9060_d71504bbdcb8f95ffb66490c84b51bf8

21.3.5. Метод вариации произвольных постоянных для нахождения y

y* = c1y1 + c2y2 Þ y = c1(õ)y1 + c2(õ)y2, ãäå c1(õ), c2(х) определяются из системы c1¢y1 + c2¢y2 = 0, c1¢y1¢ + c2¢y2¢ = b(x)

21.1. Основные понятия об ОДУ 2-го порядка

ОДУ 2-го порядка в общем виде записывают так:

Если уравнение (21.1) можно разрешить относительно y ¢¢, то оно имеет вид

О: Задача нахождения решения уравнения (21.2), удовлетворяющего начальным условиям y(x0) = y0, y ¢(x0) = y0¢, называется задачей Коши.

Ò.(существования и единственности решения ОДУ 2-го порядка): Если функция f (x, y, y ¢) и ее частные производные

fy¢(x, y, y ¢), fy¢1(x, y, y ¢) непрерывны в окрестности т. М0(õ0, y0, y0¢) в пространстве переменных (x, y, y ¢), то в окрестности т. х0 ñó-

ществует единственное решение задачи Коши: у ¢¢ = f (x, y, y ¢),

Теорему приводим без доказательства.

О: Общим решением дифференциального уравнения (21.2) называется функция y = j(x, c1, c2), зависящая от двух произвольных постоянных c1, c2 при следующих условиях:

1) она является решением (21.2) при любых значениях

y = j(x, c10, c20) удовлетворяет данным начальным условиям, т. (х0, y0, y0¢) О D — области $! решения.

#

Условия y|x =x0 = y0, y¢|x =x0 = y0¢ , которые используются для нахождения постоянных c10, c20 в общем решении ОДУ 2-го порядка, можно задать и по-другому.

Пусть, например, решение уравнения ищется на отрезке

сформулировать следующим образом: на отрезке [a, b] найти решение ОДУ 2-го порядка, удовлетворяющее условиям, заданным на концах отрезка:

F (x, y, y ¢, y ¢¢) = 0, y (a) = ya, y (b) = yb.

Такая задача называется краевой задачей для ОДУ 2-го порядка. Более подробно об этом можно узнать, например, из [12. C. 311].

21.2. ДУ 2-го порядка, допускающие понижение порядка

О: ДУ 2-го порядка, допускающими понижение порядка, называются уравнения, решение которых можно путем замены переменных свести к решению уравнений 1-го порядка.

К ним относятся: а) y ¢¢ = f (x, y ¢), б) y ¢¢ = f (у, y ¢). (Уравнения вида y ¢¢ = f (x) являются частным случаем уравне-

ния y ¢¢ = f (x, y ¢).) Они в явном виде не содержат переменной у в случае а) и х в случае б), поэтому в случае а) делают замену у ¢ = р,

р = р(х), у ¢¢ = р, а в случае б) у ¢ = р, р = р(у), y¢¢ = dp × dy = p¢p (ñì.

2) 1 + y ¢2 = 2yy ¢¢.

#

Замена y ¢ = p, p = p(y), y ¢¢ = p¢p, 1 + p2 = 2ypp¢ — уравнение с разделяющимися переменными Ю

21.3. Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка

21.3.1. Линейные однородные ДУ 2-го порядка. Структура общего решения

О: ЛДУ 2-го порядка называется ДУ 2-го порядка, линейное относительно у, у ¢, у ¢¢, т.е.

Дифференциальное уравнение

получающееся из (21.3) при b(x) = 0, называется линейным однородным ДУ 2-го порядка (ЛОДУ 2п). Если b(x) ¹ 0, то уравнение называется линейным неоднородным (ЛНДУ 2п).

Из теоремы Коши следует, что при непрерывности функций

a0(õ), a1(õ), a2(x), b(x) в окрестности т. х0 ïðè ó(õ0) = ó0, ó ¢(õ0) = ó0¢ уравнение (21.3) имеет в окрестности т. х0 единственное решение.

Ò.(о линейной комбинации решений): Если функции у1(õ) è ó2(х) — решения уравнения (21.4), х О (a, b), то их линейная комбинация y = c1y1 + c2y2 также является его решением n

#!

q Подставим функцию y = c1y1 + c2y2 и ее первую и вторую производные в левую часть уравнения (21.4):

a0(x)(ñ1y1¢¢ + ñ2y2¢¢) + a1(x)(ñ1y1¢ + ñ2y2¢) + a2(x)(ñ1y1 + ñ2y2) = = ñ1(a0(x)y1¢¢ + a1(x)y1¢ + a2(x)y1) +

+ ñ2(a0(x)y2¢¢ + a1(x)y2¢ + a2(x)y2) = 0.

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как y1(õ), y2(х) — решения уравнения (21.4) x

О: Решения y1(x), y2(x), х О (a, b), образуют фундаментальную систему решений, если определитель Вронского

Ò.(о структуре общего решения): Пусть a0(õ), a1(õ), a2(x) непрерывны на (a, b). Если решения y1(x), y2(x) уравнения (21.4) образуют фундаментальную систему решений,

õ Î (a, b), òî y = c1y1(õ) + c2y2(х) является общим решением уравнения (21.4) на (a, b) n

q Проверим выполнение условий из определения общего решения. По теореме о линейной комбинации решений y = c1y1(õ) + + c2y2(х) является решением уравнения (21.4). Возьмем начальные

условия у(х0) = ó0, ó ¢(õ0) = ó0¢, õ0 О (a, b). Подставляя их в y = c1y1(õ) + + c2y2(х) для определения c1 è c2, получаем систему

лем Вронского, вычисленным в т. х0. Он не равен нулю по условию теоремы, поэтому система имеет единственное решение с1 = ñ10, ñ2 = = ñ20, которое может быть записано по формулам Крамера. Таким образом, выполнены оба условия определения общего решения x

21.3.2. ЛОДУ 2п с постоянными коэффициентами

Рассмотрим ЛОДУ (21.4), в котором a0, a1, a2 постоянны, a0 ¹ 0. Поделив (21.4) на a0, получим уравнение

#"

Найдем для этого уравнения фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение в виде y = ekx. Тогда y ¢ = kekx, y ¢¢ = k2ekx. Подставляя у, y ¢, y ¢¢ в (21.6), имеем k2ekx + ðkekx + qekx = 0, ekx ¹ 0 Þ

Таким образом, для того чтобы у было решением (21.6), необходимо, чтобы k удовлетворяло уравнению (21.7).

О: Алгебраическое уравнение (21.7) называется характеристи- ческим уравнением дифференциального уравнения (21.6).

В зависимости от дискриминанта D характеристического уравнения возможны следующие случаи.

1. D = p2 - 4q > 0, уравнение (21.7) имеет два различных дей-

(21.6) имеет два частных решения y1 = ek1x, y2 = ek2x, которые образуют фундаментальную систему, так как

Следовательно, общее решение имеет вид y = c1ek1x + c2ek2x.

2. D = 0, уравнение (21.7) имеет один действительный корень k = - p/2, кратности 2. Тогда уравнение (21.6) имеет одно частное решение y1 = ekx. Покажем, что y2 = xekx тоже является решением (21.6). Действительно, y2¢ = ekx(1 + kx), y2¢¢ = ekx(2k + k2x), y2¢¢ +

+py2¢ + qy2 = ekx(2k + k2x) + pekx(1 + kx) + qekx = ekx[x(k2 + pk + q) +

+(2k + p)]. Òàê êàê k2 + pk + q = 0 (k - корень характеристического

поэтому y = c1ekx + c2xekx èëè y = cekx(c1 + c2x) — общее решение уравнения (21.6).

##

3. D = p2 - 4q < 0, характеристическое уравнение имеет два комплексно-сопряженных корня k1,2 = a ± ib, ãäå a = -ð/2,

= eax(cos bx + isin bx), y2 = e(a - ib)x = eaxe-ibx = eax(cosbx - isin bx). Заменим эти комплексные решения на действительные: y1 = (y1 + y2)/

2 = = eaxcos bx, y2 = (y1 - y2)/2i = eaxsin bx. Они образуют фундаментальную систему решений, так как можно показать, что

+ c2eaxsin bx èëè y = eax(c1cos bx + c2sin bx). В ОК ¹ 21 все три слу- чая сведены в таблицу.

Примеры: 1) y ¢¢ + 5y ¢ + 6y = 0 Ю k2 + 5k + 6 = 0, k1 = - 2,

k2 = - 3 Þ y = c1e- 2x + c2e-3x.

21.3.3. Структура общего решения ЛНДУ 2п

Рассмотрим уравнение (21.3) при b(x) ¹ 0.

Ò.(о структуре общего решения): Общим решением уравне-

ния (21.3) с непрерывными аi(x), i = 0,1,2, b(x) на (a, b), является y = y * + y, где y* - общее решение соответствующего однородного уравнения (21.4), y — любое частное ре-

шение уравнения (21.3) n

q Проверим выполнение первого условия определения общего решения. Подставим у в левую часть (21.3):

ния (21.3). Проверим выполнение второго условия определения общего решения. Возьмем начальные условия y(x0) = y0, y ¢(x0) = y0¢,

#$

x0 О (a, b). Для определения с1, ñ2, учитывая запись y* = с1y1 + ñ2y2, ãäå y1, y2 — фундаментальная система решений (21.4), получаем

который не равен нулю в силу фундаментальности системы у1(õ), ó2(х). Таким образом, система имеет единственное решение с1 = ñ10, ñ2 = ñ20 и второе условие определения общего решения выполнено x

21.3.4. Метод подбора частного решения ЛНДУ 2п

Из теоремы о структуре общего решения уравнения (21.3) следует, что для его нахождения необходимо знать общее решение у* соответствующего однородного уравнения и частное решение y неоднородного. Пусть ДУ имеет вид

Общее решение однородного уравнения с постоянными коэффициентами найти можно (см. п. 21.3.2). Для нахождения частного решения неоднородного уравнения в случаях специального вида правой части уравнения (21.8) — многочлен f(x) = Pn(x) = = a0xn + a1xn - 1 + ... + an, произведение многочлена на показательную функцию f(x) = Pn(x)emx, m = const, гармоника f(x) = M cos mx + + N sin mx либо линейная комбинация перечисленных функций — частное решение может быть выбрано в виде, указанном в таблице ОК ¹ 21 (п. 21.3), либо в виде линейной комбинации соответствующих решений из таблицы. Коэффициенты А0, À1,..., Àn в таблице не известны и находятся путем подстановки в уравнение (21.8) (метод неопределенных коэффициентов).

Примеры: 1) y ¢¢ + y ¢ = 5х + 3. Ищем решение в виде y = y* + y. а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + y ¢ = 0, его характеристическое уравнение k2 + k = 0, ò.å. k1 = 0, k2 = - 1 Þ y* = c1 + c2e-x; á) y — частное решение уравнения y ¢¢ + y ¢ = 5х + 3 — ищем в виде y = (Ах + В)х, так как правая часть уравнения — много-

член первой степени и k1 = 0. Подставим y в уравнение: y¢ = 2Àõ + Â, y¢¢ = 2À Þ 2À + 2Àõ + Â = 5õ + 3 Þ 2À = 5,

#%

2À + Â = 3 Þ À = 5/2, Â = - 2.

Таким образом, у = с1 + ñ2å-õ + 5õ2/2 — 2õ 2) y ¢¢ - 2y ¢ - 3ó = (õ + 2)å3õ.

Ищем общее решение в виде у = у* + у.

а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ - 2y ¢ - 3у = 0, его характеристическое уравнение k2 - 2k - 3 = 0, ò.å. k1 = - 1, k2 = 3

Þ y* = c1å-õ + c2e3õ; á) y = õ(Àõ + Â)å3õ,

y¢ = (2Àõ + Â)å3õ + 3(Àõ2 + Âõ)å3õ = å3õ(3Àõ2 + 2Àõ + 3Âõ + Â), y¢¢ = 3å3õ(3Àõ2 + 2Àõ + 3Âõ + Â) + å3õ(6Àõ + 2À + 3Â) = å3õ(9Àõ2 + + 12Àõ + 9Âõ + 6Â) Þ (8Àõ + 2À + 4Â)å3õ = (õ + 2)å3õ Þ 8À = 1, 2À + 4Â = 2 Þ À = 1/8, Â = 7/16.

ó= ñ1å-õ + ñ2å3õ + (õ2/8 + 7õ/16)å3õ

3)y ¢¢ + 4y ¢ + 5ó = 2cos x — sin x.

Ищем решение в виде y = y* + y.

а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + 4y ¢ + 5y = 0, его характеристическое уравнение k2 + 4k + 5 = 0, ò.å. k1,2 = - 2±i Þ

Þ y* = e-2x(c1cos x + c2sin x);

á) y = À cos x+ Â sin õ, y¢ = -À sin x + Â cos x, y¢¢= -À cos x- B sin x Þ

Þ (4À + 4B)cos õ + (4Â - 4A)sin x = 2cos x - sin x, 4À + 4B = 2,

4B - 4A = -1 Þ À = 3/8, Â = 1/8 Þ ó = å-2õ(ñ1cos x + ñ2sin x) + + 3/8cos x + 1/8sin x

21.3.5. Решение ЛНДУ 2п методом вариации произвольных постоянных

Пусть найдено общее решение y* = c1y1 + c2y2 ЛОДУ, соответствующего уравнению (21.8), в котором p, q могут быть и функциями от х. Функции у1(õ), ó2(х) образуют фундаментальную систему решений. Будем искать частное решение y уравнения (21.8)

â âèäå y = c1(õ)y1 + c2(õ)y2, ãäå c1(õ), c2(х) — пока не известные функции. Для их определения составим систему уравнений. Име-

ñ ñ1(õ) è ñ2(õ): ñ1(õ)(ó1¢¢ + pó1¢ + qó1) + ñ2(x)(ó2¢¢ + pó2¢ + qó2) + ñ1¢(x)ó1¢+ + ñ2¢(x)ó2¢ = f (x).

Выражения в круглых скобках равны нулю, так как у1(õ), ó2(х) — решения однородного уравнения. Поэтому для определе-

#&

Система имеет единственное решение, так как ее определитель

cos2x

Ищем общее решение в виде y = y* + y.

а) y* — общее решение уравнения y ¢¢ + 4y = 0, характеристическое уравнение k2 + 4 = 0, k1,2 = ±2i Þ y* = c1cos 2x + c2sin 2x.

á) y = c1(x) cos 2x + c2 (x) sin 2x Þ

0sin 2x

Литература: [2. С. 55–90]; [4. С. 70–93]; [5. С. 477–495]; [7. С. 431– 454].

#'

22.ПОНЯТИЕ О РЕШЕНИИ ОДУ ВЫСШИХ ПОРЯДКОВ

ÈСИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Опорный конспект ¹ 22

22.1. Линейные ДУ n-го порядка

Î: a0(x)y(n) + a1(x)y(n - 1) + ... + an(x)y = b(x) (*). Общее решение ЛОДУ n-го порядка: y = c1y1 + c2y2 + ... + cnyn, ãäå y1(õ), y2(õ),

...yn(х) - система фундаментальных решений. Общее решение ЛНДУ (*):

y = y* + y (cì. ï. 21.3.3)

22.2. Нормальные системы ОДУ О: yi¢ = fi(x, y1, ..., yn), i = 1,n.

¶fi , ¶fi , ¶fi

Ò. Êîøè: fi(t,x,y,z), i = 1,2,3, ¶x ¶y ¶z — непрерывны

â D É (t0,x0,y0,z0) Ю $! решение х = х(t), y = y(t), z = z(t) зада-

22.3.Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

dy

dx = f (x, y), x Î [a,b], y(x0) = y0

$