3661
.pdfМинистерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Воронежская государственная лесотехническая академия»
И. В. Сапронов П. Н. Зюкин
СПЕЦГЛАВЫ МАТЕМАТИКИ
Уравнения математической физики
Лабораторный практикум
Воронеж 2014
УДК 517.958 М34
Одобрено решением учебно – методического совета ФГБОУ ВПО «ВГЛТА» (протокол № 5 от 31 января 2014 г.)
Сапронов, И. В.
М34 Спецглавы математики. Уравнения математической физики [Электронный ресурс] : лабораторный практикум / И. В. Сапронов, П. Н. Зюкин ; М – во образования и науки РФ, ФГБОУ ВПО «ВГЛТА». – Воронеж, 2014. – ЭБС ВГЛТА.
Лабораторный практикум состоит из трех лабораторных работ. Каждая лабораторная работа включает в себя необходимый теоретический материал, практическую часть, варианты индивидуальных заданий.
Лабораторный практикум предназначен для студентов технического бакалавриата и магистратуры.
©Сапронов И. В., Зюкин П. Н., 2014
©ФГБОУ ВПО «Воронежская государственная лесотехническая академия», 2014
3
РЕШЕНИЕ ПЕРВОЙ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Рассмотрим первую смешанную задачу для уравнения теплопроводности: найти непрерывную на прямоугольнике 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ t ≤ T функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению теплопроводности
|
u |
a 2 |
|
2u |
|
(a 2 |
const 0) |
(1) |
|
t |
x 2 |
||||||
|
|
|
|
|
||||
при 0 < x < , 0 < t ≤ T, начальному условию |
|
|
|
|||||
u(x; 0) = f(x), |
|
0 ≤ x ≤ , |
|
(2) |
||||
и граничным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0; t) = φ(t), |
|
0 ≤ t ≤ T, |
|
|
(3) |
|||
u( ; t) = ψ(t), |
|
0 ≤ t ≤ T, |
|
(4) |
||||
где f(x), φ(t), ψ(t) – заданные функции.
Будем предполагать, что функции f(x), φ(t), ψ(t) непрерывны на соответствующих отрезках и f(0) = φ(0), f( ) = ψ(0). Эти условия вытекают из
требования непрерывности функции u(x; t) на границе прямоугольника |
|
|
||
0 ≤ x ≤ , 0 ≤ t ≤ T. |
|
|
|
|
Пусть n и m – фиксированные натуральные числа. Обозначим h |
|
, |
T |
. |
|
|
|||
|
n |
|
m |
|
Числа h, τ называют шагами по осям Ox, Ot соответственно. В прямоугольнике 0 ≤ x ≤ , 0 ≤ t ≤ T построим сетку, проведя прямые с уравнениями x = i · h,
t = k · τ (i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m) (рис.1).
t
|
T |
|
|
|
|
(i, k+1) |
|
τ |
(i-1, k) |
(i, k) |
(i+1, k) |
|
|
|
O
|
x |
h |
|
Рис. 1
Введем обозначения
xi = i · h , tk = k · τ ,
ui,k = u(xi; tk),
i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m;
i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m.
4
Будем интересоваться только значениями ui,k функции u(x; t) в узлах (xi; tk)
сетки, i = 0, 1, …, n; k = 0, 1, …, m.
Считая h и τ малыми и заменяя в уравнении (1) приближенно частные
производные |
u |
|
|
и |
|
2u |
|
в каждом узле (xi; tk) сетки (i = 1, 2, …, n – 1; |
|||||||||||||||||||||
t |
|
|
|
x 2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
k = 0, 1, …, m – 1) конечными разностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
u(xi ; t k ) |
ui,k |
1 |
|
ui,k |
|
, |
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
2u(xi ; t k ) |
|
ui 1,k |
|
2ui,k |
|
ui |
|
1,k |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui,k 1 |
|
ui,k |
|
a |
2 ui 1,k |
2ui,k |
|
|
ui 1,k |
. |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Отсюда получаем расчетную формулу |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
ui,k 1 |
(1 |
|
|
2 a |
2 |
)ui,k |
|
a2 |
|
(ui |
1,k ui 1,k ) . |
(5) |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
h2 |
|
|
|
h2 |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Для каждого узла (xi; tk) сетки (i =1, 2, …, n – 1; k = 0, 1, …, m – 1) формула
(5) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из четырех узлов, выделенных на рис. 1. С помощью этой формулы можно, зная значения функции u(x; t) в узлах с ординатой tk (эти узлы образуют k-й слой сетки), вычислить значение функции u(x; t) в любом узле (xi; tk+1) сетки с ординатой tk+1 (узле (k + 1) – го слоя) при i = 1, 2, …, n – 1.
Начальное условие (2) позволяет найти значения функции u(x; t) во всех узлах (xi; 0) (i = 0, 1, …, n) сетки:
ui,0 = u(xi; 0) = f(xi), i = 0, 1, …, n.
По формуле (5) находим значения функции u(x; t) в узлах (xi; t1), i = 1, …, n – 1, сетки. Значения искомой функции в крайних узлах (0; t1), ( ; t1) находим, пользуясь граничными условиями (3), (4). Переходя последовательно от одного слоя к другому, следующему выше, слою, определим значения искомого решения во всех узлах сетки.
Предлагаемый алгоритм решения задачи применим, если шаги h и τ выбраны так, что выполняется неравенство
h 2 . 2a 2
При переходе к формуле (5) значения ui,k для i = 1, 2, …, n – 1; k = 1, 2, …, m становятся приближенными значениями соответствующих искомых значений
u(xi; tk) функции u(x; t).
В случае, когда
h 2 , 2a 2
5
формула (5) имеет особенно удобный для вычислений вид
ui,k 1 |
1 |
(ui 1,k ui 1,k ). |
(6) |
|
2 |
||||
|
|
|
Формула (6) соответствует набору узлов (шаблону), состоящему из трех узлов, выделенных на рис. 2.
t
|
(i, k+1) |
(i-1, k) |
(i+1, k) |
O |
x |
Рис.2
Индивидуальные задания
Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
|
|
u |
a 2 |
2u |
, |
|
|
|
|
||
|
|
t |
|
x 2 |
|
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
||
u(x; 0) = f(x), |
0 ≤ x ≤ , |
||||
u(0; t) |
= φ(t), |
0 ≤ t ≤ T, |
|||
u( ; t) |
= ψ(t), |
0 ≤ t ≤ T. |
|||
Значения a2, , T и функции f(x), φ(t), ψ(t) заданы в табл. 1.
Решение выполнить с шагом h по оси Ox, равным 0,2, и с четырьмя десятичными знаками.
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 1 |
||
№ |
а2 |
|
T |
|
f(x) |
φ(t) |
|
|
ψ(t) |
|
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
1 |
0,12 |
x2 – x |
0 |
|
20t |
|||
2 |
1 |
1 |
0,12 |
1 – x2 |
1 |
|
100t2 |
|||
3 |
1 |
1 |
0,12 |
|
|
|
20t + 1 |
|
2 |
|
|
x 1 |
|
|
|||||||
4 |
1 |
1 |
0,12 |
x |
0 |
|
1 |
– 10t2 |
||
5 |
1 |
1 |
0,12 |
2x |
t |
|
2 |
– t |
||
6 |
2 |
1 |
0,06 |
x(x + 1) |
0 |
|
3t + 2 |
|||
6
Окончание табл. 1
№ |
а2 |
|
T |
f(x) |
|
φ(t) |
|
ψ(t) |
варианта |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
2 |
1 |
0,06 |
2 + x2 |
2 |
– t |
3 |
|
8 |
2 |
1 |
0,06 |
x(3x – 1) |
0 |
|
2 |
+ t |
9 |
2 |
1 |
0,06 |
x2 |
2t |
1 |
|
|
10 |
1 |
1,2 |
0,1 |
2 |
2 |
– t |
2 |
+ 10t |
11 |
1 |
1,2 |
0,1 |
1 |
1 |
|
1 |
+ 10t |
12 |
1 |
1,2 |
0,1 |
2x |
– t |
2,4 + 4t |
||
13 |
1 |
1,2 |
0,1 |
x2 |
0 |
|
1,44 + 8t |
|
14 |
2 |
1,2 |
0,05 |
0 |
t |
|
20t |
|
15 |
2 |
1,2 |
0,05 |
2x + 1 |
3t |
3,4 – 50t |
||
16 |
2 |
1,2 |
0,05 |
x2 |
0 |
|
60t + 1,44 |
|
17 |
2 |
1,2 |
0,05 |
1 – 2x |
1 |
+ 30t |
– 1,4 |
|
18 |
1 |
0,8 |
0,14 |
– 1 |
– t – 1 |
50t – 1 |
||
19 |
1 |
0,8 |
0,14 |
x |
2t2 |
0,8 – 20t |
||
20 |
1 |
0,8 |
0,14 |
x(0,8 – x) |
– 2t |
– t |
||
21 |
1 |
0,8 |
0,14 |
– x |
4t |
t – 0,8 |
||
22 |
2 |
0,8 |
0,07 |
3 |
3 |
– 100t |
3 |
+ t |
23 |
2 |
0,8 |
0,07 |
1 – 2x |
1 |
|
40t – 0,6 |
|
24 |
2 |
0,8 |
0,07 |
x2 + 3 |
3 |
+ t |
3,64 – 100t |
|
25 |
2 |
0,8 |
0,07 |
2x – 1 |
– 1 |
3t + 0,6 |
||
Пример выполнения задания
Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности
|
|
|
|
u |
2 |
|
2u |
, |
|
|
|
|
|
t |
|
x 2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||
удовлетворяющее условиям |
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x; 0) = x( |
3 |
|
x ), |
0 ≤ x ≤ 1, |
|||||
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(0; t) = 0, |
|
0 ≤ t ≤ 0,04, |
|||||||
u(1; t) = |
1 |
|
, |
|
|
0 ≤ t ≤ 0,04. |
|||
|
|
|
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение выполнить при h = 0,2 с двумя десятичными знаками.
Решение. Шаг по оси Ot выберем исходя из условия
(0,2) |
2 |
0,01. |
При таком выборе τ расчеты будем вести |
||
|
|
|
|||
2 |
2 |
||||
|
|
||||
h 2 , поэтому
2a 2
по формуле (6).
7
Построим прямоугольник, в котором разыскивается решение, покроем его сеткой, проведя прямые с уравнениями x = ih (i = 0, 1, 2, 3, 4, 5) и t = kτ
( k = 0, 1, 2, 3, 4), и проведем нумерацию узлов сетки (рис. 3).
t |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,04 |
(0,4) |
(1,4) |
(2,4) |
(3,4) |
|
(4,4) |
|
(5,4) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,03 |
(0,3) |
(1,3) |
(2,3) |
(3,3) |
|
(4,3) |
|
(5,3) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
(0,2) |
(1,2) |
(2,2) |
(3,2) |
|
(4,2) |
|
(5,2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,01 |
(0,1) |
(1,1) |
(2,1) |
(3,1) |
|
(4,1) |
|
(5,1) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(0,0) |
(1,0) |
(2,0) |
(3,0) |
|
(4,0) |
|
(5,0) |
O |
|
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
x |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Рис. 3 |
|
|
||
В крайних левых и правых узлах сетки из |
граничных условий получаем |
|||||||
u0,0 = u0,1 = u0,2 = u0,3 = u0,4 = 0; u5,0 = u5,1 = u5,2 = u5, 3= u5,4 = 0,5.
Из начального условия находим значения функции u(x; t) в узлах нулевого слоя:
u1,0 = 0,26; u2,0 = 0,44; u3,0 = 0,54; u4,0 = 0,56.
В дальнейшем расчеты ведутся по формуле (6). Для узлов первого слоя:
u1,1 = 0,22; u2,1 = 0,40; u3,1 = 0,50; u4,1 = 0,52.
Для узлов второго слоя:
u1,2 = 0,20; u2,2= 0,36; u3,2 = 0,46; u4,2= 0,50.
Для узлов третьего слоя:
u1,3 = 0,18; u2,3 = 0,33; u3,3 = 0,43; u4,3 = 0,48.
Для узлов четвертого слоя:
u1,4 = 0,17; u2,4 = 0,31; u3,4 = 0,41; u4,4 = 0,47.
Полученные значения представим в табл. 2.
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0,04 |
0 |
0,17 |
0,31 |
0,41 |
0,47 |
0,5 |
|
3 |
0,03 |
0 |
0,18 |
0,33 |
0,43 |
0,48 |
0,5 |
|
2 |
0,02 |
0 |
0,20 |
0,36 |
0,46 |
0,50 |
0,5 |
|
1 |
0,01 |
0 |
0,22 |
0,40 |
0,50 |
0,52 |
0,5 |
|
0 |
0 |
0 |
0,26 |
0,44 |
0,54 |
0,56 |
0,5 |
|
|
tk |
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
k |
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
|
i |
|
|
|
|
|
|
|
|
8
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ПРЯМОУГОЛЬНИКЕ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЕЙ
Пусть ABCD – прямоугольник с вершинами A(0; 0), B (0; b), C(a; b), D(a; 0),
где a > 0, b > 0. Задача Дирихле для уравнения Лапласа в прямоугольнике
ABCD ставится следующим образом. |
|
|
||||
Требуется найти непрерывную на прямоугольнике ABCD функцию u(x; y) |
||||||
(x [0, a], y [0, b]), удовлетворяющую внутри |
этого прямоугольника |
|||||
уравнению Лапласа |
|
|
|
|
|
|
|
2u |
|
2u |
|
0 |
(7) |
|
x2 |
|
y2 |
|||
|
|
|
|
|||
и принимающую на границе прямоугольника заданные значения, то есть |
||||||
u |
AB |
u(0; y) |
f1(y), |
y |
[0, b], |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
BC |
u(x; b) |
f2 (x), |
x |
[0, a], |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
CD |
u(a; y) |
f3 (y), |
y |
[0, b], |
(8) |
||
u |
|
AD |
u(x; 0) |
f4 (x), |
x |
[0, a], |
|
|
|
|
|||||||
где f1(y), f2 (x), f3(y), f4(x) – |
заданные функции. |
|
||||||
Будем предполагать, что функции f1(y), f2 (x), |
f3(y), f4(x) непрерывны на |
|||||||
соответствующих отрезках и f1(0) = f4(0), f1(b) = f2(0), f2(a) = f3(b), f3(0) = f4(a).
Эти условия вытекают из требования непрерывности функции u(x; y) на границе прямоугольника ABCD.
|
Пусть |
n |
и |
m – |
фиксированные натуральные числа. Обозначим |
|||
h |
|
a |
, |
b |
. |
Числа h, τ |
называют шагами по осям Ox, Oy соответственно. В |
|
|
|
|
||||||
|
|
n |
|
m |
|
|
|
|
прямоугольнике ABCD построим сетку, проведя прямые с уравнениями x = i · h, y = j ·τ (i = 0, 1, …, n; j = 0, 1, …, m) (рис. 4).
y |
|
|
|
|
|
B |
|
|
C |
|
|
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
(i, j+1) |
|
|
τ |
(i-1, j) |
(i, j) |
(i+1, j) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(i, j-1) |
|
D |
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
h |
|
a |
x |
|
|
Рис. 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Введем обозначения: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
xi = i · h, |
|
|
i = 0, 1, …, n; |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
yј = j ·τ, |
|
|
j = 0, 1, …, m; |
|
|
||||||||||||||
|
ui,j = u(xi; yj), i = 0, 1, …, n; |
j = 0, 1, …, m. |
|
||||||||||||||||||||||
Будем интересоваться только значениями ui,j |
функции u(x; y) в узлах (xi; yj) |
||||||||||||||||||||||||
сетки, i = 0, 1, …, n; j = 0, 1, …, m. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Считая h и τ |
малыми и заменяя в уравнении (7) приближенно частные |
||||||||||||||||||||||||
производные |
|
2u |
и |
|
2u |
|
в |
каждом |
внутреннем узле (xi; yj) |
сетки |
|||||||||||||||
|
x2 |
|
y2 |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
конечными разностями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
2u(xi ; y j ) |
|
ui |
1, j |
2ui, j |
|
ui 1, j |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
h 2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
2u(xi ; y j ) |
|
|
ui, j |
1 |
|
2ui, j |
ui, j 1 |
, |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
y2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ui 1, j |
|
2ui, j ui 1, j |
|
ui, j |
1 |
2ui, j |
ui, j 1 |
0 |
(9) |
|||||||||||||||
|
|
|
h2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
для i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Подставляя координаты каждого граничного узла в условия (8), получаем |
|||||||||||||||||||||||||
|
u0, j |
f1(y j ), |
j |
0,1, ..., m, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
ui,m |
f2 (xi ), |
|
i |
1, 2, ..., n |
1, |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
un, j |
f3 (y j ), |
|
j |
0,1, ..., m, |
|
|
|
|
|
|
(10) |
|||||||||||||
|
|
ui,0 |
f4 (xi ), |
|
i |
1, 2, ..., n |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Система линейных алгебраических уравнений (9), (10) называется разностной схемой для задачи (7), (8). При переходе к системе уравнений (9), (10) значения ui,j для внутренних узлов сетки становятся приближенными. Для определения величин ui,j требуется решить систему уравнений (9), (10).
В случае, когда шаги h и τ по осям Ox и Oy равны (h = τ), уравнения (9) имеют наиболее простой вид
ui, j |
|
1 |
(ui 1, j ui, j |
1 |
ui 1, j ui, j 1) |
|
(10′) |
|
4 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
для i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1. |
|
|
|
|||||
Каждое из уравнений (10′) ( |
(9) |
при |
h ≠ τ) соответствует набору узлов |
|||||
(шаблону), состоящему из пяти |
узлов, |
выделенных на рис. |
4 с |
помощью |
||||
«креста». |
|
|
|
|
|
|
|
|
Равенства (10) |
определяют значения |
ui,j в граничных |
узлах, |
поэтому |
||||
неизвестными являются лишь значения ui,j, i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1, во внутренних узлах. Эти значения составляют решение системы уравнений
(10′) ( (9) при h ≠ τ).
10
Будем предполагать далее, что h = τ. Система уравнений (10′) решается приближенно итерационным методом Зейделя, который состоит в построении последовательности итераций вида
(k) 1 |
(k) |
(k) |
(k |
1) |
(k |
1) |
|
||
ui, j |
|
(ui 1, j |
ui, j 1 |
ui |
1, j |
ui, j |
1 ), |
(11) |
|
4 |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
где верхним индексом |
k обозначен номер итерации, при этом предполагается, |
||||||||
что для граничных узлов значения |
ui(,0j) |
|
ui(,kj) |
ui, j |
(k 1, 2, ... ) определены |
||||
равенствами (10). Значения ui(,0j) для внутренних узлов могут быть определены
каким-либо способом. Для каждой итерации формула (11) применяется, начиная с левого верхнего внутреннего узла, затем для соседнего справа внутреннего узла, и т. д., затем для внутренних узлов следующей горизонтали
слева направо, и т. д. Известно, что ui(,kj) |
ui, j при k |
для каждой пары |
значений i, j, где i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1.
Построение последовательности итераций ui(,kj) завершается, если для всех
внутренних узлов значения ui(,kj) |
и ui(,kj |
1) |
отличаются меньше, чем на , где |
|||
ε – заданная точность решения, то есть если |
||||||
|
ui(,kj) |
ui(,kj |
1) |
|
|
< ε |
|
|
|
||||
для i = 1, 2, …, n – 1; j = 1, 2, …, m – 1.
Индивидуальные задания
Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
2u |
|
2u |
0 |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
в прямоугольнике с вершинами A(0; 0), B(0; b), C(a; b), D(a; 0) с точностью
0,01 для шага h = 0,2. Значения a, b и значения функции u(x; y) на границе прямоугольника ABCD заданы в табл. 3.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 3 |
||
№ |
а |
b |
u |
|
u |
|
u |
|
u |
|
|
варианта |
|
|
AB |
BC |
CD |
|
AD |
||||
|
|
|
|
|
|
||||||
1 |
1 |
0,8 |
0,5y2 + 6 |
1,48x + 6,32 |
y + 7 |
x + 6 |
|||||
2 |
0,8 |
1 |
y + 4 |
1,5x + 5 |
0,6y2 + 5,6 |
2x + 4 |
|||||
3 |
1 |
0,8 |
4y |
0,28x2 + 3,2 |
0,6y + 3 |
3x |
|||||
4 |
0,8 |
1 |
2y + 1 |
x + 3 |
2,48y + 1,32 |
0,5x2 + 1 |
|||||
5 |
1 |
0,8 |
0,3y + 7,1 |
0,1x + 7,34 |
0,375y2 + 7,2 |
0,1x + 7,1 |
|||||