3661
.pdf11
Окончание табл. 3
№ |
а |
b |
u |
|
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
варианта |
|
|
|
AB |
|
|
|
BC |
|
|
CD |
|
|
AD |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
6 |
0,8 |
1 |
0,6y |
– 4,8 |
0,3125x2 – 4,2 |
0,56y – 4,56 |
0,3x |
– 4,8 |
||||||||||||
7 |
1 |
0,8 |
0,1y |
– 0,1 |
0,44x |
– 0,02 |
0,5y2 + 0,1 |
0,2x |
– 0,1 |
|||||||||||
8 |
0,8 |
1 |
0,2y |
+ 3,2 |
0,4375x2 +3,4 |
0,4y |
+ 3,28 |
0,1x |
+ |
3,2 |
||||||||||
9 |
1 |
0,8 |
0,3y |
+ 4 |
0,3x + 4,24 |
0,375y2 + 4,3 |
0,3x |
+ |
4 |
|||||||||||
10 |
0,8 |
1 |
0,2y2 |
+ 5 |
0,175x + 5,2 |
0,1y |
+ 5,24 |
0,375x2+5 |
||||||||||||
11 |
1,4 |
0,6 |
0,7y2 |
+ 3 |
1,62x |
+ 3,252 |
0,7y |
+ 5,1 |
1,5x |
+ |
3 |
|||||||||
12 |
0,6 |
1,4 |
0,25y + 9 |
1,25x2 + 9,35 |
0,25y + 9,45 |
0,75x + 9 |
||||||||||||||
13 |
1,4 |
0,6 |
0,2y |
+ 2 |
0,14x |
+ 2,12 |
0,2y |
+ 2,196 |
0,1x2 + 2 |
|||||||||||
14 |
0,6 |
1,4 |
0,6y2 |
+ 4 |
1,44x |
+ 5,176 |
1,2y |
+ 4,36 |
0,6x |
+ |
4 |
|||||||||
15 |
1,4 |
0,6 |
0,28y + 1 |
0,26x |
+ 1,168 |
0,7y2 + 1,28 |
0,2x |
+ |
1 |
|||||||||||
16 |
0,6 |
1,4 |
y + 8 |
|
0,6x + 9,4 |
y + 8,36 |
x2 + 8 |
|
||||||||||||
17 |
1,4 |
0,6 |
–3 |
|
|
0,17x |
– 3 |
0,07y– 2,804 |
0,1x2 – 3 |
|||||||||||
18 |
0,6 |
1,4 |
0,6y2 |
– 0,3 |
0,876 |
– 1,08x |
0,3y |
– 0,192 |
0,3x2– 0,3 |
|||||||||||
19 |
1,4 |
0,6 |
5 + 0,7y2 |
1,62x |
+ 5,252 |
0,7y |
+ 7,1 |
1,5x |
+ 5 |
|||||||||||
20 |
0,6 |
1,4 |
0,25y + 5 |
1,25x2 + 5,35 |
0,25y + 5,45 |
0,75x + 5 |
||||||||||||||
21 |
1 |
0,8 |
3 + 0,5y2 |
1,48x |
+ 3,32 |
y + 4 |
x + 3 |
|
||||||||||||
22 |
0,8 |
1 |
y |
|
|
1,5x + 1 |
1,6 + 0,6y2 |
2x |
|
|
||||||||||
23 |
1 |
0,8 |
2,1 + 0,3y |
0,1x + 2,34 |
0,375y2 + 2,2 |
0,1x |
+ 2,1 |
|||||||||||||
24 |
0,6 |
1,4 |
0,6y2 |
|
1,44x |
+ 1,176 |
1,2y |
+ 0,36 |
0,6x |
|
|
|||||||||
25 |
1,4 |
0,6 |
0,28y + 6 |
0,26x |
+ 6,168 |
0,7y2 + 6,28 |
0,2x |
+ 6 |
Пример выполнения задания
Используя метод конечных разностей, составить приближенное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа
2u |
|
2u |
0 |
x2 |
|
y2 |
|
|
|
в прямоугольнике с вершинами A(0; 0), B(0; 0,8), C(1; 0,8), D(1; 0) с точностью ε = 0,01 для шага h = 0,2. Граничные условия:
u AB = 0,5y2;
u BC = 0,4x2 + 0,32; u CD = 0,4y + 0,4;
u AD = 0,4x.
Решение. Процесс решения разобьем на несколько этапов.
1. Построим прямоугольник ABCD, покроем его квадратной сеткой с
12
шагом h = 0,2 по осям Ox и Oy (рис.5).
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
C |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
0,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
D |
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
O |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
||||||
|
Рис. 5
Вычислим значения искомой функции u(x; y) в граничных узлах сетки. Значения функции u(x; y) в узлах сетки на стороне AB найдем по формуле
u(x; y) = 0,5y2; |
имеем |
u0,0 |
u(0; 0) |
0; u0,1 u(0; 0,2) 0,02; |
u0,2 u(0; 0,4) |
0,08; |
u0,3 |
u(0; 0,6) |
0,18; u0,4 u(0; 0,8) 0,32. |
На стороне ВС: u(x; y) = 0,4x2 + 0,32; u1,4 = u(0,2; 0,8) = 0,336;
u2,4 = u(0,4; 0,8) = 0,384; u3,4 = u(0,6; 0,8) = 0,464; u4,4 = u(0,8; 0,8) = 0,576; u5,4 = u(1; 0,8) = 0,72.
На стороне CD: u(x; y) = 0,4y + 0,4; u5,3 = u(1; 0,6) = 0,64;
u5,2 = u(1; 0,4) = 0,56; u5,1= u(1; 0,2) = 0,48; u5,0 = u(1; 0) = 0,4.
На стороне AD: u(x; y) = 0,4x; u1,0 = u(0,2; 0) = 0,08; u2,0 = u(0,4; 0) = 0,16; u3,0 = u(0,6; 0) = 0,24; u4,0 = u(0,8; 0) = 0,32.
Вычисленные значения функции u(x; y) в граничных узлах сетки сохраняются на любом шаге итерации. Отметим их на рисунке (рис. 6), соответствующем построенной выше (рис. 5) сетке. На этом же рисунке
запишем обозначения ui,j |
искомых значений функции u(x; y) во внутренних |
||||||||||
узлах сетки. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,336 |
0,384 |
0,464 |
0,576 |
|
|
|
||||
0,32 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0,72 |
||
|
u1,3 |
|
|
|
u3,3 |
|
u4,3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
0,18 |
|
|
u2,3 |
|
|
|
|
0,64 |
|||
0,08 |
|
u1,2 |
|
u2,2 |
|
u3,2 |
|
u4,2 |
|
|
0,56 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0,02 |
|
u1,1 |
|
u2,1 |
|
u3,1 |
|
u4,1 |
|
|
0,48 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0,08 |
0,16 |
0,24 |
0,32 |
0,4 |
Рис. 6
13
II. Для определения приближенных значений ui,j функции u(x; y) во внутренних узлах сетки запишем уравнение (10') для каждого такого узла, начиная с левого верхнего внутреннего узла, в следующем порядке:
u1,3 |
1 |
|
(0,18 |
|||
4 |
|
|||||
|
|
|
||||
u 2,3 |
|
1 |
(u1,3 |
|||
4 |
||||||
|
|
|||||
u3,3 |
|
1 |
(u 2,3 |
|||
4 |
||||||
|
|
|||||
u 4,3 |
|
1 |
(u3,3 |
|||
4 |
||||||
|
|
|||||
u1,2 |
|
1 |
(0,08 |
|||
4 |
||||||
|
|
u 2,2 |
|
1 |
(u1,2 |
|||||
4 |
||||||||
|
|
|||||||
u3,2 |
|
1 |
(u 2,2 |
|||||
4 |
||||||||
|
|
|||||||
u 4,2 |
|
1 |
(u3,2 |
|||||
4 |
||||||||
|
|
|||||||
u1,1 |
1 |
(0,02 |
||||||
4 |
||||||||
|
|
|
|
|
||||
u 2,1 |
|
1 |
|
|
(u1,1 |
|||
4 |
|
|||||||
|
|
|
||||||
u3,1 |
|
1 |
|
|
(u 2,1 |
|||
4 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|||||
u 4,1 |
|
1 |
(u3,1 |
|||||
4 |
||||||||
|
|
|
|
0,336
0,384
0,464
0,576
u1,3
u 2,3
u3,3
u 4,3
u1,2
u 2,2
u3,2
u 4,2
u 2,3
u3,3
u 4,3
0,64
u 2,2
u3,2
u 4,2
0,56
u 2,1
u3,1
u 4,1
0,48
u1,2 ),
u 2,2 ),
u3,2 ),
u 4,2 ),
u1,1),
u 2,1),
u3,1),
u 4,1),
0,08),
0,16),
0,24),
0,32).
Получили систему уравнений для определения значений ui,j во внутренних узлах сетки. Решим эту систему итерационным методом Зейделя. Для каждого искомого значения ui,j запишем в указанном выше порядке соотношение (11):
u1(,k3) |
1 |
(0,516 |
u(2k,3 |
1) |
u1(,k2 |
1) ), |
|
|||||
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(2k,3) |
|
1 |
|
(u1(,k3) |
0,384 |
u3(k,3 |
1) |
u(2k,2 |
1) ), |
|||
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u3(k,3) |
|
1 |
|
(u(2k,3) |
0,464 |
u(4k,3 |
1) |
u3(k,2 |
1) ), |
|||
4 |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
u(4k,3) |
|
|
1 |
(u3(k,3) |
1,216 |
u(4k,2 |
1) ), |
|
||||
4 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
14
u1(,k2) |
1 |
(0,08 |
u1(,k3) |
u(2k,2 |
1) |
u1(,k1 |
1) ), |
|
|||||||
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(2k,2) |
|
|
1 |
|
(u1(,k2) |
u(2k,3) |
u3(k,2 1) |
u(2k,1 1) ), |
|
||||||
|
|
4 |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3(k,2) |
|
|
1 |
|
(u(2k,2) |
u3(k,3) |
u(4k,2 |
1) |
u3(k,1 |
1) ), |
(12) |
||||
|
|
4 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(4k,2) |
1 |
|
(u3(k,2) |
u(4k,3) |
0,56 |
u(4k,1 |
1) ), |
|
|||||||
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u1(,k1) |
|
1 |
(0,1 |
u1(,k2) |
u(2k,1 |
1) ), |
|
|
|
|
|||||
|
4 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u(2k,1) |
1 |
|
(u1(,k1) |
u(2k,2) |
u3(k,1 |
|
1) |
0,16), |
|
||||||
4 |
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u3(k,1) |
1 |
(u |
||
4 |
||||
|
|
|
||
u(4k,1) |
|
1 |
(u |
|
|
4 |
|||
|
|
|
(k) |
(k) |
(k |
1) |
|
2,1 |
u3,2 |
u 4,1 |
|
0,24), |
(k) |
(k) |
|
|
|
3,1 |
u 4,2 |
0,8). |
|
Для вычислений по этим формулам нужно определить начальные значения
ui(,0j) для внутренних узлов сетки, которые могут быть найдены каким-либо способом.
III. Для того, чтобы получить начальные значения ui(,0j) (начальное приближенное решение задачи), будем считать, что для каждого
фиксированного j (j = 1, 2, |
3) разность K j ui(0)1, j ui(,0j) одинакова при всех |
i = 0, 1, 2, 3, 4, то есть |
разница Kj между значениями ui(,0j) в любых двух |
соседних узлах любой горизонтали на прямоугольнике (рис. 5), не являющейся верхней или нижней горизонталью, одинакова.
Пусть j = 1. Рассмотрим горизонталь рисунка 5 с граничными точками
(0; 0,2) и (1; 0,2) (рис. 7).
0,02 |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
0,48 |
|
1,1 |
2,1 |
3,1 |
4,1 |
|
||
(0; 0,2) |
|
|
|
|
(1; 0,2) |
|
|
|
|
Рис. 7 |
|
|
|
Над горизонталью рисунка 7 записаны значения ui(,01) (i |
0, 1, 2, 3, 4, 5) в узлах |
|||||
этой горизонтали. Так как отрезок [0,02; 0,48] точками |
u1(,01) , u (20,1) , u3(0,1) , u(40,1) |
15
разбит на 5 равных частей, то K1 = (0,48 – 0,02) / 5 = 0,092. Отсюда получаем u1(,01) 0,02 K1 0,02 0,092 0,112; u(20,1) u1(,01) K1 0,112 0,092 0,204;
u(0) |
u(0) |
K |
1 |
0,204 0,092 0,296; u(0) |
u(0) |
K |
1 |
0,296 0,092 0,388. |
3,1 |
2,1 |
|
4,1 |
3,1 |
|
|
Аналогично найдем значения ui(,0j) во внутренних узлах других горизонталей (j = 2, 3). Для горизонтали с граничными точками (0; 0,4) и (1; 0,4) (рис. 8)
0,08 |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
0,56 |
|
|
1,2 |
2,2 |
3,2 |
4,2 |
||
(0; 0,4) |
|
|
|
|
|
(1; 0,4) |
|
|
|
|
Рис. 8 |
|
|
К2 = (0,56 – 0,08) / 5 = 0,096 |
и, следовательно, u1(,02) = 0,08 + 0,096 = 0,176; |
|||||
u(20,2) = 0,176 + 0,096 = 0,272; |
u3(0,2) = 0,272 + 0,096 = 0,368; u(40,2) = 0,368 + |
+ 0,096 = 0,464.
Для горизонтали с граничными точками (0; 0,6) и (1; 0,6) (рис. 9)
0,18 |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
u(0) |
0,64 |
1,3 |
2,3 |
3,3 |
4,3 |
||
(0; 0,6) |
|
|
|
|
(1; 0,6) |
|
|
|
Рис. 9 |
|
|
K3= (0,64 – 0,18) / 5 = 0,092 и, следовательно, u1(,03) = 0,18 + 0,092 = 0,272; u(20,3) = 0,272 + 0,092 = 0,364; u3(0,3) = 0,364 + 0,092 = 0,456; u(40,3) = 0,456 +
+ 0,092 = |
0,548. |
|
|
|
|
|
||
Все полученные значения представим в табл. 4. |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 4 |
|
|
0,8 |
|
0,32 |
0,336 |
0,384 |
0,464 |
0,576 |
0,72 |
|
0,6 |
|
0,18 |
0,272 |
0,364 |
0,456 |
0,548 |
0,64 |
|
0,4 |
|
0,08 |
0,176 |
0,272 |
0,368 |
0,464 |
0,56 |
|
0,2 |
|
0,02 |
0,112 |
0,204 |
0,296 |
0,388 |
0,48 |
|
0 |
|
0 |
0,08 |
0,16 |
0,24 |
0,32 |
0,4 |
|
yj |
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
1 |
|
|
xi |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
16
IV. Вычисление элементов ui(1, j) первой итерации производим по формулам (12) в том порядке, в котором записаны эти формулы:
u1(1,3) |
1 |
|
(0,516 |
u(20,3) |
u1(,02) ) |
|
1 |
(0,516 |
0,364 |
0,176) 0,264; |
|
|||||||||||||||||
4 |
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
u(21,)3 |
|
1 |
(u1(1,3) |
0,384 |
u3(0,3) |
|
u(20,2) ) |
|
1 |
|
(0,264 |
0,384 |
0,456 |
0,272) 0,344 |
||||||||||||||
4 |
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и так далее. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Полученные значения ui(1, j) первой итерации представим в табл. 5. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 5 |
||
|
|
|
|
|
0,8 |
|
0,32 |
|
0,336 |
0,384 |
|
|
0,464 |
|
0,576 |
0,72 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0,6 |
|
0,18 |
|
0,264 |
0,344 |
|
|
0,431 |
|
0,528 |
0,64 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0,4 |
|
0,08 |
|
0,182 |
0,275 |
|
|
0,367 |
|
0,461 |
0,56 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0,2 |
|
0,02 |
|
0,122 |
0,213 |
|
|
0,302 |
|
0,391 |
0,48 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
0 |
|
|
0,08 |
|
0,16 |
|
|
0,24 |
|
0,32 |
0,4 |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
yj |
|
0 |
|
|
0,2 |
|
|
|
0,4 |
|
|
|
0,6 |
|
|
0,8 |
1 |
|
|||||
|
|
|
|
|
xi |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
ui(,0j) |
|
|
||||||||||||||||||||||||
Максимальное различие max |
ui(1, j) |
|
|
по всем i, j элементов нулевой и первой |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i, j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
итераций (погрешность первой итерации) равно 0,025. Так как 0,025 > > ε = 0,01, то для достижения заданной точности вычислений уточнение решения нужно продолжить.
Значения ui(,2j) второй итерации представлены в табл. 6.
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 6 |
|
0,8 |
|
0,32 |
0,336 |
0,384 |
0,464 |
0,576 |
|
0,72 |
0,6 |
|
0,18 |
0,261 |
0,338 |
0,424 |
0,525 |
|
0,64 |
0,4 |
|
0,08 |
0,185 |
0,276 |
0,366 |
0,461 |
|
0,56 |
0,2 |
|
0,02 |
0,125 |
0,216 |
0,303 |
0,391 |
|
0,48 |
0 |
|
0 |
0,08 |
0,16 |
0,24 |
0,32 |
|
0,4 |
yj |
|
0 |
0,2 |
0,4 |
0,6 |
0,8 |
|
1 |
|
xi |
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Погрешность второй итерации равна 0,007. Так как 0,007 < ε = 0,01, то построение последовательности итераций завершаем. Последние значения округляем до сотых долей и получаем ответ в виде табл. 7.
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 7 |
|
0,8 |
|
0,32 |
0,34 |
0,38 |
|
0,46 |
0,58 |
|
0,72 |
0,6 |
|
0,18 |
0,26 |
0,34 |
|
0,42 |
0,53 |
|
0,64 |
0,4 |
|
0,08 |
0,19 |
0,28 |
|
0,37 |
0,46 |
|
0,56 |
0,2 |
|
0,02 |
0,13 |
0,22 |
|
0,30 |
0,39 |
|
0,48 |
0 |
|
0 |
0,08 |
0,16 |
|
0,24 |
0,32 |
|
0,4 |
yj |
|
0 |
0,2 |
0,4 |
|
0,6 |
0,8 |
|
1 |
|
xi |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА. МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЙ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ С ЗАКРЕПЛЕННЫМ
ЛЕВЫМ КОНЦОМ
РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ КОЛЕБАНИЙ СТРУНЫ МЕТОДОМ ДАЛАМБЕРА
Задача Коши для уравнения колебаний струны
2u |
a 2 |
2u |
(a2 |
= const > 0) |
(13) |
|
t 2 |
x2 |
|||||
|
|
|
|
ставится следующим образом.
Требуется найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению (13) при
x ( , |
), t (0, |
) и начальным условиям |
|
|
||
|
u(x; 0) = φ(x), |
u(x; 0) |
(x) |
(– ∞ < x < + ∞), |
(14) |
|
|
|
|||||
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
где φ(x), ψ(x) – заданные функции. |
|
|
|
|||
Пусть |
( ) произвольная дважды дифференцируемая на промежутке |
|
(– ∞, + ∞) функция. Тогда функция u1(x; t) = α(x – at) (a > 0) является решением уравнения (13). Действительно,
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
2u |
1 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 |
|
|
(x |
at), |
|
|
|
|
|
|
(x |
at), |
|||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u1 |
|
a |
(x |
at), |
|
|
|
2u1 |
a |
2 |
(x |
at), |
||||
|
|
|
t |
|
|
|
|
|
|
t 2 |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
поэтому |
2u1 |
|
a |
2 |
|
|
2u1 |
|
при |
x |
( |
, |
|
|
), t |
(0, |
|
) . |
|
t 2 |
|
|
|
x2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Аналогично |
устанавливается, |
что |
если |
( |
) |
произвольная дважды |
|||||||||||||
дифференцируемая на промежутке ( |
, |
|
|
) функция, то функция |
u2(x; t) = β(x + at) является решением уравнения (13). Если сложить эти два решения, то снова получим решение уравнения (13)
18 |
|
u(x; t) = α(x – at) + β(x + at). |
(15) |
Можно доказать, что в таком виде записывается любое решение уравнения (13). Будем предполагать, что функция φ(x) дважды дифференцируема и функция
(x) один раз дифференцируема на промежутке (– ∞, + ∞).
Определим функции α и β таким образом, чтобы выполнялись начальные условия (14):
u(x; 0) = α(x) + β(x) = φ(x), |
|
||
u(x; 0) |
a (x) a (x) |
(x). |
|
|
|||
t |
|||
|
|
Разделим обе части последнего равенства на а и проинтегрируем от 0 до х. Получим
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
|
|
( |
|
( ) |
( |
))d |
|
(x) |
(x) |
(0) |
|
|
|
(0) |
|
|
|
( )d . |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
Тогда |
(x) |
(x) |
|
1 x |
( |
)d |
|
c0 , где с0 = β(0) – α(0). |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
a 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Имеем два равенства |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
(x) |
|
|
(x) |
(x), |
|
(x) |
(x) |
|
1 x |
( )d |
c0 . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
a |
0 |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Складывая их и вычитая, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
1 |
|
1 |
x |
|
|
c0 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 x |
|
c0 |
|
||||||
(x) |
|
(x) |
|
|
( |
)d |
|
|
, |
(x) |
|
|
|
(x) |
|
|
|
|
|
( )d |
|
. |
||||
2 |
|
2a |
2 |
2 |
|
|
2a 0 |
2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Таким образом, мы определили функции α(x) и β(х). Поэтому решение по формуле (15) принимает вид
|
(x at) |
(x at) 1 x |
at |
|
1 x |
at |
||||
u(x; t) |
|
|
|
|
|
|
( )d |
|
|
( )d . |
2 |
|
|
2a |
|
2a |
|||||
|
|
|
0 |
|
0 |
Заметим, что неизвестная величина с0 не вошла в последнюю формулу. Меняя местами пределы интегрирования в последнем интеграле, получаем окончательную формулу – формулу Даламбера
|
(x at) |
(x at) 1 x |
at |
|||
u(x; t) |
|
|
|
|
|
( )d . |
2 |
|
|
2a x |
|||
|
|
|
at |
Она была получена французским математиком Даламбером в 1750 году.
19
Индивидуальные задания
Используя формулу Даламбера, найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению
|
|
2u |
a 2 |
2u |
|
(– ∞ < x < + ∞, 0 < t < + ∞) |
|
|
|
||||||||
|
|
t 2 |
x 2 |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
и начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
u(x; 0) = f(x), |
|
u(x; 0) |
|
g(x) |
|
(– ∞ < x < + ∞). |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Значение a и функции f(x), g(x) заданы в табл. 8. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Табл. 8 |
|
№ варианта |
|
|
a |
|
|
|
|
|
f(x) |
|
|
|
g(x) |
||||
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
ex + 1 |
|
|
xcos x |
|||||
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
cos x |
|
|
x ·e–x |
|||||
3 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
xsin2x |
||||
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
x2sin x |
||||
5 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x |
|
|
|
|
1 |
x cos3x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
6 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
xe–3x |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
1 |
|
|
|
|||
7 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e–x |
|
|
x·5x |
|||||
8 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
x 2 |
|
|
sinx ·cos 2x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
9 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x3 |
|
|
|
cos x ·cos 3x |
||||
10 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e1 – x |
|
|
sin x ·sin5x |
|||||
11 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 + 1 |
|
excos x |
||||||
12 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x + ex |
exsin x |
|||||||
13 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x2 + 2x |
x2e–x |
|||||||
14 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
e |
|
x 3 |
|
|
x2cos2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
15 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sinx |
|
|
x·cos2x |
|||||
16 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
(x + 1)2 |
|
xex |
||||||
17 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x3 + 1 |
|
x ·2–x |
||||||
18 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x + ex |
x ·e–2x |
|||||||
19 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
e |
|
x 2 |
|
|
x sin3x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
20 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
sin (x2) |
sin2x · sin4x |
|||||||
21 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
cos(x+5) |
cosx · cos5x |
|||||||
22 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
esin x |
|
|
cos3x·sin5x |
|||||
23 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
e |
x 2 |
1 |
|
x · 2x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
24 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
ln(x2 + 1) |
|
e–x · x2 |
||||||
25 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
sin (x3) |
cos3x ·cos 4x |
20
Пример выполнения задания
Используя формулу Даламбера, найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению
|
|
2u |
|
|
2u |
(– ∞ < x < + ∞, 0 < t < + ∞) |
||
|
|
t 2 |
|
|
x2 |
|||
|
|
|
|
|
|
|||
и начальным условиям |
|
|
|
|
|
|
||
u(x; 0) |
|
x |
|
, |
|
|
u(x; 0) |
sin x (– ∞ < x < + ∞). |
|
|
|
|
|
||||
1 x2 |
|
|
|
t |
Решение. Пользуясь формулой Даламбера, получаем
|
1 |
|
|
x t |
|
x t |
|
1 x t |
|
1 |
|
|
x t |
|
x t |
||
u(x; t) |
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
d |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
(x t)2 |
1 (x t)2 |
2 |
2 |
1 |
(x t)2 |
1 (x t)2 |
|||||||||
|
x t |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin x sin t.
МЕТОД ПРОДОЛЖЕНИЙ РЕШЕНИЯ СМЕШАННОЙ ЗАДАЧИ, ОПИСЫВАЮЩЕЙ КОЛЕБАНИЯ ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ СТРУНЫ
С ЗАКРЕПЛЕННЫМ ЛЕВЫМ КОНЦОМ
Смешанная задача, описывающая колебания полубесконечной струны с закрепленным левым концом, для уравнения (13) ставится следующим образом.
Требуется найти функцию u(x; t), удовлетворяющую уравнению (13) при
x |
(0, |
), t |
(0, |
), начальным условиям |
|
|
||
|
|
|
u(x; 0) |
(x), |
u(x; 0) |
(x) (0 x |
), |
(16) |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
t |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
и граничному условию |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
u(0; t) = 0 |
(0 ≤ t < + ∞), |
|
(17) |
||
где |
(x), |
(x) |
заданные функции. |
|
|
|
Будем предполагать, что функция φ(x) дважды дифференцируема на промежутке [0, +∞ ), функция ψ(x) один раз дифференцируема на промежутке
[0, +∞) и |
(0) |
(0) |
(0) |
0. |
Введем |
функции |
(x) и |
(x) , которые будут являться нечетными |
продолжениями функций (x) и ψ(x), входящих в условия (16):
(x) |
(x) |
при |
x |
0, |
|
||
( |
x) |
при |
x |
0, |
|||
|
|||||||
(x) |
(x) |
при |
x |
0, |
|
||
( |
x) |
при |
x |
0. |
|||
|
Согласно методу Даламбера функция