можна побудувати вектор кін цевих переміщень у глобальній системі координат

Сумарні кінцеві реакції стержня в локальній системі координат рис 14.12,а)

і кінцевими силами pi які викликано дією розподіленого на стержні зовнішнього навантаження

15

Рис

Сумарні кінцеві реакції можуть бути обчислені за формулою

se he e pe . (14.24)

Вигляд матриці he залежить від граничних умов на кінцях стержня Так для стержня що має на обох кінцях жорсткі вузли

силля в будь-якому його перерізі розглядаючи рівновагу однієї з його частин Наприклад у перері зі з абсцисою x рис 14.12,а маємо

16

Рис 14.13

Стояки мають жорсткості на згинальні та поздовжні деформації відповідно EI 1, EA 100 а

ригелі – вдвічі більшу EI 2, EA 200 .

ерехід до дискретної скінченно-елементної моделі

Для переходу від заданої розрахункової схеми до дискретної скінченно-елементної моделі розіб’ємо схему на окремі стержневі елементи які поєднуються у вузлах За вузли приймаємо точ ки сполучення окремих стержнів опорні точи а також точку прикладення зовнішньої зосередже ної сили P1 Пронумеруємо вузли в довільному порядку Початок глобальної системи візьмемо у вузлі Дискретна модель наведена на рис 14.14.

18

льності

обудова вектора вузлових навантажень

Вектор вузлових навантажень має компоненти які відповідають компонентам вектора вузло вих переміщень

Схема дії зовнішніх вузлових навантажень наведена рис 14.16.

Згідно до формули 14. вектор вузлових навантажень складається з двох векторів Перший з них – це вектор зовнішніх зосереджених сил і моментів що безпосередньо діють на вузли

F {F1 F2 F3 F4 F5 F6 F7 F8 F9 F10 F11 F12 F13 F14 F15 F16 F17}T .

20

Рис 14.18

Вантажні реакції в локальній системі координат