9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

26.3. Вычисление КИ IIр

È

1) AB : x = x(t), y = y(t) — íåïð. äèôô. íà [a,b]

b

Þ ò P dx +Q dy =ò(P(x(t), y(t))x¢(t) +Q(x(t), y(t))y¢(t))dt

Èa

AB

È

2) AB : y = y(x) — íåïð. äèôô.íà [a, b] Þ

b

Þ ò P dx +Q dy =ò(P(x, y(x)) +Q(x, y(x))y¢(x))dx

Èa

AB

26.4. Связь между КИ Iр и IIр

È

LM — касательная к AB â ò. M,

a = (L·M ,OX ),b = (L·M ,OY ), g = (L·M ,OZ ) Þ

Þ ò P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz =

X

!

Y

¶D

D

Î

X

26.6. Условия независимости КИ IIр от контура интегрирования

1. ò P dx +Q dy = 0 "L* Ì D Û

26.7. Интегрирование полных дифференциалов

P dx + Q dy = du Þ

Y

x,y

u(x, y) = ò P dx +Q dy + c =

x ,y

0 0

26.1.Определение криволинейного интеграла II рода

Рассмотрим задачу о работе переменнойr силы. Пусть матери-

ется вдоль кусочно-гладкой кривой AB . Найти работу W силы F

при перемещении точки из А в В (рис. 26.1). Для решения задачи

!

Нахождение пределов сумм рассмотренного вида встречается

Рассмотрим теперь вектор a = {P(x,y), Q(x,y)}, (x,y) О D. Пусть

È

функции P (x,y), Q(x,y) непрерывны в D, AB М D. Разобьем кри-

È

вую AB на n частей и составим сумму

n

О: Криволинейным интегралом II рода (КИ IIр) по координа-

È

там от функций P(x,y), Q(x,y) по AB ò P(x,y)dx +Q(x,y)dy) —

È

AB

(обозначение) называется предел интегральной суммы (26.2)

ïðè max Dxi ® 0, max Dyi ® 0, если он не зависит от спосо-

È

ба разбиения AB на части и от выбора промежуточных то-

÷åê Mi, ò.å.

ò P(x,y)dx +Q(x,y)dy =

È

AB

! !

È

AB

Из формул (26.1), (26.2) виден физический смысл криволиней-

ного интеграла II рода:

Если кривая L является замкнутой, ограничивающей некото-

рую область D (L = ¶D), то криволинейный интеграл по замкну-

26.2. Свойства криволинейного интеграла II рода

КИ IIр имеет свойства, аналогичные свойствам определенно-

го интеграла. Наиболее важными из них являются:

30. Пусть кривая L является замкнутой, ограничивающей неко-

торую область D. Если D = D + D (рис. 26.2), ¶D = L , ¶D = L , то

! "

Y

12

q В силу свойства 20

ò P dx +Q dy = ò P dx +Q dy + ò P dx +Q dy,

Ñò P dx +Q dy = ò P dx +Q dy + ò P dx +Q dy,

складывая и учитывая 10, получаем (26.4) x

26.3.Вычисление криволинейного интеграла

IIðîäà

È

1) Пусть AB : x = x(t), y = y(t), a £ t £ b, причем x(t), y(t) непре-

рывно дифференцируемы на [a, b], т.е. x(t), y(t) О C1[a, b]. Тогда

ò P(x,y)dx +Q(x,y)dy =

È

AB

b

ме Лагранжа Dxi = x(ti) - x(ti -1) = x ¢(ti*)Dti, ti* Î (ti -1,ti). Выберем

! #

В правой части полученного равенства — интегральная сумма для

определенного интеграла от функции P (x (t), y (t))x ¢(t). Перехо-

дя к пределу при max Dxi ® 0, получаем формулу (26.5) x

Из вывода формулы (26.5) Ю для существования КИ IIр дос-

È

таточно непрерывности f(x, y) в D и гладкости AB .

È

Формулаr (26.5) может быть обобщена на случай AB Ì W Ì Rn,

xn), ..., axn(x , x , ..., xn) непрерывны в W и уравнения, задающие

12

È

+Q(x(t), y(t),z(t))y¢(t) + R(x(t), y(t),z(t))z¢(t)]dt.

È

2) Пусть AB задана на плоскости: y = y(x), a £ х £ b, причем

y = y(x) — непрерывно дифференцируемая на [a,b] функция. Тог-

да, считая х параметром, из (26.5) получаем

r

Примеры: 1. Найти работу силы F = { - y,x,z} по перемеще-

нию материальной точки вдоль винтовой линии L:

x = a cost, y = a sint, z = bt, 0 £ t £ 2p.

2p

W = ò-ydx + xdy + zdz = ò [-a sin t(-a sin t) + a cost(a cost) + btb]dt =

!$

0

ò (xy - 1)dx + x2 ydy = ò[x(2 - 2x) - 1) + x2(2 - 2x)(-2)]dx =

È

1

AB

= (x4 - 2x3 + x2 - x) 0 = 1

1

26.4. Связь между криволинейными интегралами I и II рода

Рассмотрим пространственный случай. Обозначим через

a(x,y,z), b(x,y,z), g(x,y,z) углы, образованные касательной к кри-

È

âîé AB в т. M(x,y,z) с осями OX, OY, OZ соответственно (рис. 26.3).

O

X

ÐèñÐèñ. 26. .26.3

Вектор drr (dx, dy, dz) направлен по касательной

dy = cos b Ч dl, dz = cos g Ч dl. Поэтому

ò P(x, y,z)dx +Q(x, y,z)dy + R(x, y,z)dz = ò (P cos a +Q cos b + R cos g)dl.

Эта формула выражает связь между криволинейными интегра-

ëàìè I è II ðîäà.

26.5. Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между криволинейным ин-

тегралом II рода и двойным интегралом.

Т: Пусть D М R2 — правильная область, ограниченная гладкой

кривой L = ¶D. Функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в D вместе

! %

причем кривая L обходится в положительном направлении n

AСB, y = j (x) — уравнение кривой AEB, a £ x £ b (рис. 26.4). Тогда

тегралов и криволинейных интегралов

II ðîäà.

! &

26.6. Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования

В некоторых случаях величина КИ IIр не зависит от пути ин-

тегрирования, а зависит лишь от начальной и конечной точек

А и В. Выясним, при каких условиях это справедливо.

Будем рассматривать односвязные области D М R2, т.е.такие, в

которых для любого замкнутого контура L*, лежащего внутри D,

ограниченная L* часть плоскости состоит целиком из внутренних

точек D.

Т: Пусть функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны вместе со своими

¶P ¶Q

частными производными ¶y , ¶x в замкнутой односвязной

области D. Тогда следующие четыре условия эквивалентны:

1. Для любой замкнутой гладкой кривой справедливо

qДостаточно доказать, что 1 Ю 2 Ю 3 Ю 4 Ю 1.

1 Ю 2: Используя свойства 10, 20 КИ IIр, имеем (рис. 26.5)

YL*

! '

ò P dx +Q dy = 0 Û ò P dx +Q dy - ò P dx +Q dy = 0 Û

Û ò P dx +Q dy = ò P dx +Q dy.

x ,y

00

Чтобы показать дифференцируемость u(x,y), т.е. du = Pdx + Qdy,

достаточно доказать существование для "(x,y) О D частных про-

где т. C (x + Dx, y), причем в силу условия эквивалентности 2-й путь

от В до С можно взять прямолинейным: y = const (рис. 26.6). Тогда

!