23.4. ДИ в полярных координатах
ìx = x(u, v), |
. |
|
í |
|
|
D* |
« D Þ |
|
îy = y(u,v), |
. |
|
|
|
òò f (x, y) ds = òò f * (u, v)|J| du dv |
|
D |
|
D * |
|
r = r2(j) |
|
x¢ |
x¢ |
|
Y |
J= |
|
|
|
K |
L |
— якобиан |
|
|
y¢ |
y¢ |
|
|
K |
L |
|
|
|
¶D: r = r1(j), |
|
b |
|
r = r1(j) |
r = r2(j), |
|
|
a |
|
|
|
Õ |
(r1(j) < r2(j)) |
Î |
|
|
|
|
|
|
|
j = a, j = b (a < b) Þ |
|
|
|
|
òò f (x, y) ds = òò f (r cos j, r sin j)r dr dj =
DD
br j
= òdj ò f r cos j, r sin j r dr
ar j )
23.5. Приложения ДИ
23.5.1. Геометрические приложения
Вычисления площадей (см. разд. 23.2). Вычисление объемов (см. разд. 23.1). Вычисление площади поверхности G:
s = òò |
|
æ |
¶z ö |
|
æ |
¶z ö |
|
|
1 |
+ ç |
|
|
÷ |
+ ç |
|
÷ |
ds. |
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
è |
¶x ø |
|
è |
¶y ø |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.5.2. Физические приложения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Статические |
моменты плоской |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
пластины D: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
mx = òò yr(x, y) ds, my = òò xr(x, y) ds, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r — поверхностная плотность. |
|
|
|
my |
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
Координаты центра масс D: |
xc |
= |
|
, |
yc |
= |
x |
, |
m = òòr(x, y) ds — масса D. |
|
m |
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
23.1. Определение двойного интеграла
Задача об объеме.
z = f x y D Ì XOY
¶D
Z
f x y ³
OZ
Ni
z = f(x, y)
Mi 
X¶D
Ðèñ. 23.1
Ðèñ. 23.1
f x y |
D |
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
DDi i = |
Ìi xi hi |
|
|
|
|
DDi |
MiNi = f xi hi |
f xi hi D i |
D i |
|
|
DDi |
n
V » å f xi hi Dsi
i =
V
DDi
Î: |
|
|
|
|
|
DD |
|
|
|
|
|
ÀÂ À Î ¶DD B Î ¶DD |
|
|
|
l |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DD |
|
|
|
|
l |
l |
|
|
|
l |
|
|
B |
|
|
|
|
|
C Î DD |
|
|
|
¶DD |
|
|
l ® |
|
|
DD |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ñ |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
H= l |
l = |
li |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
DDi |
i = n |
|
|
|
|
|
|
n |
Ðèñ.. 23..2 |
n ® ¥ |
l ® |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
V = |
å f xi hi Dsi |
|
|
|
l® i = |
|
|
|
Задача о массе тонкой пластинки.
DS
|
|
r = r x |
y |
|
|
|
r = r = |
= |
|
|
|
|
|
m = r S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
DDi |
i = n |
D i |
|
|
|
DDi |
|
|
|
r = r xi hi |
|
|
Dm » r xi |
hi D i |
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
l = |
l |
® |
m = |
år xi hi Dsi |
|
|
i |
|
l® |
|
|
|
|
|
|
|
i = |
|
|
|
|
|
|
|
|
D Ì XOY |
|
D |
f x y |
D |
|
|
|
|
|
|
DDi |
D i i = n |
Ìi xi hi |
Î DDi |
|
|
n |
|
òò f (x, y) ds = lim |
å f (xi ,hi )Dxi Dyi = òò f (x, y) dx dy, |
D |
l®0 i =1 |
D |
где ds = dx dy — элемент площади. При составлении интегральной суммы площадки DDi, прилегающие к границе области D, не везде имеют формы прямоугольников. Однако можно доказать, что ошибки от замены таких площадок прямоугольниками с площадями Dxi Dyi в пределе сведутся к нулю.
23.2. Свойства двойных интегралов
Определение двойного интеграла конструктивно аналогично определению определенного интеграла, поэтому двойной интеграл обладает теми же свойствами, что и определенный интеграл. Свойства приведены в ОК ¹ 23.
23.3.Вычисление двойного интеграла
âдекартовых координатах
О: Область D называется правильной в направлении оси OY (OX ), если любая прямая, параллельная оси OY (OX ) и проходящая через внутреннюю точку области D, пересекает ее границу в двух точках.
D |
OY |
y = j x |
y = j x |
j x j x x = a x b a b |
|
bj x
òò f x y s = ò x ò f x y y
D |
a j x |
|
|
|
|
j |
x |
|
|
|
ò |
f |
x y |
y |
|
j |
x |
|
|
õ |
|
|
|
|
|
D |
|
|
ÎÕ |
|
x = y |
y |
x = y |
y |
y y y y y = c y = d c d
dy y
òò f x y x y = ò y ò f x y x.
D c y y
D ÎÕ ÎY
f x y ³ D
OY |
òò f x y s =V |
|
D |
V |
|
b |
|
V = òS x |
x |
a |
|
õ |
ÎÕ |
|
Ñ Ì Ì Ñ |
23.4. Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах
|
òò f x y |
s |
|
D |
|
|
u v |
x = x u v y = y u v |
u v Î D |
x = x u v y = y u v |
D |
DD
u = u x y v = v x y x y Î D |
|
|
|
|
|
D |
|
UO V |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
x = x u v |
y = y u v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ÕÎY |
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
UO V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
À Â Ñ E |
|
|
|
|
À Â = |
v A E = |
u |
|
|
|
|
|
|
ÀÂÑÅ |
|
|
|
|
|
|
|
|
ÕÎY |
V |
|
|
|
|
|
|
Y |
|
|
|
B * |
|
C * |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
d |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
C |
v+ v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dv |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
A* |
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
E* |
|
b |
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
U |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
O |
* u |
|
|
O |
|
d |
|
|
|
|
|
U+ u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
à |
|
|
á |
|
|
|
|
|
Ðèñ. 23.7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
= y u v u = |
ÀÅ x = x u v y = y u v |
ì¶x |
|
¶y ü |
|
í |
|
|
|
ý |
ÀÂ |
|
|
î¶v |
|
¶v þ |
|
ÀÂ x = x u v y =
v = |
|
|
|
|
ì¶x |
|
¶y ü |
í |
|
|
|
ý |
|
|
î |
¶u |
|
¶u þ |
|
H |
ì |
¶x |
|
¶y |
ü |
H |
ì |
¶x |
|
¶y |
ü |
|
a |
= í |
|
v |
|
vý |
b |
= í |
|
u |
|
uý |
|
¶v |
¶v |
¶u |
¶v |
|
|
î |
|
þ |
|
î |
|
þ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
H |
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i |
|
|
|
j |
k |
|
|
¶x |
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
H |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u |
|
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = |
a ´ b |
|
= |
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
u |
|
|
= |
¶x |
|
¶y |
u v |. |
|
¶u |
¶u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
|
|
|
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
v |
|
|
|
¶v |
|
¶v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶v |
¶v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶u |
¶u |
= J |
u |
|
v = s |
|
|
|
|
|
|
|
|
¶x |
¶y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
¶v |
¶v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
ÕOY |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
UO V |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
s = J |
s |
|
|
|
|
|
|
|
òò f x y s = òò f x u v y u v |J| s
DD*
D « D
n-
òò f x y x y
D
